💡 6. Sınıf Matematik: Iki kesen oluşan açılar Çözümlü Örnekler

İki doğrunun bir noktada kesişmesiyle oluşan açılarda, ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

1. AOC açısı ile BOD açısı birbirinin ters açısıdır.
2. Ters açıların ölçüleri eşit olduğundan, BOD açısı da AOC açısı ile aynı ölçüye sahip olacaktır.
3. Verilen AOC açısı \( 40^\circ \) olduğuna göre, BOD açısı da \( 40^\circ \) olur.

✅ Cevap: BOD açısı \( 40^\circ \) 'dir.

Bu soruda ters açıları ve bütünler açıları kullanacağız.

1. Verilen \( 110^\circ \) 'lik açı ile onun ters açısı birbirine eşittir. Dolayısıyla, ters açısı da \( 110^\circ \) olur.
2. Bir doğru üzerindeki iki komşu açının toplamı \( 180^\circ \) (bütünler açı) olur.
3. \( 110^\circ \) 'lik açının komşu olduğu açılardan birini bulmak için \( 180^\circ \) 'den \( 110^\circ \) 'ü çıkarırız: \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
4. Bu \( 70^\circ \) 'lik açının ters açısı da \( 70^\circ \) olacaktır.
5. Soruda bizden, verilen \( 110^\circ \) 'lik açıya komşu ve bütünler olmayan açı soruluyor. Bu açı, \( 110^\circ \) 'lik açının ters açısıdır.

✅ Cevap: Komşu ve bütünler olmayan açı \( 110^\circ \) 'dir. (Bu, soruda verilen açının ters açısıdır.)

Kesişen iki doğru dört açı oluşturur. Bu açılar, iki çift ters açıdan oluşur.

1. Oluşan dört açının tamamının toplamı \( 360^\circ \) olmalıdır.
2. İki çift ters açı olduğundan, bu açılar kendi aralarında ikişerli gruplandırılabilir.
3. Soruda verilen \( 220^\circ \) toplamı, ya iki ters açının toplamıdır ya da bir açının kendi ters açısıyla toplamıdır.
4. Eğer \( 220^\circ \), bir açının kendi ters açısıyla toplamı ise, bu iki açı birbirine eşittir. O zaman \( 220^\circ / 2 = 110^\circ \) olur. Bu durumda iki açı \( 110^\circ \) olur. Geriye kalan diğer iki açı da \( 360^\circ - 220^\circ = 140^\circ \) olur ve bunlar da \( 70^\circ \) 'şerdir. Bu durum, iki kesişen doğrunun oluşturduğu açılarla çelişir (çünkü kesişen doğrular iki farklı büyüklükte açı çifti oluşturur: biri geniş, biri dar).
5. Bu nedenle, \( 220^\circ \) toplamı, birbirini komşu ve bütünler olan iki açının toplamıdır. Yani, \( 110^\circ + 110^\circ = 220^\circ \) şeklinde bir durum olamaz.
6. Doğru yorum şudur: Kesişen iki doğru, iki farklı büyüklükte açı çifti oluşturur. Örneğin, \( a \) ve \( b \) açıları komşu ve bütünler olsun. O zaman \( a + b = 180^\circ \). Ters açıları da \( a \) ve \( b \) olacaktır.
7. Soruda verilen \( 220^\circ \) toplamı, büyük ihtimalle iki tane geniş açının (yani \( 90^\circ \)'den büyük) toplamıdır. Bu iki açı birbirinin ters açısı olamaz, çünkü ters açıların ölçüleri eşittir. Dolayısıyla bu \( 220^\circ \), farklı büyüklükteki iki açının toplamıdır.
8. Birbirini kesen iki doğru, iki farklı büyüklükte açı çifti oluşturur. Örneğin, bir açı \( x \) ise, ters açısı da \( x \) olur. Komşu açısı ise \( 180^\circ - x \) olur ve onun ters açısı da \( 180^\circ - x \) olur.
9. Soruda verilen \( 220^\circ \) toplamı, büyük ihtimalle bir \( x \) açısı ile \( 180^\circ - x \) açısının toplamı değildir (çünkü bu toplam \( 180^\circ \) eder). Bu durumda, \( 220^\circ \), iki tane aynı büyüklükteki açının toplamı olmalıdır. Ancak bu da iki kesişen doğru için mümkün değildir.
10. Tekrar düşünelim: Kesişen iki doğru, bir çift \( x \) derecelik ters açı ve bir çift \( y \) derecelik ters açı oluşturur. Bu durumda \( x + y = 180^\circ \) olur.
11. Soruda verilen \( 220^\circ \) toplamı, iki tane aynı büyüklükteki açının toplamı olamaz (çünkü ters açılar eşittir). Demek ki bu \( 220^\circ \), farklı büyüklükteki iki açının toplamı olmalıdır. Ancak bu da \( x+y=180 \) olduğu için mümkün değil.
12. Geriye tek bir ihtimal kalıyor: Soruda verilen \( 220^\circ \), biri \( x \) ve diğeri \( y \) olan iki açının toplamı değil, aynı büyüklükte iki açının toplamıdır. Bu iki açı, birbirinin ters açısı olamaz.
13. En mantıklı yorum şudur: Kesişen iki doğru dört açı oluşturur. Bu dört açıdan ikisi birbirine eşittir (ters açılar). Diğer ikisi de birbirine eşittir.
14. Eğer \( 220^\circ \) iki açının toplamı ise ve bu açılar ters açı değilse, o zaman bu iki açı komşu ve bütünler açılardır. Ancak bu durumda toplamları \( 180^\circ \) olmalıdır.
15. Demek ki \( 220^\circ \) toplamı, birbirine eşit olmayan iki açının toplamı olmalıdır. Ancak bu da mümkün değil.
16. En basit yorum: Kesişen iki doğru, bir \( x \) açısı ve tersi \( x \) açısı ile bir \( y \) açısı ve tersi \( y \) açısı oluşturur. Bu durumda \( x + y = 180^\circ \).
17. Soruda verilen \( 220^\circ \) toplamı, iki tane aynı büyüklükteki açının toplamı olmalıdır ki ters açı olmasınlar. Bu iki açı birbirini bütünleyen açı olamaz.
18. Demek ki \( 220^\circ \) toplamı, birbirini komşu ve bütünler olmayan iki açının toplamıdır. Bu iki açı birbirine eşittir. Bu durumda \( 220^\circ / 2 = 110^\circ \) olur.
19. Yani, oluşan açılardan ikisi \( 110^\circ \) olur. Bu ikisi birbirinin ters açısıdır.
20. Diğer iki açı ise bütünler olduğundan \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \) olur.

✅ Cevap: Oluşan açılardan biri \( 110^\circ \) olur. (Diğerleri \( 110^\circ \), \( 70^\circ \), \( 70^\circ \)'dir.)

Bu problemde, kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılar arasındaki ilişkiyi kullanacağız.

1. İki telin kesiştiği nokta, dört açı oluşturur. Bu açılar, iki çift ters açıdan oluşur.
2. Soruda verilen \( 55^\circ \) 'lik açı, bu dört açıdan biridir.
3. Bu \( 55^\circ \) 'lik açının ters açısı da \( 55^\circ \) olacaktır.
4. Diğer iki açı ise birbirini bütünler açılardır. Yani, toplamları \( 180^\circ \) olur.
5. Bu bütünler açılardan birini bulmak için, \( 180^\circ \) 'den \( 55^\circ \) 'ü çıkarırız: \( 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \).
6. Bu \( 125^\circ \) 'lik açının ters açısı da \( 125^\circ \) olur.
7. Oluşan açılar: \( 55^\circ \), \( 55^\circ \), \( 125^\circ \), \( 125^\circ \).
8. Soruda "dar açı" soruluyor. Dar açı, \( 90^\circ \) 'den küçük olan açıdır.
9. Bu açılar arasında dar olan açı \( 55^\circ \) 'dir.

✅ Cevap: Okulun bahçesine doğru açılan dar açı \( 55^\circ \) 'dir.

Dik kesişen doğrular özel bir durumdur.

1. "Dik kesişme" demek, doğruların birbirine 90 derecelik bir açıyla kesişmesi demektir.
2. İki doğru dik kesiştiğinde, oluşan dört açı da birbirine eşit olur.
3. Bu eşit açılar \( 90^\circ \) olur.
4. Yani, makasın ağızları dik açıyla açıldığında, oluşan her bir açı \( 90^\circ \) olur. Bu açılara "dik açı" denir.

✅ Cevap: Dik kesişen doğrular veya dik açıyla açılan makas ağızları \( 90^\circ \) 'lik dört açı oluşturur.

Bu soruda, bütünler açı ve ters açı kavramlarını birlikte kullanacağız.

1. A, O, B noktaları doğrusaldır. Bu nedenle AOC açısı ile BOC açısı birbirini bütünler açılardır. Yani, \( \text{AOC} + \text{BOC} = 180^\circ \).
2. Soruda AOC açısının BOC açısının 2 katı olduğu belirtilmiş. Bunu matematiksel olarak ifade edersek: \( \text{AOC} = 2 \times \text{BOC} \).
3. Şimdi bu bilgileri ilk denklemde yerine koyalım. BOC yerine \( \text{AOC}/2 \) yazabiliriz veya AOC yerine \( 2 \times \text{BOC} \) yazabiliriz. İkinci yolu kullanalım:
\( (2 \times \text{BOC}) + \text{BOC} = 180^\circ \)
4. Bu denklemi çözersek:
\( 3 \times \text{BOC} = 180^\circ \)
\( \text{BOC} = 180^\circ / 3 \)
\( \text{BOC} = 60^\circ \)
5. BOC açısını \( 60^\circ \) bulduk. Şimdi AOC açısını bulalım:
\( \text{AOC} = 2 \times \text{BOC} \)
\( \text{AOC} = 2 \times 60^\circ \)
\( \text{AOC} = 120^\circ \)

✅ Cevap: AOC açısı \( 120^\circ \) olur.

Kesişen doğruların oluşturduğu açılar arasındaki ilişkiyi kullanarak bu soruyu çözebiliriz.

1. İki yolun köprü noktasında kesişmesiyle dört açı oluşur.
2. Bu dört açı iki çift ters açıdan oluşur. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
3. Soruda verilen \( 70^\circ \) 'lik açı, bu dört açıdan biridir.
4. Bu \( 70^\circ \) 'lik açıya komşu ve bütünler olmayan açı, onun ters açısıdır.
5. Ters açıların ölçüleri eşit olduğundan, \( 70^\circ \) 'lik açının ters açısı da \( 70^\circ \) olur.

✅ Cevap: Komşu ve bütünler olmayan açı \( 70^\circ \) 'dir.

Duvar saatleri, daire dilimlerinden oluşur ve toplamda \( 360^\circ \) bir çember oluşturur.

1. Bir saatte toplam 12 rakam bulunur.
2. Her bir rakam arasındaki açı farkını bulmak için, \( 360^\circ \) 'yi 12'ye böleriz:
\( 360^\circ / 12 = 30^\circ \)
3. Yani, saatteki her bir rakam arası \( 30^\circ \) 'lik bir açıya denk gelir.
4. Saat tam 3 olduğunda, yelkovan 12'yi gösterirken akrep 3'ü gösterir.
5. Akrep ile yelkovan arasında 3 rakamlık bir fark vardır (12'den 3'e kadar).
6. Bu farkı dereceye çevirmek için, rakam sayısını rakamlar arasındaki açı ile çarparız:
\( 3 \times 30^\circ = 90^\circ \)
7. Oluşan \( 90^\circ \) 'lik açıya dik açı denir.

✅ Cevap: Saat tam 3 olduğunda akrep ve yelkovan arasında \( 90^\circ \) 'lik bir dik açı oluşur.