Deneysel olasılık ve kesirlerle dört işlem Ders Notu

Deneysel Olasılık ve Kesirlerle Dört İşlem

Bu derste, bir olayın gerçekleşme sıklığına dayanan deneysel olasılık kavramını ve kesirlerle toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini öğreneceğiz. Bu iki konuyu birleştirerek problem çözme becerilerimizi geliştireceğiz.

Deneysel Olasılık Nedir?

Deneysel olasılık, bir olayın belirli bir deneme sayısı içinde kaç kez gerçekleştiğini gözlemleyerek hesaplanan olasılıktır. Deney sonuçlarına dayandığı için deneyseldir.

Deneysel olasılık şu formülle hesaplanır:

\[ \text{Deneysel Olasılık} = \frac{\text{İstenen Olayın Gerçekleşme Sayısı}}{\text{Toplam Deneme Sayısı}} \]

Örneğin, bir madeni parayı 100 kez attığımızda 53 kez yazı gelirse, yazı gelme deneysel olasılığı \( \frac{53}{100} \) olur.

Kesirlerle Dört İşlem

Kesirlerle dört işlem yaparken dikkat etmemiz gereken bazı kurallar vardır.

Kesirlerle Toplama ve Çıkarma

Kesirleri toplamak veya çıkarmak için paydalarının eşit olması gerekir. Paydalar eşit değilse, paydaları eşitlemek için kesirleri genişletiriz.

• Paydalar eşitken toplama: Payları toplar, paydayı olduğu gibi yazarız. \[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \]
• Paydalar eşitken çıkarma: Payları çıkarır, paydayı olduğu gibi yazarız. \[ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \]
• Paydaları eşitleme (Genişletme): Bir kesrin pay ve paydasını aynı sayı ile çarparsak kesrin değeri değişmez. \[ \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} \]

Örnek: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \) işlemini yapalım. Önce paydaları eşitleriz. \( \frac{1}{3} \) kesrini 2 ile genişletirsek \( \frac{2}{6} \) olur. Şimdi toplama işlemini yapabiliriz: \( \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} \). Bu kesir sadeleştirilebilir: \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).

Kesirlerle Çarpma

Kesirleri çarpmak için payları kendi arasında, paydaları kendi arasında çarparız.

\[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \]

Örnek: \( \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{5 \times 4} = \frac{6}{20} \). Bu kesir sadeleştirilebilir: \( \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \).

Kesirlerle Bölme

Bir kesri başka bir kesre bölmek için, birinci kesri ikinci kesrin ters çevrilmiş hali ile çarparız.

\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \]

Örnek: \( \frac{3}{7} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{7} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{7 \times 2} = \frac{15}{14} \).

Deneysel Olasılık ve Kesirlerle Dört İşlem Problemleri

Şimdi öğrendiğimiz iki konuyu birleştiren örneklere bakalım:

Soru 1: Bir torbada 5 mavi, 3 kırmızı ve 2 sarı bilye vardır. Torbadan rastgele bir bilye çekildiğinde mavi gelme olasılığı kaçtır? Eğer bu işlem 50 kez tekrarlanırsa ve 25 kez mavi bilye çekilirse, mavi gelme deneysel olasılığı ne olur?

Çözüm:

Toplam bilye sayısı = \( 5 + 3 + 2 = 10 \). Mavi bilye sayısı = \( 5 \). Teorik mavi gelme olasılığı = \( \frac{\text{Mavi bilye sayısı}}{\text{Toplam bilye sayısı}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).

Deney tekrar edildiğinde:

Toplam deneme sayısı = \( 50 \). Mavi gelme sayısı = \( 25 \). Mavi gelme deneysel olasılığı = \( \frac{\text{Mavi gelme sayısı}}{\text{Toplam deneme sayısı}} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2} \).

Soru 2: Bir kek tarifinde \( \frac{3}{4} \) su bardağı süt kullanılıyor. Eğer bu tariften \( \frac{1}{2} \) oranında daha az yapılırsa, ne kadar süt kullanılır?

Çözüm:

Tariften \( \frac{1}{2} \) oranında az yapılması demek, \( \frac{1}{2} \) miktarının kullanılması demektir. Kullanılacak süt miktarı = \( \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \). Çarpma işlemini yaparsak: \( \frac{3 \times 1}{4 \times 2} = \frac{3}{8} \) su bardağı süt kullanılır.

Soru 3: Elindeki paranın \( \frac{2}{3} \) 'ünü harcayan Ayşe'nin geriye parasının \( \frac{1}{5} \) 'i 10 TL'dir. Ayşe'nin başlangıçta kaç TL'si vardı?

Çözüm:

Ayşe parasının \( \frac{2}{3} \) 'ünü harcadıysa, geriye parasının \( 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \) 'ü kalmıştır.

Geriye kalan parasının \( \frac{1}{5} \) 'i 10 TL ise, geriye kalan parasının tamamı \( 10 \div \frac{1}{5} = 10 \times 5 = 50 \) TL'dir.

Geriye kalan para \( \frac{1}{3} \) olduğuna göre ve bu miktar 50 TL olduğuna göre, başlangıçtaki parası \( 50 \times 3 = 150 \) TL idi.

Önemli Notlar

• Deneysel olasılık, yapılan denemelerin sayısına göre değişebilir. Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa daha yakın olma eğilimindedir.
• Kesirlerle dört işlem yaparken işlem önceliğine dikkat etmek önemlidir.
• Kesirleri sadeleştirmek, işlemleri kolaylaştırır.