Kesir Ve Cebirsel İfadeler Ders Notu

Bu ders notunda, 6. sınıf Matematik müfredatında yer alan "Kesirler" ve "Cebirsel İfadeler" konularını detaylı bir şekilde inceleyeceğiz. Konuları temelden alarak örneklerle pekiştirecek ve öğrenmenizi kolaylaştıracağız.

1. Kesirler ve Kesir Çeşitleri 📚

Bir bütünün eş parçalarından birini veya birkaçını gösteren sayılara kesir denir. Kesirler, pay, payda ve kesir çizgisi olmak üzere üç kısımdan oluşur.

• Pay: Kesir çizgisinin üstünde yer alan ve bütünden kaç eş parça alındığını gösteren sayıdır.
• Payda: Kesir çizgisinin altında yer alan ve bütünün kaç eş parçaya ayrıldığını gösteren sayıdır.
• Kesir Çizgisi: Pay ve paydayı birbirinden ayıran çizgidir.

Örneğin, \( \frac{3}{5} \) kesrinde 3 pay, 5 payda ve aradaki çizgi kesir çizgisidir.

1.1. Kesir Çeşitleri 🤔

Kesirler, pay ve paydalarına göre farklı isimler alırlar:

• Birim Kesir: Payı 1 olan kesirlere denir.

  Örnek: \( \frac{1}{2}, \frac{1}{7}, \frac{1}{100} \)

• Basit Kesir: Payı paydasından küçük olan kesirlere denir. Bu kesirler 0 ile 1 arasındadır.

  Örnek: \( \frac{2}{3}, \frac{4}{5}, \frac{7}{10} \)

• Bileşik Kesir: Payı paydasına eşit veya paydasından büyük olan kesirlere denir. Bu kesirler 1'e eşit veya 1'den büyüktür.

  Örnek: \( \frac{5}{5}, \frac{7}{4}, \frac{12}{5} \)

• Tam Sayılı Kesir: Bir tam sayı ve bir basit kesirden oluşan kesirlere denir.

  Örnek: \( 1\frac{1}{2}, 3\frac{2}{5}, 5\frac{1}{4} \)

1.2. Bileşik Kesri Tam Sayılı Kesre Çevirme ve Tam Sayılı Kesri Bileşik Kesre Çevirme 🔄

• Bileşik Kesri Tam Sayılı Kesre Çevirme: Pay, paydaya bölünür. Bölüm tam kısım, kalan pay, payda ise aynı kalır.

  Örnek: \( \frac{7}{3} \) kesrini tam sayılı kesre çevirelim.
  7'yi 3'e böldüğümüzde bölüm 2, kalan 1 olur. Bu durumda \( \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \) olur.

• Tam Sayılı Kesri Bileşik Kesre Çevirme: Tam kısım ile payda çarpılır, çıkan sonuca pay eklenir ve bu yeni pay olur. Payda ise aynı kalır.

  Örnek: \( 3\frac{2}{5} \) kesrini bileşik kesre çevirelim.
  Tam kısım (3) ile payda (5) çarpılır: \( 3 \times 5 = 15 \).
  Çıkan sonuca pay (2) eklenir: \( 15 + 2 = 17 \). Bu yeni paydır.
  Payda aynı kalır (5). Bu durumda \( 3\frac{2}{5} = \frac{17}{5} \) olur.

2. Kesirlerde Sıralama ve Karşılaştırma ⚖️

Kesirleri sıralarken veya karşılaştırırken bazı kurallar uygulanır:

• Paydaları Eşit Kesirler: Paydaları eşit olan kesirlerden payı büyük olan daha büyüktür.

  Örnek: \( \frac{3}{7} < \frac{5}{7} \) çünkü \( 3 < 5 \).

• Payları Eşit Kesirler: Payları eşit olan kesirlerden paydası küçük olan daha büyüktür.

  Örnek: \( \frac{4}{9} < \frac{4}{5} \) çünkü paydası küçük olan \( \frac{4}{5} \) daha büyüktür.

• Pay ve Paydaları Farklı Kesirler: Pay ve paydaları farklı olan kesirleri sıralarken, ya paydalar eşitlenir ya da paylar eşitlenir. Genellikle paydalar eşitlenir.

  Örnek: \( \frac{2}{3} \) ve \( \frac{3}{4} \) kesirlerini karşılaştıralım.
  Paydalarını 12'de eşitleyebiliriz.
  \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \)
  \( \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} \)
  Paydaları eşitlendiğinde \( \frac{8}{12} < \frac{9}{12} \) olduğu görülür. Dolayısıyla \( \frac{2}{3} < \frac{3}{4} \).

3. Kesirlerde Dört İşlem ➕➖✖️➗

3.1. Kesirlerde Toplama ve Çıkarma İşlemi

Kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir.

• Paydaları Eşit Kesirlerde: Paylar toplanır veya çıkarılır, payda aynen yazılır.

  Örnek: \( \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3+2}{8} = \frac{5}{8} \)

  Örnek: \( \frac{7}{9} - \frac{4}{9} = \frac{7-4}{9} = \frac{3}{9} \)

• Paydaları Farklı Kesirlerde: Paydalar eşitlenir (genişletme veya sadeleştirme yoluyla). Daha sonra paydaları eşit kesirlerdeki gibi işlem yapılır.

  Örnek: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \) işlemini yapalım.
  Paydaları 6'da eşitleyelim.
  \( \frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \)
  \( \frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \)
  Şimdi toplayalım: \( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} \)

3.2. Kesirlerde Çarpma İşlemi

Kesirlerde çarpma işlemi yaparken, paylar kendi arasında çarpılıp paya yazılır, paydalar kendi arasında çarpılıp paydaya yazılır. Sadeleştirme varsa işlemden önce veya sonra yapılabilir.

Örnek: \( \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15} \)

Örnek: \( 3 \times \frac{1}{4} \) işlemini yapalım. (Doğal sayı ile kesir çarpımı)
Doğal sayının paydası 1 olarak düşünülebilir: \( \frac{3}{1} \times \frac{1}{4} = \frac{3 \times 1}{1 \times 4} = \frac{3}{4} \)

3.3. Kesirlerde Bölme İşlemi

Kesirlerde bölme işlemi yaparken, birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilir ve çarpma işlemi yapılır.

Örnek: \( \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} \) işlemini yapalım.
Birinci kesir \( \frac{3}{4} \) aynen kalır.
İkinci kesir \( \frac{2}{5} \) ters çevrilir ve \( \frac{5}{2} \) olur.
Şimdi çarpma yapılır: \( \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{4 \times 2} = \frac{15}{8} \)

Örnek: \( 5 \div \frac{1}{2} \) işlemini yapalım. (Doğal sayı ile kesir bölme)
Doğal sayının paydası 1 olarak düşünülebilir: \( \frac{5}{1} \div \frac{1}{2} \)
\( \frac{5}{1} \times \frac{2}{1} = \frac{5 \times 2}{1 \times 1} = \frac{10}{1} = 10 \)

4. Ondalık Gösterimler 🔢

Paydası 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvveti olan kesirleri veya bu hale getirilebilen kesirleri virgül kullanarak ifade etmeye ondalık gösterim denir.

4.1. Kesirleri Ondalık Gösterime Çevirme

• Paydası 10, 100, 1000 olan kesirler doğrudan ondalık olarak yazılır.

  Örnek: \( \frac{7}{10} = 0.7 \), \( \frac{23}{100} = 0.23 \), \( \frac{145}{1000} = 0.145 \)

• Paydası 10, 100, 1000 olmayan ancak genişletme veya sadeleştirme ile bu hale getirilebilen kesirler önce genişletilir/sadeleştirilir, sonra ondalık olarak yazılır.

  Örnek: \( \frac{1}{2} \) kesrini ondalık gösterime çevirelim.
  Paydayı 10 yapmak için 5 ile genişletelim: \( \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10} = 0.5 \)

  Örnek: \( \frac{3}{4} \) kesrini ondalık gösterime çevirelim.
  Paydayı 100 yapmak için 25 ile genişletelim: \( \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0.75 \)

4.2. Ondalık Gösterimleri Çözümleme 🧩

Bir ondalık gösterimdeki her rakamın basamak değerine göre yazılmasına çözümleme denir.

Örnek: 24.38 ondalık gösterimini çözümleyelim.
24.38 = \( (2 \times 10) + (4 \times 1) + (3 \times \frac{1}{10}) + (8 \times \frac{1}{100}) \)
veya
24.38 = \( (2 \times 10) + (4 \times 1) + (3 \times 0.1) + (8 \times 0.01) \)

4.3. Ondalık Gösterimlerde Yuvarlama 🎯

Bir ondalık gösterimi istenilen basamağa yuvarlamak için, yuvarlanacak basamağın sağındaki ilk rakama bakılır:

• Bu rakam 5 veya 5'ten büyükse, yuvarlanacak basamaktaki rakam 1 artırılır ve sağındaki basamaklar atılır.
• Bu rakam 5'ten küçükse, yuvarlanacak basamaktaki rakam aynı kalır ve sağındaki basamaklar atılır.

Örnek: 3.628 sayısını onda birler basamağına yuvarlayalım.
Onda birler basamağı 6'dır. Sağındaki ilk rakam 2'dir. 2, 5'ten küçük olduğu için 6 aynı kalır ve sağındaki basamaklar atılır.
Sonuç: 3.6

Örnek: 7.451 sayısını onda birler basamağına yuvarlayalım.
Onda birler basamağı 4'tür. Sağındaki ilk rakam 5'tir. 5 olduğu için 4 bir artırılır ve 5 olur. Sağındaki basamaklar atılır.
Sonuç: 7.5

4.4. Ondalık Gösterimlerde Dört İşlem

Ondalık gösterimlerde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapılırken virgülün yeri önemlidir.

• Toplama ve Çıkarma: Virgüller alt alta gelecek şekilde sayılar yazılır ve doğal sayılarda olduğu gibi işlem yapılır. Eksik basamaklar sıfır ile tamamlanabilir.

  Örnek: \( 12.3 + 4.56 \) işlemini yapalım.
  \[ \begin{array}{r} 12.30 \\ +\quad 4.56 \\ 16.86 \end{array} \]

• Çarpma: Virgüller yokmuş gibi doğal sayılar çarpılır. Sonuçta, çarpanlardaki ondalık basamak sayıları toplamı kadar basamak sağdan sayılarak virgül konulur.

  Örnek: \( 2.3 \times 1.2 \) işlemini yapalım.
  Virgülleri görmezden gelerek \( 23 \times 12 \) çarpımı yapılır: \( 23 \times 12 = 276 \).
  2.3'te bir ondalık basamak, 1.2'de bir ondalık basamak vardır. Toplam 1 + 1 = 2 ondalık basamak.
  Sonuçta sağdan 2 basamak sayılarak virgül konulur: 2.76

• Bölme: Bölünen ve bölenin virgülden sonraki basamak sayıları eşitlenir (sıfır eklenerek). Daha sonra virgüller yok sayılarak doğal sayılardaki bölme işlemi yapılır.

  Örnek: \( 4.8 \div 0.2 \) işlemini yapalım.
  Her iki sayıda da virgülden sonra bir basamak var. Virgülleri atarız.
  \( 48 \div 2 = 24 \)

  Örnek: \( 6.25 \div 0.5 \) işlemini yapalım.
  6.25'te virgülden sonra iki basamak, 0.5'te bir basamak var. 0.5'i 0.50 yaparak basamakları eşitleriz.
  Şimdi virgülleri atarız: \( 625 \div 50 \)
  \( 625 \div 50 = 12.5 \)

5. Cebirsel İfadeler ✖️➕

İçinde en az bir bilinmeyen (değişken) ve işlem içeren matematiksel ifadelere cebirsel ifade denir.

5.1. Değişken Nedir? ❓

Cebirsel ifadelerde değeri bilinmeyen ve yerine farklı sayılar yazılabilen sembollere (genellikle harfler) değişken (bilinmeyen) denir.

Örnek: Bir sayının 3 fazlası ifadesindeki "bir sayı" bir değişkendir. Bunu \( x+3 \) olarak gösterebiliriz. Burada \( x \) değişkendir.

5.2. Sözlü İfadeleri Cebirsel İfadeye Çevirme 📝

Günlük hayattaki sözel ifadeleri cebirsel ifadelere dönüştürebiliriz.

Sözel İfade	Cebirsel İfade
Bir sayının 5 fazlası	\( x+5 \)
Bir sayının 2 eksiği	\( y-2 \)
Bir sayının 3 katı	\( 3z \)
Bir sayının yarısı	\( \frac{a}{2} \)
Bir sayının 2 katının 7 fazlası	\( 2k+7 \)
Bir sayının 4 fazlasının 3 katı	\( 3(m+4) \)

5.3. Cebirsel İfadelerin Değerini Bulma 💡

Bir cebirsel ifadede değişkenin yerine belirli bir sayı yazarak ifadenin değerini bulabiliriz.

Örnek: \( 3x+5 \) cebirsel ifadesinin \( x=4 \) için değerini bulalım.
\( x \) yerine 4 yazılır:
\( 3 \times 4 + 5 = 12 + 5 = 17 \)

Örnek: \( 2(y-1) \) cebirsel ifadesinin \( y=7 \) için değerini bulalım.
\( y \) yerine 7 yazılır:
\( 2(7-1) = 2(6) = 2 \times 6 = 12 \)

5.4. Doğal Sayı ile Cebirsel İfadeyi Çarpma ✖️

Bir doğal sayı ile bir cebirsel ifadeyi çarparken, doğal sayı cebirsel ifadenin içindeki her terimle ayrı ayrı çarpılır (dağılma özelliği).

Örnek: \( 4(x+2) \) işlemini yapalım.
4 sayısı hem \( x \) ile hem de 2 ile çarpılır:
\( 4 \times x + 4 \times 2 = 4x + 8 \)

Örnek: \( 5(2a-3) \) işlemini yapalım.
5 sayısı hem \( 2a \) ile hem de \( -3 \) ile çarpılır:
\( 5 \times 2a - 5 \times 3 = 10a - 15 \)