Kesirlerle dört işlem içeren problem çözme Ders Notu

Kesirlerle Dört İşlem Problemleri 🧩

Kesirlerle dört işlem, matematiksel problemleri çözmenin temel taşlarından biridir. Bu bölümde, kesirlerle toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini içeren problemleri nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz. Günlük hayatımızda sıkça karşılaştığımız durumlarda kesirler önemli bir yer tutar. Örneğin, bir pastanın dilimlenmesi, bir malzemenin bir kısmının kullanılması gibi durumlarda kesirler devreye girer.

1. Kesirlerle Toplama ve Çıkarma İşlemleri İçeren Problemler ➕➖

Kesirlerle toplama ve çıkarma yaparken paydaların eşit olması gerektiğini unutmamalıyız. Eğer paydalar eşit değilse, öncelikle payda eşitleme işlemi yaparız. Sonrasında payları toplar veya çıkarırız, payda ise aynı kalır.

Örnek 1: Bir manav, elindeki portakalların \( \frac{1}{3} \)'ünü sabah, \( \frac{2}{5} \)'ini ise öğleden sonra satmıştır. Manav toplamda portakallarının ne kadarını satmıştır?

Çözüm:

Satılan portakalların toplam miktarını bulmak için iki kesri toplamalıyız. Paydalar farklı olduğu için önce payda eşitleriz. 3 ve 5'in en küçük ortak katı 15'tir.

\[ \frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15} \]

\[ \frac{2}{5} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15} \]

Şimdi bu iki kesri toplayabiliriz:

\[ \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{5+6}{15} = \frac{11}{15} \]

Manav toplamda portakallarının \( \frac{11}{15} \)'ini satmıştır.

Örnek 2: Ayşe, kitabının \( \frac{3}{4} \)'ünü okumuştur. Eğer kitabın tamamı 120 sayfaysa, Ayşe kaç sayfa kitap okumuştur ve daha kaç sayfa okuması gerekmektedir?

Çözüm:

Ayşe'nin okuduğu sayfa sayısını bulmak için toplam sayfa sayısının \( \frac{3}{4} \)'ünü hesaplarız:

\[ 120 \times \frac{3}{4} = \frac{120}{1} \times \frac{3}{4} = \frac{120 \times 3}{1 \times 4} = \frac{360}{4} = 90 \]

Ayşe 90 sayfa kitap okumuştur.

Okunması gereken sayfa sayısını bulmak için toplam sayfa sayısından okunan sayfa sayısını çıkarırız:

\[ 120 - 90 = 30 \]

Ayşe'nin daha 30 sayfa kitap okuması gerekmektedir.

2. Kesirlerle Çarpma İşlemleri İçeren Problemler ✖️

Kesirlerle çarpma işlemi yaparken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. Sadeleştirme imkanı varsa, işlem öncesinde veya sonrasında sadeleştirme yapılabilir.

Örnek 3: Bir kutudaki bilyelerin \( \frac{2}{3} \)'ü kırmızıdır. Bu kırmızı bilyelerin de \( \frac{1}{4} \)'ü ise büyüktür. Kutudaki bilyelerin tamamının kaçta kaçı büyük kırmızı bilyedir?

Çözüm:

Büyük kırmızı bilyelerin oranını bulmak için verilen iki kesri çarparız:

\[ \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2 \times 1}{3 \times 4} = \frac{2}{12} \]

Bu kesri sadeleştirebiliriz:

\[ \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]

Kutudaki bilyelerin \( \frac{1}{6} \)'sı büyük kırmızı bilyedir.

3. Kesirlerle Bölme İşlemleri İçeren Problemler ➗

Kesirlerle bölme işlemi yaparken, birinci kesir aynen kalır, ikinci kesir ters çevrilir ve çarpma işlemi yapılır.

Örnek 4: \( \frac{3}{4} \) litrelik bir sürahi, her biri \( \frac{1}{8} \) litrelik bardaklara tam olarak doldurulacaktır. Bu sürahideki su ile kaç bardak doldurulabilir?

Çözüm:

Bu problemi çözmek için sürahideki toplam su miktarını bir bardağın alabileceği su miktarına böleriz:

\[ \frac{3}{4} \div \frac{1}{8} \]

Bölme işlemini çarpma işlemine çeviririz:

\[ \frac{3}{4} \times \frac{8}{1} = \frac{3 \times 8}{4 \times 1} = \frac{24}{4} = 6 \]

Bu sürahideki su ile 6 bardak doldurulabilir.

4. Karışık İşlemler İçeren Problemler 🔀

Bazı problemlerde birden fazla işlem yapmamız gerekebilir. Bu durumlarda işlem önceliğine dikkat etmeliyiz. Parantezli işlemler, çarpma ve bölme, toplama ve çıkarma sırasını takip etmeliyiz.

Örnek 5: Bir çiftçi tarlasının önce \( \frac{1}{5} \)'ini sürüyor, sonra kalan kısmın \( \frac{1}{2} \)'sini sürüyor. Çiftçi tarlasının toplam kaçta kaçını sürmüştür?

Çözüm:

Önce tarlanın tamamını 1 kabul edelim.

İlk sürülen kısım: \( \frac{1}{5} \)

Kalan kısım: \( 1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \)

Kalan kısmın yarısı sürüldüğüne göre:

\[ \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]

Çiftçinin sürdüğü toplam kısım, ilk sürülen kısım ile kalan kısmın yarısının toplamıdır:

\[ \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \]

Çiftçi tarlasının toplam \( \frac{3}{5} \)'ini sürmüştür.