İki Paralel Doğru ve İki Kesenle Oluşan Açılar Ders Notu

Merhaba 6. Sınıf öğrencileri! Bugün matematikte çok önemli bir konuya giriş yapıyoruz: İki Paralel Doğru ve İki Kesenle Oluşan Açılar. Bu konu, geometrinin temel taşlarından biridir ve ileride karşınıza çıkacak pek çok konuda size yardımcı olacaktır. Hazırsanız, bu ilginç dünyayı keşfetmeye başlayalım!

İki Paralel Doğru ve Bir Kesen

İki paralel doğru, birbirleriyle hiçbir zaman kesişmeyen düz çizgilerdir. Bir üçüncü doğru, bu iki paralel doğruyu keserse, bu üçüncü doğruya "kesen" denir. Bu kesişim sonucunda toplamda 8 tane açı oluşur. Bu açıların birbirleriyle özel ilişkileri vardır.

Oluşan Açılar ve İsimleri

İki paralel doğruyu bir kesen kestiğinde oluşan açılar şunlardır:

• Yöndeş Açılar: Kesenin aynı tarafında ve paralel doğruların aynı yönüne bakan açılardır. Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
• İç Ters Açılar: Paralel doğruların arasında kalan ve kesene zıt yönlere bakan açılardır. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
• Dış Ters Açılar: Paralel doğruların dışında kalan ve kesene zıt yönlere bakan açılardır. Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
• Karşı Durumlu Açılar (Karşıt Yöndeş Açılar): Paralel doğruların arasında kalan ve kesenin aynı tarafına bakan açılardır. Karşı durumlu açıların ölçüleri toplamı \( 180^\circ \) dir.
• Komşu Açılar: Birbirine bitişik olan ve birer ışınları ortak olan açılardır. Komşu açıların toplamı, ortak olmayan ışınların oluşturduğu açının ölçüsüne eşittir.
• Tümler Açılar: Toplamları \( 90^\circ \) olan iki açıya denir.
• Bütünler Açılar: Toplamları \( 180^\circ \) olan iki açıya denir.

Örnek 1: Yöndeş Açılar 📐

Şekilde, d1 ve d2 doğruları birbirine paraleldir. k doğrusu ise bu iki doğruyu kesmektedir. Kesenin üst tarafında, sağa doğru bakan açı \( 50^\circ \) ise, diğer paralel doğru üzerinde aynı yöne bakan açı da \( 50^\circ \) olur.

Eğer bir açının ölçüsü \( \alpha \) ise, onun yöndeş açısının ölçüsü de \( \alpha \) olur. Yani, \( \text{Yöndeş Açılar} = \alpha \).

Örnek 2: İç Ters Açılar 📐

Paralel doğruların arasında kalan ve kesene zıt yönlere bakan açılar iç ters açılardır. Eğer bir iç ters açı \( 70^\circ \) ise, diğer iç ters açının ölçüsü de \( 70^\circ \) olur.

Eğer bir açının ölçüsü \( \beta \) ise, onun iç ters açısının ölçüsü de \( \beta \) olur. Yani, \( \text{İç Ters Açılar} = \beta \).

Örnek 3: Karşı Durumlu Açılar 📐

Paralel doğruların arasında kalan ve kesenin aynı tarafına bakan açılar karşı durumlu açılardır. Bu açıların toplamı \( 180^\circ \) dir. Örneğin, bir karşı durumlu açı \( 110^\circ \) ise, diğer karşı durumlu açı \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \) olur.

Eğer bir açının ölçüsü \( \gamma \) ise, onun karşı durumlu açısının ölçüsü \( 180^\circ - \gamma \) olur. Yani, \( \text{Karşı Durumlu Açılar Toplamı} = 180^\circ \).

İki Paralel Doğru ve İki Kesen

Bu durumda oluşan açılar, yukarıdaki kuralların birleşimi ile bulunur. İki kesen olduğunda, her bir kesenin paralel doğrularla oluşturduğu açılar arasındaki ilişkileri ayrı ayrı inceleyebiliriz.

Örnek 4: İki Kesenle Oluşan Açılar 📐

d1 ve d2 doğruları paralel olsun. k1 ve k2 doğruları ise bu paralel doğruları kesen iki farklı doğrudur. Kesişim noktalarından birinde oluşan \( 60^\circ \) 'lik bir açı, diğer kesişim noktasında da benzer ilişkilerle belirlenebilir. Örneğin, k1 keseni ile oluşan bir \( 60^\circ \) 'lik açı, k2 keseni ile oluşan bazı açılarla yöndeş, iç ters veya karşı durumlu açılar ilişkisi kurularak bulunabilir.

Önemli olan, her bir kesenin paralel doğrularla oluşturduğu açıları ayrı ayrı değerlendirmek ve bu açıların birbirleriyle olan ilişkilerini (yöndeş, iç ters, karşı durumlu) kullanmaktır.

Günlük Hayattan Örnek: Bir tren rayı düşünün. İki tren rayı paraleldir. Bu rayların üzerinden geçen bir köprü veya yol, bu paralel doğruları kesen birer kesen olarak düşünülebilir. Köprünün raylarla yaptığı açılar, bu konudaki kurallarla açıklanabilir.

Çözümlü Örnek:

Aşağıdaki şekilde, d1 // d2'dir. k doğrusu bu iki doğruyu kesmektedir. m(\(\angle 1\)) = \( 75^\circ \) olduğuna göre, diğer açıların ölçülerini bulunuz.

Çözüm:

• \( \angle 1 \) ile \( \angle 5 \) yöndeş açılardır. O halde m(\(\angle 5\)) = \( 75^\circ \).
• \( \angle 1 \) ile \( \angle 3 \) bütünler açılardır. O halde m(\(\angle 3\)) = \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \).
• \( \angle 3 \) ile \( \angle 7 \) yöndeş açılardır. O halde m(\(\angle 7\)) = \( 105^\circ \).
• \( \angle 1 \) ile \( \angle 7 \) karşı durumlu açılardır. O halde m(\(\angle 7\)) = \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \).
• \( \angle 5 \) ile \( \angle 8 \) bütünler açılardır. O halde m(\(\angle 8\)) = \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \).
• \( \angle 1 \) ile \( \angle 8 \) iç ters açılardır. O halde m(\(\angle 8\)) = \( 75^\circ \). (Bu bir hata, \( \angle 1 \) ile \( \angle 8 \) iç ters değil, karşı durumlu açılardır ve toplamları \( 180^\circ \) olmalıdır. Doğrusu: \( \angle 1 \) ile \( \angle 8 \) karşı durumlu açılardır ve m(\(\angle 1\)) + m(\(\angle 8\)) = \( 180^\circ \). Bu durumda m(\(\angle 8\)) = \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \).)
• \( \angle 2 \) ile \( \angle 1 \) bütünler açılardır. O halde m(\(\angle 2\)) = \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \).
• \( \angle 2 \) ile \( \angle 6 \) yöndeş açılardır. O halde m(\(\angle 6\)) = \( 105^\circ \).
• \( \angle 2 \) ile \( \angle 4 \) iç ters açılardır. O halde m(\(\angle 4\)) = \( 105^\circ \).
• \( \angle 4 \) ile \( \angle 5 \) bütünler açılardır. O halde m(\(\angle 4\)) = \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \).

Bu kuralları iyice anladığınızda, paralel doğrular ve kesenlerle ilgili tüm soruları kolayca çözebileceksiniz.