🎓 6. Sınıf
📚 6. Sınıf Matematik
💡 6. Sınıf Matematik: İki Paralel Doğru ve İki Kesenle Oluşan Açılar Çözümlü Örnekler
6. Sınıf Matematik: İki Paralel Doğru ve İki Kesenle Oluşan Açılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirine paralel olan d1 ve d2 doğrularını, bu iki doğruyu kesen bir d3 doğrusu kesmektedir. d3 doğrusu, d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan biri 70 derecedir. 💡
Buna göre, d1 ve d2 doğruları arasında kalan ve d3 doğrusunun oluşturduğu iç ters açının ölçüsü kaç derecedir?
Buna göre, d1 ve d2 doğruları arasında kalan ve d3 doğrusunun oluşturduğu iç ters açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için paralel doğrular ve kesenleri konusunda temel bilgileri hatırlayalım:
- Yöndeş Açılar: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan, aynı yöne bakan ve aynı konumda bulunan açılardır.
- İç Ters Açılar: Paralel doğruları kesen doğrunun oluşturduğu, birbirine ters yönde bakan ve paralel doğruların arasında kalan açılardır. İç ters açıların ölçüleri eşittir.
- Dış Ters Açılar: Paralel doğruları kesen doğrunun oluşturduğu, birbirine ters yönde bakan ve paralel doğruların dışında kalan açılardır. Dış ters açıların ölçüleri eşittir.
- Karşı Durumlu Açılar: Paralel doğruları kesen doğrunun oluşturduğu, birbirini bütünleyen (toplamları 180 derece olan) ve paralel doğruların arasında kalan açılardır.
- Bize verilen bilgiye göre, d3 doğrusu d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan biri 70 derecedir.
- Bizden istenen, d1 ve d2 doğruları arasında kalan ve d3 doğrusunun oluşturduğu iç ters açının ölçüsüdür.
- İç ters açıların özelliği, ölçülerinin birbirine eşit olmasıdır.
- Bu durumda, d1 doğrusunu kesen açılardan biri 70 derece ise, onunla iç ters açı olan açı da 70 derece olacaktır.
- Paralel doğrular söz konusu olduğunda, bu iç ters açı d2 doğrusunu kesen açılardan biriyle eş olacaktır.
Örnek 2:
Şekildeki gibi, d1 ve d2 doğruları birbirine paraleldir. d3 doğrusu bu iki doğruyu kesmektedir. d3 doğrusunun d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan biri \( \alpha \) açısıdır ve \( \alpha = 110^\circ \) olarak verilmiştir. 👉
Buna göre, d1 ve d2 doğruları arasında kalan ve d3 doğrusunun oluşturduğu diğer iç açının ölçüsü kaç derecedir?
Buna göre, d1 ve d2 doğruları arasında kalan ve d3 doğrusunun oluşturduğu diğer iç açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bu soruyu adım adım çözelim:
- Verilenlere göre, d1 || d2 ve d3 doğrusu d1 ve d2'yi kesiyor.
- d3 doğrusunun d1'i kestiği noktada oluşan açılardan biri \( \alpha = 110^\circ \) olarak verilmiş.
- Bu \( \alpha \) açısı, d1 ve d2 doğruları arasında kalan (içte) ve d3'ün diğer tarafında kalan açı ile iç ters açıdır.
- İç ters açıların ölçüleri eşit olduğundan, d1 ve d2 arasında kalan bu iç ters açının ölçüsü de \( 110^\circ \) olmalıdır.
- Ancak soruda bizden "d1 ve d2 doğruları arasında kalan ve d3 doğrusunun oluşturduğu diğer iç açının ölçüsü" isteniyor. Bu ifade, \( \alpha \) açısının oluşturduğu iç ters açının yanındaki, komşu ve bütünler olan açıyı ifade eder.
- Bir doğru üzerindeki bütünler iki açının toplamı \( 180^\circ \)dir.
- Dolayısıyla, \( \alpha \) açısının yanındaki iç açının ölçüsü \( 180^\circ - \alpha \) olacaktır.
- Hesaplayalım: \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
Örnek 3:
İki paralel doğru, üçüncü bir doğru tarafından kesildiğinde, bu doğruların arasında kalan açılara iç açılar denir. 💡
Eğer bu iç açılardan biri 55 derece ise, onunla karşı durumlu açı olan açının ölçüsü kaç derecedir?
Eğer bu iç açılardan biri 55 derece ise, onunla karşı durumlu açı olan açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Karşı durumlu açıları hatırlayalım:
- Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu, aynı tarafta bulunan ve paralel doğruların arasında kalan açılardır.
- Karşı durumlu açıların toplamı 180 derecedir (birbirlerini bütünlerler).
- Bize bir iç açının ölçüsü 55 derece olarak verilmiş.
- Bu açının karşı durumlu açısını bulmak istiyoruz.
- Karşı durumlu açıların toplamı 180 derece olduğundan, istenen açının ölçüsü \( 180^\circ - 55^\circ \) olacaktır.
- Hesaplama: \( 180 - 55 = 125 \).
Örnek 4:
Bir tren rayı düşünelim. İki ray birbirine paraleldir. 🛤️
Bu raylar boyunca ilerleyen bir trenin, rayları kesen bir makas (yol ayrımı) noktasına yaklaştığını hayal edelim. Makas noktası, paralel rayları kesen bir doğru gibi düşünülebilir.
Eğer makas noktasında, bir ray ile makasın oluşturduğu açılardan biri 60 derece ise, diğer paralel ray ile makasın aynı yöne bakan (yöndeş) açısı kaç derece olur?
Bu raylar boyunca ilerleyen bir trenin, rayları kesen bir makas (yol ayrımı) noktasına yaklaştığını hayal edelim. Makas noktası, paralel rayları kesen bir doğru gibi düşünülebilir.
Eğer makas noktasında, bir ray ile makasın oluşturduğu açılardan biri 60 derece ise, diğer paralel ray ile makasın aynı yöne bakan (yöndeş) açısı kaç derece olur?
Çözüm:
Bu günlük hayat örneğini matematiksel olarak inceleyelim:
- Tren rayları birbirine paraleldir (d1 || d2).
- Makas noktası, bu paralel rayları kesen bir d3 doğrusu gibidir.
- Bir ray (örneğin d1) ile makasın (d3) oluşturduğu açılardan biri 60 derece olarak verilmiş.
- Bizden istenen, diğer paralel ray (d2) ile makasın (d3) aynı yöne bakan (yöndeş) açısının ölçüsüdür.
- Yöndeş Açılar, paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu, aynı konumda bulunan ve aynı yöne bakan açılardır. Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- Dolayısıyla, d1 doğrusu ile d3 doğrusunun kesişiminde oluşan 60 derecelik açı, d2 doğrusu ile d3 doğrusunun kesişiminde oluşan yöndeş açıya eşittir.
Örnek 5:
Şekildeki gibi, d1 ve d2 doğruları birbirine paraleldir. d3 doğrusu bu iki doğruyu kesmektedir. d3 doğrusunun d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan biri \( 3x + 10^\circ \) ve onunla aynı tarafta, paralel doğruların arasında kalan diğer iç açı \( 2x + 30^\circ \) olarak verilmiştir. 👉
Buna göre, \( x \) değeri kaçtır ve oluşan bu iki iç açının ölçüleri kaç derecedir?
Buna göre, \( x \) değeri kaçtır ve oluşan bu iki iç açının ölçüleri kaç derecedir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için karşı durumlu açıların özelliğini kullanacağız: Paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu, aynı tarafta bulunan ve paralel doğruların arasında kalan iç açıların toplamı \( 180^\circ \)dir.
- Verilen açılar aynı tarafta ve paralel doğruların arasında olduğundan, bu iki açının toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır.
- Denklemimizi kuralım: \( (3x + 10) + (2x + 30) = 180 \).
- Denklemi çözelim:
- Benzer terimleri toplayalım: \( 5x + 40 = 180 \).
- Sabit terimi karşıya atalım: \( 5x = 180 - 40 \).
- \( 5x = 140 \).
- Her iki tarafı 5'e bölelim: \( x = \frac{140}{5} \).
- \( x = 28 \).
- Şimdi \( x \) değerini kullanarak açıların ölçülerini bulalım:
- Birinci açı: \( 3x + 10 = 3(28) + 10 = 84 + 10 = 94^\circ \).
- İkinci açı: \( 2x + 30 = 2(28) + 30 = 56 + 30 = 86^\circ \).
- Kontrol edelim: Toplamları \( 94^\circ + 86^\circ = 180^\circ \) olmalı. Evet, doğru.
Örnek 6:
d1 ve d2 doğruları paraleldir. d3 doğrusu bu doğruları kesmektedir. d3 doğrusunun d1'i kestiği noktada oluşan açılardan biri 130 derecedir. 💡
Bu 130 derecelik açının dış ters açısının ölçüsü kaç derecedir?
Bu 130 derecelik açının dış ters açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için dış ters açıların tanımını ve özelliğini hatırlayalım:
- Dış Ters Açılar: Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu, birbirine ters yönde bakan ve paralel doğruların dışında kalan açılardır.
- Özelliği: Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- Bize verilen d1 ve d2 doğruları paraleldir ve d3 doğrusu bunları kesmektedir.
- d3 doğrusunun d1'i kestiği noktada oluşan açılardan biri 130 derecedir.
- Bu 130 derecelik açı, paralel doğruların dışında kalan bir açıdır.
- Bizden istenen, bu açının dış ters açısıdır.
- Dış ters açıların ölçüleri eşit olduğundan, 130 derecelik açının dış ters açısı da 130 derece olacaktır.
Örnek 7:
İki paralel doğru, üçüncü bir doğru tarafından kesildiğinde, oluşan 8 açıdan bahsedebiliriz. 📐
Eğer bu açılardan biri 40 derece ise, onunla yöndeş olan açının ölçüsü kaç derecedir?
Eğer bu açılardan biri 40 derece ise, onunla yöndeş olan açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için yöndeş açıların tanımını ve özelliğini hatırlayalım:
- Yöndeş Açılar: Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu, aynı konumda bulunan ve aynı yöne bakan açılardır.
- Özelliği: Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- Bize verilen bilgide, oluşan açılardan birinin ölçüsü 40 derecedir.
- Bizden istenen, bu açıyla yöndeş olan açının ölçüsüdür.
- Yöndeş açıların ölçüleri eşit olduğundan, 40 derecelik açının yöndeş açısı da 40 derece olacaktır.
Örnek 8:
Bir masanın kenarlarını düşünelim. Masanın iki uzun kenarı birbirine paraleldir. 📏
Bu paralel kenarları kesen bir cetvel hayal edelim. Cetvel, paralel kenarları kesen bir doğru gibi davranır.
Eğer cetvelin bir paralel kenarla yaptığı açılardan biri 110 derece ise, diğer paralel kenarla yaptığı ve ilk açıyla ters açı olan açının ölçüsü kaç derecedir?
Bu paralel kenarları kesen bir cetvel hayal edelim. Cetvel, paralel kenarları kesen bir doğru gibi davranır.
Eğer cetvelin bir paralel kenarla yaptığı açılardan biri 110 derece ise, diğer paralel kenarla yaptığı ve ilk açıyla ters açı olan açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bu günlük hayat örneğini matematiksel olarak inceleyelim:
- Masanın iki uzun kenarı birbirine paraleldir (d1 || d2).
- Cetvel, bu paralel kenarları kesen bir d3 doğrusu gibidir.
- Cetvelin bir paralel kenarla (d1) yaptığı açılardan biri 110 derece olarak verilmiş.
- Bizden istenen, diğer paralel kenarla (d2) yaptığı ve ilk açıyla ters açı olan açının ölçüsüdür.
- Ancak burada dikkat etmemiz gereken bir nokta var: Soruda "ilk açıyla ters açı olan" denmiş. Eğer 110 derecelik açı, d1 ve d3'ün kesişiminde oluşan bir açı ise, onunla ters açı olan açı da aynı noktada oluşur ve ölçüsü 110 derecedir.
- Paralel doğrular ve kesenler konusunda, iki farklı noktada oluşan açılar arasındaki ilişkilere bakmalıyız.
- Eğer 110 derecelik açı, d1'i kesen açılardan biri ise, d2'yi kesen açılardan onunla yöndeş olan açı da 110 derece olur.
- Ya da, d1'i kesen 110 derecelik açının yanındaki bütünler açı \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \) olur. Bu 70 derecelik açı ile d2'yi kesen açılardan biri iç ters olur ve 70 derece olur.
- Soruda "ilk açıyla ters açı olan" ifadesi biraz kafa karıştırıcı olabilir. Eğer kastedilen, d1'i kesen 110 derecelik açının karşısındaki ve aynı noktada oluşan ters açı ise, o da 110 derecedir. Ancak bu, d2 ile ilgili bir bilgi vermez.
- Eğer soru, d1'i kesen 110 derecelik açının karşı durumlu açısının d2'deki karşılığını soruyorsa, o zaman işler değişir.
- En yaygın yorumla, eğer 110 derecelik açı d1'i kesen bir açı ise, d2'deki yöndeş açısı da 110 derece olacaktır.
- Eğer soru, d1'i kesen 110 derecelik açının iç ters açısı ile d2'deki ilişkiyi soruyorsa: 110 derecelik açının iç tersi, d1'in diğer tarafında ve d1-d2 arasında kalan açıdır. Bu açı \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \) olur. Bu 70 derecelik açı, d2'yi kesen açılardan biriyle iç ters olur.
- Sorunun en net yorumu, 110 derecelik açının yöndeş açısının d2'deki karşılığıdır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/6-sinif-matematik-iki-paralel-dogru-ve-iki-kesenle-olusan-acilar/sorular