Kesirlerle Çarpma ve Bölme İşlemi Ders Notu

6. sınıfta kesirlerle çarpma ve bölme işlemleri, günlük hayatta karşılaştığımız birçok problemi çözmemize yardımcı olan temel matematiksel becerilerdir. Bu konuda, kesirleri bir doğal sayı ile, bir kesirle veya tam sayılı kesirlerle nasıl çarpıp böleceğimizi adım adım öğreneceğiz.

Kesirlerle Çarpma İşlemi ✖️

Kesirlerle çarpma işlemi, toplama ve çıkarmadan daha farklı bir mantığa sahiptir. Çarpma işleminde paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.

1. Bir Doğal Sayı ile Kesri Çarpma

Bir doğal sayı ile bir kesri çarparken, doğal sayı sadece kesrin payı ile çarpılır. Payda aynen kalır. Doğal sayının paydasının 1 olduğu düşünülebilir.

• Kural: Doğal sayı \( \times \) Kesir = \( \frac{\text{Doğal sayı } \times \text{ Pay}}{\text{Payda}} \)

Örnekler:

• \( 3 \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{5} = \frac{6}{5} \)
• \( 4 \times \frac{1}{7} = \frac{4 \times 1}{7} = \frac{4}{7} \)

2. İki Kesri Çarpma

İki kesri çarparken, paylar birbiriyle çarpılır ve pay olarak yazılır; paydalar birbiriyle çarpılır ve payda olarak yazılır.

• Kural: \( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \)

Örnekler:

• \( \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{1 \times 3}{2 \times 4} = \frac{3}{8} \)
• \( \frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{2 \times 5}{3 \times 7} = \frac{10}{21} \)

💡 Unutma: Çarpma işlemi yapmadan önce veya yaptıktan sonra sadeleştirme yaparak işlemi kolaylaştırabilirsin. Sadeleştirme, bir pay ile bir paydayı aynı sayıya bölmektir.

Örnek (Sadeleştirme):

• \( \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \) işleminde, çarpma yapmadan önce sadeleştirme yapılabilir:
• \( \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \times \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} = \frac{1}{1} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)
• Veya önce çarpıp sonra sadeleştirme: \( \frac{2 \times 3}{3 \times 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)

3. Tam Sayılı Kesirleri Çarpma

Tam sayılı kesirlerle çarpma işlemi yapmadan önce, tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirmemiz gerekir.

• Kural: Tam sayılı kesri bileşik kesre çevir, sonra iki kesri çarpar gibi çarp.

Örnek:

• \( 1\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \) işlemini yapalım.
• Önce \( 1\frac{1}{2} \) kesrini bileşik kesre çevirelim: \( 1\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} \)
• Şimdi çarpma işlemini yapalım: \( \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{\cancel{3}}{\cancel{2}} \times \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} = \frac{1}{1} = 1 \)

Kesirlerle Bölme İşlemi ➗

Kesirlerle bölme işlemi, çarpmaya göre biraz farklı bir yöntemle yapılır. Temel kural, bölen kesri ters çevirip çarpmaktır.

1. Bir Doğal Sayıyı Kesre Bölme

Bir doğal sayıyı bir kesre bölerken, doğal sayı aynen yazılır, kesir ise ters çevrilip çarpılır.

• Kural: Doğal sayı \( \div \frac{a}{b} = \text{Doğal sayı } \times \frac{b}{a} \)

Örnekler:

• \( 6 \div \frac{2}{3} = 6 \times \frac{3}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
• \( 4 \div \frac{1}{5} = 4 \times \frac{5}{1} = 4 \times 5 = 20 \)

2. Bir Kesri Doğal Sayıya Bölme

Bir kesri bir doğal sayıya bölerken, kesir aynen yazılır, doğal sayı ise paydası 1 olan bir kesir gibi düşünülerek ters çevrilir ve çarpılır.

• Kural: \( \frac{a}{b} \div \text{Doğal sayı} = \frac{a}{b} \times \frac{1}{\text{Doğal sayı}} \)

Örnekler:

• \( \frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3 \times 1}{4 \times 2} = \frac{3}{8} \)
• \( \frac{5}{6} \div 10 = \frac{5}{6} \times \frac{1}{10} = \frac{\cancel{5}}{6 \times \cancel{10}} = \frac{1}{6 \times 2} = \frac{1}{12} \)

3. İki Kesri Bölme

İki kesri bölerken, birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir (bölen) ters çevrilir ve çarpma işlemi yapılır.

• Kural: \( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \)

Örnekler:

• \( \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{1 \times 4}{2 \times 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
• \( \frac{2}{5} \div \frac{1}{10} = \frac{2}{5} \times \frac{10}{1} = \frac{2 \times \cancel{10}}{\cancel{5} \times 1} = \frac{2 \times 2}{1} = 4 \)

4. Tam Sayılı Kesirleri Bölme

Tam sayılı kesirlerle bölme işlemi yapmadan önce, tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirmemiz gerekir. Sonrasında iki kesri böler gibi işlem yapılır.

• Kural: Tüm tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevir, sonra bölme işlemini (ters çevir çarp) uygula.

Örnek:

• \( 2\frac{1}{3} \div 1\frac{1}{2} \) işlemini yapalım.
• Önce bileşik kesre çevirelim:
• \( 2\frac{1}{3} = \frac{2 \times 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} \)
• \( 1\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} \)
• Şimdi bölme işlemini yapalım:
• \( \frac{7}{3} \div \frac{3}{2} = \frac{7}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{7 \times 2}{3 \times 3} = \frac{14}{9} \)