İşlemlerle cebirsel ifadeler ve değişim Ders Notu

İşlemlerle Cebirsel İfadeler ve Değişim

Matematikte sayılarla yaptığımız işlemleri, bilinmeyen değerleri temsil eden harflerle de yapabiliriz. Bu harflere "değişken" denir ve cebirsel ifadelerin temelini oluştururlar. Cebirsel ifadeler, sayılar, değişkenler ve işlemlerden oluşur. Bu bölümde, cebirsel ifadelerle toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini öğreneceğiz.

Cebirsel İfadeler Nelerdir?

Cebirsel ifade, bir veya daha fazla değişken içeren, sayılar ve işlem sembolleriyle (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) oluşturulan matematiksel bir ifadedir. Örneğin:

• \( 3x \) : 3 ile bilinmeyen bir sayının çarpımı.
• \( a + 5 \) : Bilinmeyen bir sayı ile 5'in toplamı.
• \( 2y - 7 \) : Bilinmeyen bir sayının 2 katının 7 eksiği.
• \( \frac{b}{4} \) : Bilinmeyen bir sayının 4'e bölümü.

Benzer Terimler

Cebirsel ifadelerde, aynı değişkene ve aynı kuvvete sahip terimlere "benzer terimler" denir. Benzer terimleri toplama veya çıkarma işlemi yapabiliriz.

Örnek 1: Benzer Terimleri Toplama/Çıkarma

Aşağıdaki cebirsel ifadeyi sadeleştiriniz:

\[ 5x + 3y - 2x + 4y \]

Çözüm:

Önce benzer terimleri gruplayalım:

\( (5x - 2x) + (3y + 4y) \)

Şimdi benzer terimleri kendi aralarında toplayalım/çıkaralım:

\[ (5-2)x + (3+4)y \] \[ 3x + 7y \]

Sadeleşmiş cebirsel ifademiz \( 3x + 7y \)'dir.

Cebirsel İfadelerle Toplama ve Çıkarma

Cebirsel ifadelerle toplama ve çıkarma yaparken, benzer terimleri bir araya getiririz.

Örnek 2: Cebirsel İfadelerle Toplama

Aşağıdaki iki cebirsel ifadeyi toplayınız:

Birinci ifade: \( 4a + 2b \)

İkinci ifade: \( a - 5b \)

Çözüm:

İki ifadeyi toplarız:

\[ (4a + 2b) + (a - 5b) \]

Benzer terimleri gruplayalım:

\[ (4a + a) + (2b - 5b) \]

Toplama/çıkarma işlemini yapalım:

\[ (4+1)a + (2-5)b \] \[ 5a - 3b \]

Sonuç: \( 5a - 3b \)

Örnek 3: Cebirsel İfadelerle Çıkarma

Aşağıdaki cebirsel ifadeden diğerini çıkarınız:

İlk ifade: \( 6m + 3n \)

Çıkarılacak ifade: \( 2m - n \)

Çözüm:

Çıkarma işlemi yaparken, çıkarılacak ifadenin her teriminin işaretini değiştiririz:

\[ (6m + 3n) - (2m - n) \] \[ 6m + 3n - 2m + n \]

Benzer terimleri gruplayalım:

\[ (6m - 2m) + (3n + n) \]

İşlemleri yapalım:

\[ (6-2)m + (3+1)n \] \[ 4m + 4n \]

Sonuç: \( 4m + 4n \)

Cebirsel İfadelerle Çarpma

Bir sayıyı bir cebirsel ifadeyle çarparken, sayıyı cebirsel ifadenin her terimiyle çarparız. İki cebirsel ifadeyi çarparken de benzer kurallar geçerlidir.

Örnek 4: Sayı ile Cebirsel İfade Çarpımı

Aşağıdaki çarpma işlemini yapınız:

\[ 3(2x + 5) \]

Çözüm:

3'ü parantez içindeki her terimle çarparız:

\[ 3 \times 2x + 3 \times 5 \] \[ 6x + 15 \]

Sonuç: \( 6x + 15 \)

Örnek 5: Cebirsel İfade ile Cebirsel İfade Çarpımı

Aşağıdaki çarpma işlemini yapınız:

\[ x(y + 4) \]

Çözüm:

x'i parantez içindeki her terimle çarparız:

\[ x \times y + x \times 4 \] \[ xy + 4x \]

Sonuç: \( xy + 4x \)

Cebirsel İfadelerle Bölme

Bir cebirsel ifadeyi bir sayıya bölerken, cebirsel ifadenin her terimini o sayıya böleriz.

Örnek 6: Cebirsel İfadeyi Sayıya Bölme

Aşağıdaki bölme işlemini yapınız:

\[ \frac{8a + 12}{4} \]

Çözüm:

Paydaki her terimi paydaya böleriz:

\[ \frac{8a}{4} + \frac{12}{4} \] \[ 2a + 3 \]

Sonuç: \( 2a + 3 \)

Günlük Yaşamdan Örnekler

Cebirsel ifadeler, günlük yaşamda karşılaştığımız birçok problemi çözmek için kullanılır. Örneğin:

• Alışveriş: Bir markette tanesi \( x \) TL olan kalemlerden 5 tane ve tanesi \( y \) TL olan silgilerden 2 tane aldınız. Toplam ödeyeceğiniz tutarı gösteren cebirsel ifade \( 5x + 2y \) olur.
• Mesafe Hesaplama: Bir araç saatte \( v \) kilometre hızla gidiyor. Bu araç 3 saatte ne kadar yol alır? Yol = Hız × Zaman formülünden \( 3v \) kilometre yol alır.

Değişim ve Cebirsel İfadeler

Cebirsel ifadelerdeki değişkenler, değerleri değişebilen nicelikleri temsil eder. Bu değişkenlerin alabileceği farklı değerlere göre cebirsel ifadenin değeri de değişir.

Örnek 7: Değişkenin Değerine Göre İfadenin Değerini Bulma

Cebirsel ifade \( 2x + 1 \) olsun. Eğer \( x = 3 \) ise ifadenin değeri nedir?

Çözüm:

İfadede \( x \) yerine 3 yazarız:

\[ 2(3) + 1 \] \[ 6 + 1 \] \[ 7 \]

Eğer \( x = 5 \) ise ifadenin değeri nedir?

Çözüm:

İfadede \( x \) yerine 5 yazarız:

\[ 2(5) + 1 \] \[ 10 + 1 \] \[ 11 \]

Gördüğümüz gibi, değişkenin değeri değiştikçe cebirsel ifadenin sonucu da değişmektedir.