Eşitlikler Ders Notu

Hayatımızın birçok alanında karşılaştığımız, iki şeyin birbirine denk olduğunu gösteren matematiksel ifadelere eşitlik denir. Tıpkı bir terazinin iki kefesi gibi, eşitliğin her iki tarafındaki değerler birbirine denktir.

Eşitlik Nedir? 🤔

İki matematiksel ifadenin aynı değere sahip olduğunu gösteren sembol "\(=\)" ile ifade edilen duruma eşitlik denir. Örneğin:

• \(5 + 3 = 8\)
• \(10 - 2 = 8\)
• \(2 \times 4 = 8\)
• \(16 \div 2 = 8\)

Yukarıdaki tüm ifadelerde, eşitliğin sol tarafındaki işlem sonucu ile sağ tarafındaki sayı aynıdır, yani 8'e eşittir. Bu yüzden hepsi birer eşitliktir.

Eşitliğin Özellikleri ⚖️

Bir eşitliğin bozulmaması için her iki tarafa da aynı işlemlerin uygulanması gerekir. Bunu bir terazi düşünerek kolayca anlayabiliriz:

• Eşitliğin Her İki Tarafına Aynı Sayıyı Eklemek: Eğer terazinin her iki kefesine de aynı ağırlığı koyarsak, terazi yine dengede kalır.

Eğer \(a = b\) ise, \(a + c = b + c\) olur.

Örnek: \(7 = 7\) ise, \(7 + 2 = 7 + 2 \Rightarrow 9 = 9\).

• Eşitliğin Her İki Tarafından Aynı Sayıyı Çıkarmak: Eğer terazinin her iki kefesinden de aynı ağırlığı alırsak, terazi yine dengede kalır.

Eğer \(a = b\) ise, \(a - c = b - c\) olur.

Örnek: \(10 = 10\) ise, \(10 - 3 = 10 - 3 \Rightarrow 7 = 7\).

• Eşitliğin Her İki Tarafını Aynı Sayıyla Çarpmak: Eğer terazinin her iki kefesindeki ağırlığı aynı oranda artırırsak (mesela iki katına çıkarırsak), terazi yine dengede kalır.

Eğer \(a = b\) ise, \(a \times c = b \times c\) olur (\(c\) sıfırdan farklı bir sayı).

Örnek: \(5 = 5\) ise, \(5 \times 2 = 5 \times 2 \Rightarrow 10 = 10\).

• Eşitliğin Her İki Tarafını Aynı Sayıya Bölmek: Eğer terazinin her iki kefesindeki ağırlığı aynı oranda azaltırsak (mesela yarısına indirirsek), terazi yine dengede kalır.

Eğer \(a = b\) ise, \(a \div c = b \div c\) olur (\(c\) sıfırdan farklı bir sayı).

Örnek: \(12 = 12\) ise, \(12 \div 3 = 12 \div 3 \Rightarrow 4 = 4\).

Bu özellikler, içinde bilinmeyen bulunan eşitlikleri (denklemleri) çözerken bize yardımcı olacaktır.

Denklem Nedir? 🤔

İçinde bir veya daha fazla bilinmeyen (genellikle \(x, y, a, b\) gibi harflerle gösterilir) bulunan eşitliklere denklem denir. Bilinmeyenin değerini bulmaya denklemi çözmek denir.

Örnekler:

• \(x + 5 = 12\)
• \(y - 3 = 7\)
• \(4a = 20\)
• \(b \div 2 = 6\)

Bu denklemlerdeki amacımız, eşitliği sağlayan \(x, y, a\) veya \(b\) değerini bulmaktır.

Basit Denklemleri Çözme ➕➖✖️➗

1. Toplama ve Çıkarma İşlemli Denklemler

Bu tür denklemlerde bilinmeyeni yalnız bırakmak için toplama işleminin tersi olan çıkarma işlemini veya çıkarma işleminin tersi olan toplama işlemini kullanırız.

Örnek 1: \(x + 7 = 15\)

Hangi sayıya 7 eklersek 15 yapar? Bunu bulmak için 15'ten 7'yi çıkarırız:

\[ x + 7 - 7 = 15 - 7 \] \[ x = 8 \]

Kontrol edelim: \(8 + 7 = 15\). Doğru.

Örnek 2: \(y - 4 = 9\)

Hangi sayıdan 4 çıkarırsak 9 yapar? Bunu bulmak için 9'a 4 ekleriz:

\[ y - 4 + 4 = 9 + 4 \] \[ y = 13 \]

Kontrol edelim: \(13 - 4 = 9\). Doğru.

2. Çarpma ve Bölme İşlemli Denklemler

Bu tür denklemlerde bilinmeyeni yalnız bırakmak için çarpma işleminin tersi olan bölme işlemini veya bölme işleminin tersi olan çarpma işlemini kullanırız.

Örnek 3: \(3a = 21\)

Hangi sayıyı 3 ile çarparsak 21 yapar? Bunu bulmak için 21'i 3'e böleriz:

\[ \frac{3a}{3} = \frac{21}{3} \] \[ a = 7 \]

Kontrol edelim: \(3 \times 7 = 21\). Doğru.

Örnek 4: \(b \div 5 = 4\)

Hangi sayıyı 5'e bölersek 4 yapar? Bunu bulmak için 4'ü 5 ile çarparız:

\[ b \div 5 \times 5 = 4 \times 5 \] \[ b = 20 \]

Kontrol edelim: \(20 \div 5 = 4\). Doğru.

Problem Çözme 💡

Günlük hayattaki bazı durumları denklemlerle ifade edip çözebiliriz.

Problem 1:

Ali'nin belirli bir miktarda misketi vardır. Arkadaşı ona 8 misket daha verdiğinde Ali'nin 23 misketi oluyor. Ali'nin başlangıçta kaç misketi vardı?

Çözüm:

• Ali'nin başlangıçtaki misket sayısına \(x\) diyelim.
• 8 misket daha eklendiğinde: \(x + 8\)
• Toplam misket sayısı 23 olduğuna göre denklemimiz: \(x + 8 = 23\)
• Denklemi çözelim:
\[ x + 8 - 8 = 23 - 8 \] \[ x = 15 \]

Ali'nin başlangıçta 15 misketi vardı.

Problem 2:

Bir sepetteki elmaların 4 katı 36 ediyorsa, sepette kaç elma vardır?

Çözüm:

• Sepetteki elma sayısına \(y\) diyelim.
• Elmaların 4 katı: \(4y\)
• Bu miktar 36'ya eşit olduğuna göre denklemimiz: \(4y = 36\)
• Denklemi çözelim:
\[ \frac{4y}{4} = \frac{36}{4} \] \[ y = 9 \]

Sepette 9 elma vardır.