💡 5. Sınıf Matematik: Kenar Uzunlukları Doğal Sayı Olan Bir Dikdörtgenin Alanı Verildiğinde Çevre Uzunluğunu, Çevresi Verildiğinde Alanını Yorumlama Çözümlü Örnekler

Bir dikdörtgenin alanı, uzun kenarı ile kısa kenarının çarpılmasıyla bulunur. Kenar uzunlukları doğal sayı olduğuna göre, \( 18 \text{ cm}^2 \) alanına sahip bir dikdörtgenin kenarları şu şekilde olabilir:

• 👉 Olasılık 1: Kenar uzunlukları \( 1 \text{ cm} \) ve \( 18 \text{ cm} \) olabilir.
• Çünkü \( 1 \times 18 = 18 \).
• Bu durumda çevre uzunluğu: \( 2 \times (1 + 18) = 2 \times 19 = 38 \text{ cm} \). ✅
• 👉 Olasılık 2: Kenar uzunlukları \( 2 \text{ cm} \) ve \( 9 \text{ cm} \) olabilir.
• Çünkü \( 2 \times 9 = 18 \).
• Bu durumda çevre uzunluğu: \( 2 \times (2 + 9) = 2 \times 11 = 22 \text{ cm} \). ✅
• 👉 Olasılık 3: Kenar uzunlukları \( 3 \text{ cm} \) ve \( 6 \text{ cm} \) olabilir.
• Çünkü \( 3 \times 6 = 18 \).
• Bu durumda çevre uzunluğu: \( 2 \times (3 + 6) = 2 \times 9 = 18 \text{ cm} \). ✅

Buna göre, dikdörtgenin çevresi \( 38 \text{ cm} \), \( 22 \text{ cm} \) veya \( 18 \text{ cm} \) olabilir. 💡

Bir dikdörtgenin çevresi, uzun kenarı ile kısa kenarının toplamının iki katıdır. Bu durumda, uzun kenar ile kısa kenarın toplamı çevrenin yarısıdır.
Çevre \( = 24 \text{ cm} \) ise, uzun kenar \( + \) kısa kenar \( = 24 \div 2 = 12 \text{ cm} \).
Şimdi, toplamları \( 12 \) olan doğal sayı ikililerini bulalım ve her bir durum için alanı hesaplayalım:

• 👉 Olasılık 1: Kenar uzunlukları \( 1 \text{ cm} \) ve \( 11 \text{ cm} \) olabilir.
• Çünkü \( 1 + 11 = 12 \).
• Bu durumda alanı: \( 1 \times 11 = 11 \text{ cm}^2 \). ✅
• 👉 Olasılık 2: Kenar uzunlukları \( 2 \text{ cm} \) ve \( 10 \text{ cm} \) olabilir.
• Çünkü \( 2 + 10 = 12 \).
• Bu durumda alanı: \( 2 \times 10 = 20 \text{ cm}^2 \). ✅
• 👉 Olasılık 3: Kenar uzunlukları \( 3 \text{ cm} \) ve \( 9 \text{ cm} \) olabilir.
• Çünkü \( 3 + 9 = 12 \).
• Bu durumda alanı: \( 3 \times 9 = 27 \text{ cm}^2 \). ✅
• 👉 Olasılık 4: Kenar uzunlukları \( 4 \text{ cm} \) ve \( 8 \text{ cm} \) olabilir.
• Çünkü \( 4 + 8 = 12 \).
• Bu durumda alanı: \( 4 \times 8 = 32 \text{ cm}^2 \). ✅
• 👉 Olasılık 5: Kenar uzunlukları \( 5 \text{ cm} \) ve \( 7 \text{ cm} \) olabilir.
• Çünkü \( 5 + 7 = 12 \).
• Bu durumda alanı: \( 5 \times 7 = 35 \text{ cm}^2 \). ✅
• 👉 Olasılık 6: Kenar uzunlukları \( 6 \text{ cm} \) ve \( 6 \text{ cm} \) (kare) olabilir.
• Çünkü \( 6 + 6 = 12 \).
• Bu durumda alanı: \( 6 \times 6 = 36 \text{ cm}^2 \). ✅

Buna göre, dikdörtgenin alanı \( 11 \text{ cm}^2 \), \( 20 \text{ cm}^2 \), \( 27 \text{ cm}^2 \), \( 32 \text{ cm}^2 \), \( 35 \text{ cm}^2 \) veya \( 36 \text{ cm}^2 \) olabilir. 💡

Bir dikdörtgenin alanı verildiğinde, çevresinin en küçük olması için kenar uzunluklarının birbirine en yakın doğal sayılar olması gerekir. 📌
Alanı \( 36 \text{ cm}^2 \) olan dikdörtgenin kenar uzunlukları için olası doğal sayı çarpanlarını ve çevrelerini inceleyelim:

• 👉 Kenar Çifti (uzun, kısa): \( (36, 1) \)
• Çevre: \( 2 \times (36 + 1) = 2 \times 37 = 74 \text{ cm} \)
• 👉 Kenar Çifti: \( (18, 2) \)
• Çevre: \( 2 \times (18 + 2) = 2 \times 20 = 40 \text{ cm} \)
• 👉 Kenar Çifti: \( (12, 3) \)
• Çevre: \( 2 \times (12 + 3) = 2 \times 15 = 30 \text{ cm} \)
• 👉 Kenar Çifti: \( (9, 4) \)
• Çevre: \( 2 \times (9 + 4) = 2 \times 13 = 26 \text{ cm} \)
• 👉 Kenar Çifti: \( (6, 6) \) (Kare)
• Çevre: \( 2 \times (6 + 6) = 2 \times 12 = 24 \text{ cm} \)

Yukarıdaki çevre uzunluklarını karşılaştırdığımızda, en küçük çevre uzunluğunun \( 24 \text{ cm} \) olduğunu görüyoruz. Bu durum, kenar uzunlukları birbirine en yakın (yani eşit) olduğunda (kare) ortaya çıkar. ✅

Bir dikdörtgenin çevresi verildiğinde, alanının en büyük olması için kenar uzunluklarının birbirine en yakın doğal sayılar olması gerekir. 📌
Çevre \( = 40 \text{ metre} \).
Uzun kenar \( + \) kısa kenar \( = 40 \div 2 = 20 \text{ metre} \).
Şimdi, toplamları \( 20 \) olan doğal sayı ikililerini bulalım ve her bir durum için alanı hesaplayalım:

• 👉 Kenar Çifti (uzun, kısa): \( (19, 1) \)
• Alan: \( 19 \times 1 = 19 \text{ m}^2 \)
• 👉 Kenar Çifti: \( (18, 2) \)
• Alan: \( 18 \times 2 = 36 \text{ m}^2 \)
• ...
• 👉 Kenar Çifti: \( (11, 9) \)
• Alan: \( 11 \times 9 = 99 \text{ m}^2 \)
• 👉 Kenar Çifti: \( (10, 10) \) (Kare)
• Alan: \( 10 \times 10 = 100 \text{ m}^2 \)

Gördüğümüz gibi, kenar uzunlukları birbirine yaklaştıkça alan büyür. Kenarlar eşit olduğunda (kare), alan en büyük değerini alır. Bu durumda, kenarları \( 10 \text{ metre} \) ve \( 10 \text{ metre} \) olan bir kare şeklinde bahçe yapılırsa, alanı \( 100 \text{ m}^2 \) olur ve bu en büyük alandır. ✅

Ayşe teyze, bahçesinin alanını en fazla \( 100 \text{ metrekare} \) yapabilir. 💡

Bir karenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir. Alanı \( 25 \text{ cm}^2 \) ise, bir kenar uzunluğunu bulmak için hangi doğal sayının kendisiyle çarpımının \( 25 \) olduğunu düşünmeliyiz. 🤔

• 👉 \( 5 \times 5 = 25 \). O halde, karenin bir kenar uzunluğu \( 5 \text{ cm} \) dir.
• 👉 Karenin çevresi, bir kenar uzunluğunun \( 4 \) katıdır.
• Çevre: \( 4 \times 5 = 20 \text{ cm} \). ✅

Bu dikdörtgenin (karenin) çevresi \( 20 \text{ cm} \) dir. 💡

Bir dikdörtgenin çevresi \( 2 \times \) (uzun kenar \( + \) kısa kenar) formülüyle bulunur.
Çevre \( = 30 \text{ cm} \).
Kısa kenar \( = 6 \text{ cm} \).
Önce uzun kenarı bulalım:

• 👉 Uzun kenar \( + \) Kısa kenar \( = \) Çevre \( \div 2 \)
• Uzun kenar \( + 6 = 30 \div 2 \)
• Uzun kenar \( + 6 = 15 \)
• Uzun kenar \( = 15 - 6 \)
• Uzun kenar \( = 9 \text{ cm} \). ✅

Şimdi alanı hesaplayalım:

• 👉 Alan \( = \) Uzun kenar \( \times \) Kısa kenar
• Alan \( = 9 \times 6 \)
• Alan \( = 54 \text{ cm}^2 \). ✅

Bu dikdörtgenin alanı \( 54 \text{ cm}^2 \) dir. 💡

Bir dikdörtgenin alanı verildiğinde, çevresinin en büyük olması için kenar uzunluklarının birbirine en uzak doğal sayılar olması gerekir. Yani, bir kenar mümkün olduğunca küçük (genellikle 1), diğer kenar ise mümkün olduğunca büyük olmalıdır. 📌
Alanı \( 48 \text{ cm}^2 \) olan dikdörtgenin kenar uzunlukları için olası doğal sayı çarpanlarını ve çevrelerini inceleyelim:

• 👉 Kenar Çifti (uzun, kısa): \( (48, 1) \)
• Çevre: \( 2 \times (48 + 1) = 2 \times 49 = 98 \text{ cm} \)
• 👉 Kenar Çifti: \( (24, 2) \)
• Çevre: \( 2 \times (24 + 2) = 2 \times 26 = 52 \text{ cm} \)
• 👉 Kenar Çifti: \( (16, 3) \)
• Çevre: \( 2 \times (16 + 3) = 2 \times 19 = 38 \text{ cm} \)
• 👉 Kenar Çifti: \( (12, 4) \)
• Çevre: \( 2 \times (12 + 4) = 2 \times 16 = 32 \text{ cm} \)
• 👉 Kenar Çifti: \( (8, 6) \)
• Çevre: \( 2 \times (8 + 6) = 2 \times 14 = 28 \text{ cm} \)

Yukarıdaki çevre uzunluklarını karşılaştırdığımızda, en büyük çevre uzunluğunun \( 98 \text{ cm} \) olduğunu görüyoruz. Bu durum, kenar uzunlukları arasındaki farkın en fazla olduğu (yani \( 48 \text{ cm} \) ve \( 1 \text{ cm} \)) durumda ortaya çıkar. ✅

Çerçevenin çevresi \( 28 \text{ cm} \) olduğuna göre, uzun kenar ile kısa kenarın toplamı çevrenin yarısıdır.
Uzun kenar \( + \) kısa kenar \( = 28 \div 2 = 14 \text{ cm} \).
Şimdi, toplamları \( 14 \) olan doğal sayı ikililerini (kenar uzunluklarını) bulalım ve her bir durum için alanı hesaplayalım:

• 👉 Kenar Çifti (uzun, kısa): \( (13, 1) \)
• Alan: \( 13 \times 1 = 13 \text{ cm}^2 \)
• 👉 Kenar Çifti: \( (12, 2) \)
• Alan: \( 12 \times 2 = 24 \text{ cm}^2 \)
• 👉 Kenar Çifti: \( (11, 3) \)
• Alan: \( 11 \times 3 = 33 \text{ cm}^2 \)
• 👉 Kenar Çifti: \( (10, 4) \)
• Alan: \( 10 \times 4 = 40 \text{ cm}^2 \)
• 👉 Kenar Çifti: \( (9, 5) \)
• Alan: \( 9 \times 5 = 45 \text{ cm}^2 \)
• 👉 Kenar Çifti: \( (8, 6) \)
• Alan: \( 8 \times 6 = 48 \text{ cm}^2 \)
• 👉 Kenar Çifti: \( (7, 7) \) (Kare)
• Alan: \( 7 \times 7 = 49 \text{ cm}^2 \)

Bu tablodan en büyük ve en küçük alanları belirleyelim:

• En büyük alan: Kenar uzunlukları birbirine en yakın olduğunda (yani \( 7 \text{ cm} \) ve \( 7 \text{ cm} \)), alan \( 49 \text{ cm}^2 \) olur.
• En küçük alan: Kenar uzunlukları birbirine en uzak olduğunda (yani \( 13 \text{ cm} \) ve \( 1 \text{ cm} \)), alan \( 13 \text{ cm}^2 \) olur.

Marangozun yapabileceği en büyük ve en küçük alanlı çerçevelerin alanları toplamı:

\[ 49 + 13 = 62 \text{ cm}^2 \]

Toplam \( 62 \text{ cm}^2 \) dir. ✅