Gerçek yaşam problemleri (kesirler) Ders Notu

Kesirlerle Gerçek Yaşam Problemleri 🍎

Kesirler, günlük hayatımızda sıklıkla karşılaştığımız durumları ifade etmek ve çözmek için kullandığımız önemli matematiksel araçlardır. Bu ünitede, kesirlerin gerçek yaşamdaki problemlerini nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz.

1. Kesirlerle Toplama ve Çıkarma Problemleri ➕➖

Bir bütünün parçalarını bir araya getirdiğimizde veya bir parçasını ayırdığımızda toplama ve çıkarma işlemleri devreye girer. Bu işlemler, eşit paydalı veya farklı paydalı kesirlerle yapılabilir.

Eşit Paydalı Kesirlerle İşlemler

Paydaları aynı olan kesirleri toplarken veya çıkarırken payları toplar veya çıkarırız, payda aynı kalır.

• Örnek: Bir pasta 8 eş dilime ayrılmıştır. Ali pastanın 3 dilimini, Ayşe ise 2 dilimini yemiştir. İkisi birlikte pastanın kaçta kaçını yemiştir?

Bu problemi çözmek için kesirleri toplarız:

\[ \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3+2}{8} = \frac{5}{8} \]

İkisi birlikte pastanın 5/8'ini yemiştir.

Farklı Paydalı Kesirlerle İşlemler

Farklı paydalı kesirlerle işlem yapmadan önce, paydaları eşitlemek için kesirleri denk kesirlere dönüştürmemiz gerekir. Bunun için paydaların en küçük ortak katı (EKOK) bulunur.

• Örnek: Bir su deposunun 1/3'ü su ile doludur. Depoya 1/2'si kadar daha su eklenirse deponun doluluk oranı ne kadar olur?

Paydalar farklı olduğu için EKOK'larını buluruz. 3 ve 2'nin EKOK'u 6'dır.

Kesirleri 6 paydasına eşitleyelim:

\[ \frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \]

Şimdi toplama işlemini yapabiliriz:

\[ \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6} \]

Deponun doluluk oranı 5/6 olur.

2. Kesirlerle Çarpma Problemleri ✖️

Kesirlerle çarpma işlemi, bir bütünün belirli bir kesrinin başka bir kesri kadarını bulmak için kullanılır.

Tam Sayı ile Kesir Çarpımı

Bir tam sayıyı bir kesirle çarpmak için tam sayıyı kesrin payı ile çarpar, payda aynı kalır.

• Örnek: Bir kitabın 3/4'ü 90 sayfadır. Kitabın tamamı kaç sayfadır?

Bu problemi çözmek için şöyle bir denklem kurarız:

\[ 90 \text{ sayfa} \rightarrow \frac{3}{4} \text{ kesri} \]

Kitabın tamamını (yani 1 tamını) bulmak için, 90'ı 3/4'e böleriz. Bölme işlemi, çarpma işleminin tersidir. Kesrin tersi ile çarparak buluruz.

\[ \text{Kitabın tamamı} = 90 \div \frac{3}{4} = 90 \times \frac{4}{3} \]

Hesaplamayı yapalım:

\[ 90 \times \frac{4}{3} = \frac{90}{1} \times \frac{4}{3} = \frac{90 \times 4}{1 \times 3} = \frac{360}{3} = 120 \]

Kitabın tamamı 120 sayfadır.

İki Kesrin Birbiriyle Çarpımı

İki kesri çarpmak için paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.

• Örnek: Bir kurabiye tepsisinin 1/2'si pişirilmiştir. Pişen kurabiyelerin 1/3'ü ise yenmiştir. Tepsideki kurabiyelerin kaçta kaçı yenmiştir?

Bu, tepsinin tamamının 1/2'sinin 1/3'ünü bulmak demektir. Bu yüzden kesirleri çarparız:

\[ \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1 \times 1}{2 \times 3} = \frac{1}{6} \]

Tepsideki kurabiyelerin 1/6'sı yenmiştir.

3. Kesirlerle Bölme Problemleri ➗

Kesirlerle bölme işlemi, bir bütünün ne kadarının bir kesir kadar olduğunu bulmak için kullanılır.

Tam Sayıyı Kesre Bölme

Bir tam sayıyı bir kesre bölmek için tam sayıyı kesrin tersi ile çarparız.

• Örnek: 6 metrelik bir ipin her biri 3/4 metre uzunluğunda eş parçalara ayrılırsa kaç parça elde edilir?

Bölme işlemini yapalım:

\[ 6 \div \frac{3}{4} = 6 \times \frac{4}{3} \]

Hesaplayalım:

\[ 6 \times \frac{4}{3} = \frac{6}{1} \times \frac{4}{3} = \frac{6 \times 4}{1 \times 3} = \frac{24}{3} = 8 \]

8 parça elde edilir.

Kesri Tam Sayıya Bölme

Bir kesri bir tam sayıya bölmek için kesri, tam sayının tersi (1/tam sayı) ile çarparız.

• Örnek: Bir pastanın 3/4'ü vardır. Bu pasta 3 kişiye eşit olarak paylaştırılırsa her bir kişiye pastanın kaçta kaçı düşer?

Bölme işlemini yapalım:

\[ \frac{3}{4} \div 3 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} \]

Hesaplayalım:

\[ \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{4 \times 3} = \frac{3}{12} \]

Bu kesri sadeleştirebiliriz:

\[ \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]

Her bir kişiye pastanın 1/4'ü düşer.

İki Kesri Birbirine Bölme

Bir kesri başka bir kesre bölmek için birinci kesri, ikinci kesrin tersi ile çarparız.

• Örnek: Bir şişede 5/6 litre süt vardır. Bu süt, her biri 1/12 litre alan bardaklara doldurulursa kaç bardak süt olur?

Bölme işlemini yapalım:

\[ \frac{5}{6} \div \frac{1}{12} = \frac{5}{6} \times \frac{12}{1} \]

Hesaplayalım:

\[ \frac{5}{6} \times \frac{12}{1} = \frac{5 \times 12}{6 \times 1} = \frac{60}{6} = 10 \]

10 bardak süt olur.

4. Oran ve Orantı Problemleri (Kesir Tabanlı) ⚖️

Oran, iki niceliğin karşılaştırılmasıdır ve kesir şeklinde ifade edilebilir. Orantı ise iki oranın eşitliğidir.

• Örnek: Bir sınıfta 15 kız öğrenci ve 10 erkek öğrenci vardır. Sınıftaki kız öğrencilerin sayısının toplam öğrenci sayısına oranı kaçtır?

Toplam öğrenci sayısı:

\[ 15 \text{ (kız)} + 10 \text{ (erkek)} = 25 \text{ (toplam)} \]

Kız öğrencilerin toplam öğrenciye oranı:

\[ \frac{15}{25} \]

Bu kesri sadeleştirebiliriz:

\[ \frac{15}{25} = \frac{3 \times 5}{5 \times 5} = \frac{3}{5} \]

Sınıftaki kız öğrencilerin sayısının toplam öğrenci sayısına oranı 3/5'tir.