📝 6. Sınıf Matematik: Kesirlerle toplama çıkarma Ders Notu
Kesirlerle Toplama ve Çıkarma İşlemleri ➕➖
Kesirlerle toplama ve çıkarma işlemleri, paydaları eşit olduğunda oldukça basittir. Eğer paydalar eşitse, payları toplar veya çıkarırız ve payda aynı kalır. Ancak paydalar eşit değilse, öncelikle paydaları eşitlememiz gerekir. Bu eşitleme işlemi için kesirlerin en küçük ortak katını (EKOK) bulma yöntemini kullanırız.
Paydaları Eşit Kesirlerle Toplama ve Çıkarma
Paydaları eşit olan kesirleri toplarken veya çıkarırken, paydalar sabit kalır. Sadece paylar kendi aralarında toplanır veya çıkarılır.
Kural:
- Paydaları eşit kesirleri toplarken, paylar toplanır ve ortak payda aynen yazılır.
- Paydaları eşit kesirleri çıkarırken, paylar çıkarılır ve ortak payda aynen yazılır.
Örnek 1: Toplama
Aşağıdaki toplama işlemini yapalım:
\[ \frac{2}{5} + \frac{1}{5} \]Bu kesirlerin paydaları eşittir (5). Bu durumda payları toplarız:
\[ \frac{2 + 1}{5} = \frac{3}{5} \]Sonuç: \( \frac{3}{5} \)
Örnek 2: Çıkarma
Aşağıdaki çıkarma işlemini yapalım:
\[ \frac{7}{8} - \frac{3}{8} \]Bu kesirlerin paydaları eşittir (8). Bu durumda payları çıkarırız:
\[ \frac{7 - 3}{8} = \frac{4}{8} \]Sonuç: \( \frac{4}{8} \). Bu kesri sadeleştirebiliriz: \( \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2} \).
Paydaları Eşit Olmayan Kesirlerle Toplama ve Çıkarma
Paydaları eşit olmayan kesirlerle işlem yapmadan önce, kesirlerin paydalarını eşitlememiz gerekir. Bunun için paydaların en küçük ortak katını (EKOK) buluruz. Paydaları eşitledikten sonra, kesirleri genişleterek yeni paydalar elde ederiz. Genişletme yaparken, kesrin değerini değiştirmemek için hem payı hem de paydayı aynı sayıyla çarparız.
Kural:
- Toplama veya çıkarma yapılacak kesirlerin paydaları eşit değilse, öncelikle paydaların EKOK'u bulunur.
- Her bir kesir, paydasını EKOK'a eşitleyecek şekilde genişletilir.
- Paydalar eşitlendikten sonra, paydaları eşit kesirlerde olduğu gibi toplama veya çıkarma işlemi yapılır.
Örnek 3: Toplama
Aşağıdaki toplama işlemini yapalım:
\[ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \]Paydalar (3 ve 2) eşit değildir. Paydaların EKOK'unu bulalım:
3'ün katları: 3, 6, 9, ...
2'nin katları: 2, 4, 6, 8, ...
EKOK(3, 2) = 6'dır.
Şimdi kesirleri 6 paydasına eşitleyelim:
- \( \frac{1}{3} \) kesrini 2 ile genişletiriz: \( \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \)
- \( \frac{1}{2} \) kesrini 3 ile genişletiriz: \( \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \)
Şimdi toplama işlemini yapabiliriz:
\[ \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6} \]Sonuç: \( \frac{5}{6} \)
Örnek 4: Çıkarma
Aşağıdaki çıkarma işlemini yapalım:
\[ \frac{3}{4} - \frac{1}{6} \]Paydalar (4 ve 6) eşit değildir. Paydaların EKOK'unu bulalım:
4'ün katları: 4, 8, 12, 16, ...
6'nın katları: 6, 12, 18, ...
EKOK(4, 6) = 12'dir.
Şimdi kesirleri 12 paydasına eşitleyelim:
- \( \frac{3}{4} \) kesrini 3 ile genişletiriz: \( \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} \)
- \( \frac{1}{6} \) kesrini 2 ile genişletiriz: \( \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12} \)
Şimdi çıkarma işlemini yapabiliriz:
\[ \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{9 - 2}{12} = \frac{7}{12} \]Sonuç: \( \frac{7}{12} \)
Tam Sayılı Kesirlerle İşlemler
Tam sayılı kesirlerle toplama veya çıkarma yaparken, öncelikle tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirmek işlemi kolaylaştırır. Daha sonra yukarıda anlatılan adımlar takip edilir.
Örnek 5: Tam Sayılı Kesirlerle Toplama
Aşağıdaki toplama işlemini yapalım:
\[ 1 \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \]Önce tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim:
\[ 1 \frac{1}{2} = \frac{(1 \times 2) + 1}{2} = \frac{3}{2} \]Şimdi işlemimiz şu hale geldi:
\[ \frac{3}{2} + \frac{3}{4} \]Paydalar (2 ve 4) eşit değil. EKOK(2, 4) = 4'tür.
Kesirleri 4 paydasına eşitleyelim:
- \( \frac{3}{2} \) kesrini 2 ile genişletiriz: \( \frac{3 \times 2}{2 \times 2} = \frac{6}{4} \)
- \( \frac{3}{4} \) kesri zaten 4 paydasına sahip.
Şimdi toplama işlemini yapabiliriz:
\[ \frac{6}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6 + 3}{4} = \frac{9}{4} \]Sonuç: \( \frac{9}{4} \). Bu sonucu tekrar tam sayılı kesre çevirebiliriz: \( \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4} \).