İki Paralel Doğru Ve Bir Kesenle Oluşturulan Açılar Ders Notu

İki paralel doğru ve bu doğruları kesen bir başka doğru, matematik dünyasında özel açılar oluşturur. Bu açılar, geometrinin temel yapı taşlarından biridir ve birçok alanda karşımıza çıkar. Şimdi, bu açıların neler olduğunu ve aralarındaki ilişkileri adım adım inceleyelim.

Paralel Doğrular Nedir? 🤔

Paralel doğrular, aynı düzlemde bulunan ve birbirini hiçbir zaman kesmeyen doğrulardır. Yani, ne kadar uzatılırsa uzatılsın, asla bir noktada birleşmezler.

• Paralel doğrular arasındaki uzaklık her zaman sabittir.
• İki doğrunun paralel olduğunu göstermek için genellikle " \(d_1 \parallel d_2\) " şeklinde bir gösterim kullanılır. Burada \(d_1\) ve \(d_2\) birer doğru ismidir.

Kesen Doğru Nedir? ✂️

Kesen doğru, iki veya daha fazla doğruyu farklı noktalarda kesen doğrudur. Bizim konumuzda, iki paralel doğruyu kesen bir üçüncü doğruya "kesen doğru" diyoruz.

Bir kesen doğru, paralel doğruları kestiğinde toplamda 8 adet açı oluşturur. Bu açılar arasında özel ilişkiler bulunur.

İki Paralel Doğru ve Bir Kesenle Oluşturulan Açılar 📐

Bir \(d_1\) doğrusu ile \(d_2\) doğrusu paralel olsun (yani \(d_1 \parallel d_2\)). Bu iki doğruyu kesen bir \(k\) doğrusu çizildiğinde oluşan açılar şunlardır:

1. İç Açılar ve Dış Açılar

• İç Açılar: Paralel doğruların arasında kalan açılardır.
• Dış Açılar: Paralel doğruların dışında kalan açılardır.

Örnek:

Düzlemde \(d_1\) ve \(d_2\) paralel doğruları ile onları kesen bir \(k\) doğrusu hayal edelim. \(d_1\) doğrusunun kesenle yaptığı üstteki sol açıya \(A\), üstteki sağ açıya \(B\), alttaki sol açıya \(C\), alttaki sağ açıya \(D\) diyelim.

\(d_2\) doğrusunun kesenle yaptığı üstteki sol açıya \(E\), üstteki sağ açıya \(F\), alttaki sol açıya \(G\), alttaki sağ açıya \(H\) diyelim.

• İç Açılar: \(C, D, E, F\)
• Dış Açılar: \(A, B, G, H\)

2. Ters Açılar 🔄

Birbirini kesen iki doğrunun oluşturduğu ve köşeleri ortak olan, karşılıklı duran açılardır. Ters açılar birbirine eşittir.

• Örnek: Yukarıdaki örnekteki gibi \(A, B, C, D\) ve \(E, F, G, H\) açılarına bakalım.
  • \(A\) ile \(D\) ters açılardır. Yani \(m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})\).
  • \(B\) ile \(C\) ters açılardır. Yani \(m(\widehat{B}) = m(\widehat{C})\).
  • \(E\) ile \(H\) ters açılardır. Yani \(m(\widehat{E}) = m(\widehat{H})\).
  • \(F\) ile \(G\) ters açılardır. Yani \(m(\widehat{F}) = m(\widehat{G})\).

3. Yöndeş Açılar (Aynı Yöne Bakan Açılar) ➡️

Paralel doğruları kesen bir doğru üzerinde, aynı yöne bakan açılara yöndeş açılar denir. Yöndeş açılar birbirine eşittir.

• Örnek:
  • \(A\) ile \(E\) yöndeş açılardır. Yani \(m(\widehat{A}) = m(\widehat{E})\).
  • \(B\) ile \(F\) yöndeş açılardır. Yani \(m(\widehat{B}) = m(\widehat{F})\).
  • \(C\) ile \(G\) yöndeş açılardır. Yani \(m(\widehat{C}) = m(\widehat{G})\).
  • \(D\) ile \(H\) yöndeş açılardır. Yani \(m(\widehat{D}) = m(\widehat{H})\).

4. İç Ters Açılar (Z Kuralı) ↩️↪️

Paralel doğruların arasında (iç bölgede) ve kesen doğrunun farklı taraflarında bulunan açılardır. İç ters açılar birbirine eşittir.

• Bu açılar genellikle "Z" harfine benzer bir şekil oluşturur.
• Örnek:
  • \(C\) ile \(F\) iç ters açılardır. Yani \(m(\widehat{C}) = m(\widehat{F})\).
  • \(D\) ile \(E\) iç ters açılardır. Yani \(m(\widehat{D}) = m(\widehat{E})\).

5. Dış Ters Açılar ↩️↪️

Paralel doğruların dışında (dış bölgede) ve kesen doğrunun farklı taraflarında bulunan açılardır. Dış ters açılar birbirine eşittir.

• Örnek:
  • \(A\) ile \(H\) dış ters açılardır. Yani \(m(\widehat{A}) = m(\widehat{H})\).
  • \(B\) ile \(G\) dış ters açılardır. Yani \(m(\widehat{B}) = m(\widehat{G})\).

6. Karşı Durumlu Açılar (U Kuralı) 🤝

Paralel doğruların arasında (iç bölgede) ve kesen doğrunun aynı tarafında bulunan açılardır. Karşı durumlu açıların toplamı \(180^\circ\) (bütünler) olur.

• Bu açılar genellikle "U" harfine benzer bir şekil oluşturur.
• Örnek:
  • \(D\) ile \(F\) karşı durumlu açılardır. Yani \(m(\widehat{D}) + m(\widehat{F}) = 180^\circ\).
  • \(C\) ile \(E\) karşı durumlu açılardır. Yani \(m(\widehat{C}) + m(\widehat{E}) = 180^\circ\).

Özet Tablo 📊

Açıların Özellikleri:

Açı Türü	İlişki
Ters Açılar	Eşittir
Yöndeş Açılar	Eşittir
İç Ters Açılar	Eşittir
Dış Ters Açılar	Eşittir
Karşı Durumlu Açılar	Toplamları \(180^\circ\)

Örnek Uygulama 📝

Düzlemde \(d_1\) ve \(d_2\) paralel doğruları ile onları kesen bir \(k\) doğrusu verilsin. Eğer \(d_1\) doğrusu ile \(k\) doğrusunun oluşturduğu açılardan biri \(70^\circ\) ise, diğer açıları bulalım.

Örneğin, \(d_1\) doğrusunun üst kısmında, kesenin sol tarafındaki açıya \(A\) diyelim ve \(m(\widehat{A}) = 70^\circ\) olsun.

• A'nın ters açısı: \(d_1\) doğrusunun alt kısmında, kesenin sağ tarafındaki açı \(D\) olsun. \(m(\widehat{D}) = m(\widehat{A}) = 70^\circ\).
• A'nın yöndeş açısı: \(d_2\) doğrusunun üst kısmında, kesenin sol tarafındaki açı \(E\) olsun. \(m(\widehat{E}) = m(\widehat{A}) = 70^\circ\).
• E'nin ters açısı: \(d_2\) doğrusunun alt kısmında, kesenin sağ tarafındaki açı \(H\) olsun. \(m(\widehat{H}) = m(\widehat{E}) = 70^\circ\). (Bu aynı zamanda A'nın dış ters açısıdır.)
• A'nın bütünleri (komşu bütünler): \(d_1\) doğrusunun üst kısmında, kesenin sağ tarafındaki açı \(B\) olsun. \(m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 180^\circ\) olduğundan \(70^\circ + m(\widehat{B}) = 180^\circ\), yani \(m(\widehat{B}) = 110^\circ\).
• B'nin yöndeş açısı: \(d_2\) doğrusunun üst kısmında, kesenin sağ tarafındaki açı \(F\) olsun. \(m(\widehat{F}) = m(\widehat{B}) = 110^\circ\).
• D'nin bütünleri (komşu bütünler): \(d_1\) doğrusunun alt kısmında, kesenin sol tarafındaki açı \(C\) olsun. \(m(\widehat{D}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ\) olduğundan \(70^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ\), yani \(m(\widehat{C}) = 110^\circ\). (Bu aynı zamanda B'nin ters açısıdır.)
• C'nin yöndeş açısı: \(d_2\) doğrusunun alt kısmında, kesenin sol tarafındaki açı \(G\) olsun. \(m(\widehat{G}) = m(\widehat{C}) = 110^\circ\). (Bu aynı zamanda B'nin dış ters açısıdır.)
• D ile F karşı durumlu açılardır: \(m(\widehat{D}) + m(\widehat{F}) = 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ\).
• C ile E iç ters açılardır: \(m(\widehat{C}) = 110^\circ\) ve \(m(\widehat{E}) = 70^\circ\). Bu yanlış bir örnek. \(C\) ve \(F\) iç ters açılardır (\(110^\circ = 110^\circ\)). \(D\) ve \(E\) iç ters açılardır (\(70^\circ = 70^\circ\)).

Görüldüğü gibi, paralel doğrular arasındaki açıların birbirleriyle olan ilişkileri sayesinde, sadece bir açının ölçüsünü bilerek diğer tüm açıların ölçülerini bulabiliriz.