Aralarında asal Ders Notu

Aralarında Asal Sayılar 🔢

İki veya daha fazla sayının 1'den başka ortak böleni yoksa, bu sayılara aralarında asal sayılar denir. Aralarında asal olma durumu, sayının kendisiyle değil, sayılar arasındaki ilişkiyle ilgilidir. Bu kavramı daha iyi anlamak için asal sayıları ve ortak bölenleri hatırlayalım.

Asal Sayılar

Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine tam bölünebilen 1'den büyük doğal sayılardır. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11 gibi sayılar asal sayılardır.

Ortak Bölenler

İki sayının ortak bölenleri, her iki sayıyı da tam bölebilen sayılardır. Örneğin, 12 ve 18 sayılarının ortak bölenleri şunlardır:

• 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
• 12 ve 18'in ortak bölenleri: 1, 2, 3, 6

Aralarında Asal Olma Durumu

Şimdi aralarında asal olma durumuna geri dönelim. Eğer iki sayının ortak bölenleri sadece 1 ise, bu sayılar aralarında asaldır.

Örnek 1:

15 ve 28 sayıları aralarında asal mıdır?

• 15'in bölenleri: 1, 3, 5, 15
• 28'in bölenleri: 1, 2, 4, 7, 14, 28

15 ve 28 sayılarının ortak bölenleri sadece 1'dir. Bu nedenle, 15 ve 28 aralarında asal sayılardır. Bunu şu şekilde gösterebiliriz: EBOB(15, 28) = 1.

Örnek 2:

21 ve 35 sayıları aralarında asal mıdır?

• 21'in bölenleri: 1, 3, 7, 21
• 35'in bölenleri: 1, 5, 7, 35

21 ve 35 sayılarının ortak bölenleri 1 ve 7'dir. Ortak bölenleri 1'den farklı olduğu için, 21 ve 35 aralarında asal sayılar değildir. Bunu şu şekilde gösterebiliriz: EBOB(21, 35) = 7.

Aralarında Asal Olan Sayılarla İlgili Özellikler

• İki farklı asal sayının her zaman aralarında asal olduğunu unutmayın. Örneğin, 5 ve 11 aralarında asaldır.
• Bir asal sayı ile o asal sayının katı olmayan herhangi bir sayının aralarında asal olduğunu da bilmek önemlidir. Örneğin, 7 asal sayısı ile 10 (7'nin katı değil) aralarında asaldır.
• 1 sayısı, her doğal sayıyla aralarında asaldır. Çünkü 1'in tek böleni 1'dir ve her sayının da 1 bir bölenidir.
• Ardışık iki doğal sayının her zaman aralarında asal olduğunu da ekleyebiliriz. Örneğin, 10 ve 11, 15 ve 16 gibi sayılar her zaman aralarında asaldır.

Örnek 3:

Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangileri aralarında asaldır?

1. 12 ve 18
2. 17 ve 23
3. 25 ve 30
4. 9 ve 16

Çözüm:

1. 12 ve 18: Ortak bölenleri 1, 2, 3, 6'dır. Aralarında asal değildirler.
2. 17 ve 23: Her ikisi de asal sayıdır. Ortak bölenleri sadece 1'dir. Aralarında asaldırlar.
3. 25 ve 30: Ortak bölenleri 1 ve 5'tir. Aralarında asal değildirler.
4. 9 ve 16: 9'un bölenleri 1, 3, 9'dur. 16'nın bölenleri 1, 2, 4, 8, 16'dır. Ortak bölenleri sadece 1'dir. Aralarında asaldırlar.

Aralarında Asal Olma Durumu Günlük Hayatta Nerede Karşımıza Çıkar?

Aralarında asal olma kavramı, özellikle kesirleri sadeleştirirken karşımıza çıkar. Bir kesri en sade hale getirmek demek, pay ve paydasını aralarında asal olana kadar sadeleştirmek demektir. Örneğin, \( \frac{12}{18} \) kesrini sadeleştirdiğimizde, hem pay hem de payda 6'ya bölünerek \( \frac{2}{3} \) elde edilir. 2 ve 3 aralarında asal olduğu için kesir en sade halindedir.

Ayrıca, şifreleme sistemleri ve bazı matematiksel algoritmalarda da aralarında asal sayılar önemli bir rol oynar.