Kesirleri Genişletme ve Sadeleştirme Ders Notu

Kesirleri genişletme ve sadeleştirme, kesirlerle işlem yaparken büyük kolaylık sağlayan temel iki yöntemdir. Bu yöntemler sayesinde farklı paydalara sahip kesirleri karşılaştırabilir, toplayabilir veya çıkarabiliriz. Kesirleri genişletmek, kesrin değerini değiştirmeden pay ve paydasını aynı sayı ile çarpmaktır. Kesirleri sadeleştirmek ise kesrin değerini değiştirmeden pay ve paydasını aynı sayma bölmektir.

Kesirleri Genişletme ➕

Bir kesrin değerini değiştirmeden payını ve paydasını aynı doğal sayı ile çarparsak, elde ettiğimiz kesir ilk kesre denk olur. Bu işleme kesirleri genişletme denir.

Nasıl Genişletiriz?

Kesirleri genişletmek için pay ve paydayı çarpmak istediğimiz sayıyı seçeriz. Bu sayı 1'den büyük herhangi bir doğal sayı olabilir.

Örnek 1:

\( \frac{1}{2} \) kesrini 3 ile genişletelim.

Payı ile 3'ü çarparız: \( 1 \times 3 = 3 \)
Paydası ile 3'ü çarparız: \( 2 \times 3 = 6 \)

Sonuç olarak \( \frac{1}{2} \) kesrinin 3 ile genişletilmiş hali \( \frac{3}{6} \) olur. Yani, \( \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \).

Örnek 2:

\( \frac{2}{5} \) kesrini 4 ile genişletelim.

Pay: \( 2 \times 4 = 8 \)
Payda: \( 5 \times 4 = 20 \)

Bu durumda \( \frac{2}{5} = \frac{8}{20} \) olur.

Neden Genişletiriz?

Kesirleri genişletmenin en önemli kullanım alanlarından biri, farklı paydalara sahip kesirleri toplama veya çıkarma işlemine hazırlamaktır. Ortak bir payda elde etmek için kesirleri genişletiriz.

Günlük Hayattan Örnek:

Bir pizzanın \( \frac{1}{2} \) sini ve \( \frac{1}{4} \) ünü yediğimizi düşünelim. Bu iki kesri toplamak için önce paydalarını eşitlememiz gerekir. \( \frac{1}{2} \) kesrini 2 ile genişleterek \( \frac{2}{4} \) elde ederiz. Artık kesirlerimiz \( \frac{2}{4} \) ve \( \frac{1}{4} \) olur. Toplamda \( \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \) pizza yemiş oluruz.

Kesirleri Sadeleştirme ➖

Bir kesrin değerini değiştirmeden payını ve paydasını aynı doğal sayıya bölersek, elde ettiğimiz kesir ilk kesre denk olur. Bu işleme kesirleri sadeleştirme denir.

Nasıl Sadeleştiririz?

Kesirleri sadeleştirmek için pay ve paydanın ortak bölenini bulmamız gerekir. Pay ve paydayı bu ortak bölen ile böleriz. Eğer pay ve paydanın 1'den başka ortak böleni yoksa, kesir en sade halindedir.

Örnek 1:

\( \frac{6}{8} \) kesrini sadeleştirelim.

6 ve 8'in ortak bölenleri 1 ve 2'dir.
Kesri 2 ile sadeleştirelim:
Pay: \( 6 \div 2 = 3 \)
Payda: \( 8 \div 2 = 4 \)

Sonuç olarak \( \frac{6}{8} \) kesrinin sadeleştirilmiş hali \( \frac{3}{4} \) olur. Yani, \( \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \).

Örnek 2:

\( \frac{10}{15} \) kesrini sadeleştirelim.

10 ve 15'in ortak bölenleri 1 ve 5'tir.
Kesri 5 ile sadeleştirelim:
Pay: \( 10 \div 5 = 2 \)
Payda: \( 15 \div 5 = 3 \)

Bu durumda \( \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \) olur. \( \frac{2}{3} \) kesri en sade halindedir çünkü 2 ve 3'ün 1'den başka ortak böleni yoktur.

En Sade Haline Getirme

Bir kesri sadeleştirirken her zaman en büyük ortak böleni kullanmak, işlemi tek seferde tamamlamamızı sağlar. Eğer ortak bölenleri bulmakta zorlanırsak, sırayla küçük ortak bölenlerle (2, 3, 5 gibi) sadeleştirmeyi deneyebiliriz.

Örnek 3:

\( \frac{12}{36} \) kesrini en sade haline getirelim.

12 ve 36'nın en büyük ortak böleni 12'dir.
Kesri 12 ile sadeleştirelim:
Pay: \( 12 \div 12 = 1 \)
Payda: \( 36 \div 12 = 3 \)

Sonuç: \( \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \). Kesir en sade halindedir.

Neden Sadeleştiririz?

Kesirleri sadeleştirmek, kesirleri daha anlaşılır hale getirir ve karşılaştırma, toplama, çıkarma gibi işlemleri kolaylaştırır. Ayrıca, bir kesrin en sade halini bilmek, kesrin tam değerini daha net görmemizi sağlar.

Çözümlü Alıştırma:

Aşağıdaki kesirleri belirtilen sayılarla genişletiniz veya sadeleştiriniz:

\( \frac{3}{5} \) kesrini 2 ile genişletiniz.
\( \frac{15}{20} \) kesrini 5 ile sadeleştiriniz.
\( \frac{1}{3} \) kesrini 4 ile genişletiniz.
\( \frac{8}{12} \) kesrini en sade haline getiriniz.

Çözümler:

\( \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10} \)
\( \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4} \)
\( \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12} \)
8 ve 12'nin en büyük ortak böleni 4'tür. \( \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3} \)