📝 6. Sınıf Matematik: Kesirlerde Çarpma Ve Bölme Ders Notu
6. Sınıf Matematik: Kesirlerde Çarpma ve Bölme İşlemleri 🍎
Kesirlerle çarpma ve bölme işlemleri, matematiksel problemleri çözmede önemli bir yere sahiptir. Bu bölümde, kesirleri birbiriyle nasıl çarpacağımızı ve böleceğimizi adım adım öğreneceğiz. Günlük hayatımızda da sıkça karşılaştığımız bu işlemleri anlamak, problemleri daha kolay çözmemizi sağlayacaktır.
Kesirlerde Çarpma İşlemi ✖️
İki kesri çarpmak için paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. Elde edilen sonucun sadeleştirilmesi gerekebilir.
Kural:
\[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a\times c}{b\times d} \]Örnek 1:
Aşağıdaki çarpma işlemini yapalım:
\[ \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \]Çözüm:
Payları çarpalım: \( 2 \times 4 = 8 \)
Paydaları çarpalım: \( 3 \times 5 = 15 \)
Sonuç: \( \frac{8}{15} \). Bu kesir sadeleşmez.
Örnek 2: Sadeleştirme Gerektiren Çarpma
Şimdi sadeleştirme gerektiren bir örnek yapalım:
\[ \frac{3}{4} \times \frac{2}{6} \]Çözüm:
Önce payları ve paydaları çarpabiliriz: \( \frac{3\times 2}{4\times 6} = \frac{6}{24} \)
Şimdi bu kesri sadeleştirelim. Hem pay hem de payda 6'ya bölünebilir:
\( \frac{6 \div 6}{24 \div 6} = \frac{1}{4} \)
Alternatif olarak, çarpmadan önce çapraz sadeleştirme de yapabiliriz:
\( \frac{3}{4} \times \frac{2}{6} \). Burada 3 ile 6 sadeleşir (3'e bölünür) ve 2 ile 4 sadeleşir (2'ye bölünür).
\( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1\times 1}{2\times 2} = \frac{1}{4} \)
Tam Sayılarla Kesir Çarpma:
Bir tam sayıyı kesirle çarpmak için tam sayıyı paydası 1 olan bir kesir gibi düşünebiliriz.
Örneğin, \( 5 \times \frac{1}{3} \)
Çözüm:
\( 5 \) sayısı \( \frac{5}{1} \) olarak yazılabilir.
\( \frac{5}{1} \times \frac{1}{3} = \frac{5\times 1}{1\times 3} = \frac{5}{3} \)
Kesirlerde Bölme İşlemi ➗
İki kesri bölerken, birinci kesir (bölünen) aynı kalır, ikinci kesir (bölen) ters çevrilir ve çarpma işlemi yapılır.
Kural:
\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a\times d}{b\times c} \]Örnek 3:
Aşağıdaki bölme işlemini yapalım:
\[ \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} \]Çözüm:
Birinci kesir \( \frac{1}{2} \) aynı kalır.
İkinci kesir \( \frac{3}{4} \) ters çevrilir: \( \frac{4}{3} \)
Şimdi çarpma işlemini yapalım:
\( \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{1\times 4}{2\times 3} = \frac{4}{6} \)
Bu kesir sadeleşebilir. Hem pay hem de payda 2'ye bölünür:
\( \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3} \)
Örnek 4: Günlük Hayattan Bir Problem
Bir kurabiye hamurunun \( \frac{3}{4} \) kilogramı var. Bu hamurun her biri \( \frac{1}{8} \) kilogramlık paketlere ayrılmak isteniyor. Kaç paket kurabiye hamuru elde edilir?
Çözüm:
Bu problemi çözmek için toplam hamur miktarını, bir paketin miktarına bölmemiz gerekir:
\( \frac{3}{4} \div \frac{1}{8} \)
Birinci kesir \( \frac{3}{4} \) aynı kalır.
İkinci kesir \( \frac{1}{8} \) ters çevrilir: \( \frac{8}{1} \)
Çarpma işlemini yapalım:
\( \frac{3}{4} \times \frac{8}{1} = \frac{3\times 8}{4\times 1} = \frac{24}{4} \)
Bu kesir de bir tam sayıya eşittir:
\( 24 \div 4 = 6 \)
Yani 6 paket kurabiye hamuru elde edilir.
Tam Sayılarla Kesir Bölme:
Bir tam sayıyı kesre bölerken, tam sayıyı \( \frac{tam sayı}{1} \) şeklinde yazarız ve ardından bölme işlemini yaparız.
Örneğin, \( 3 \div \frac{1}{2} \)
Çözüm:
\( 3 \) sayısı \( \frac{3}{1} \) olarak yazılır.
\( \frac{3}{1} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{1} \times \frac{2}{1} = \frac{3\times 2}{1\times 1} = \frac{6}{1} = 6 \)
Bir kesri tam sayıya bölerken de benzer şekilde tam sayıyı \( \frac{tam sayı}{1} \) olarak yazıp, kesri ters çevirip çarparız.
Örneğin, \( \frac{2}{5} \div 3 \)
Çözüm:
Tam sayı \( 3 \) yerine \( \frac{3}{1} \) yazarız.
\( \frac{2}{5} \div \frac{3}{1} = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2\times 1}{5\times 3} = \frac{2}{15} \)