💡 12. Sınıf Matematik: Polinomlarda bölme işlemi Çözümlü Örnekler

Polinom bölme işlemini gerçekleştirmek için uzun bölme yöntemini kullanabiliriz:

• Adım 1: Bölünen \( P(x) \) ve bölen \( D(x) \) polinomlarını derecelerine göre büyükten küçüğe sıralayın.
• Adım 2: Bölünenin en büyük dereceli terimini (\( x^3 \)), bölenin en büyük dereceli terimine (\( x \)) bölün. Bu, bölümün ilk terimini verir: \( \frac{x^3}{x} = x^2 \).
• Adım 3: Elde ettiğiniz bölüm terimini (\( x^2 \)) bölen \( D(x) \) ile çarpın: \( x^2 \cdot (x - 2) = x^3 - 2x^2 \).
• Adım 4: Bu sonucu bölünen \( P(x) \) den çıkarın: \( (x^3 - 2x^2 + 5x - 1) - (x^3 - 2x^2) = 5x - 1 \).
• Adım 5: Elde edilen yeni polinomun derecesi, bölenin derecesinden küçük olana kadar bu işlemleri tekrarlayın. Yeni polinomumuz \( 5x - 1 \).
• Adım 6: \( 5x \) terimini \( x \) terimine bölün: \( \frac{5x}{x} = 5 \). Bu, bölümün ikinci terimidir.
• Adım 7: Elde ettiğiniz bölüm terimini (\( 5 \)) bölen \( D(x) \) ile çarpın: \( 5 \cdot (x - 2) = 5x - 10 \).
• Adım 8: Bu sonucu bir önceki adımdaki polinomdan çıkarın: \( (5x - 1) - (5x - 10) = 9 \).

Sonuç olarak, bölüm \( B(x) = x^2 + 5 \) ve kalan \( K(x) = 9 \) olur. ✅

Bölme işlemi şu şekilde ifade edilebilir: \( P(x) = D(x) \cdot B(x) + K(x) \).
Yani, \( x^3 - 2x^2 + 5x - 1 = (x - 2) \cdot (x^2 + 5) + 9 \).

Kalan Teoremi'ne göre, bir \( P(x) \) polinomunun \( x - a \) ile bölümünden kalan \( P(a) \) değerine eşittir.

• Adım 1: Bölen \( x + 1 \) ifadesini sıfıra eşitleyin: \( x + 1 = 0 \).
• Adım 2: Buradan \( x = -1 \) değerini bulun.
• Adım 3: Bu \( x \) değerini \( P(x) \) polinomunda yerine koyun: \( P(-1) \).
• Adım 4: Hesaplayın: \( P(-1) = (-1)^4 - 3(-1)^2 + 2(-1) - 7 \).
• Adım 5: \( P(-1) = 1 - 3(1) - 2 - 7 = 1 - 3 - 2 - 7 = -11 \).

Bu nedenle, \( P(x) \) polinomunun \( x + 1 \) ile bölümünden kalan -11'dir. 💡

Bir polinom diğerine tam bölünebiliyorsa, kalan sıfır olmalıdır. \( x^2 - 1 \) ifadesini çarpanlarına ayırabiliriz: \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \).

• Adım 1: \( P(x) \) polinomu \( x - 1 \) ile tam bölünebildiği için, Kalan Teoremi'ne göre \( P(1) = 0 \) olmalıdır.
• Adım 2: \( P(1) \) hesaplayın: \( P(1) = 2(1)^3 + a(1)^2 - 5(1) + b = 2 + a - 5 + b = a + b - 3 \).
• Adım 3: \( a + b - 3 = 0 \) denklemini elde ederiz, yani \( a + b = 3 \).
• Adım 4: Aynı şekilde, \( P(x) \) polinomu \( x + 1 \) ile tam bölünebildiği için, \( P(-1) = 0 \) olmalıdır.
• Adım 5: \( P(-1) \) hesaplayın: \( P(-1) = 2(-1)^3 + a(-1)^2 - 5(-1) + b = -2 + a + 5 + b = a + b + 3 \).
• Adım 6: \( a + b + 3 = 0 \) denklemini elde ederiz, yani \( a + b = -3 \).
• Adım 7: Şimdi iki denklemimiz var: \( a + b = 3 \) ve \( a + b = -3 \). Bu iki denklemin aynı anda sağlanması mümkün değildir. Bu durum, soruda bir hata olduğunu veya \( P(x) \) polinomunun \( x^2-1 \) ile tam bölünemeyeceğini gösterir.

Düzeltme: Soruyu \( P(x) = 2x^3 + ax^2 - 5x + b \) polinomu \( x-1 \) ve \( x+1 \) ile ayrı ayrı tam bölünebiliyorsa şeklinde anlarsak, yukarıdaki adımlar geçerlidir ve çelişki oluşur. Eğer soru " \( x^2-1 \) ile tam bölünebiliyorsa" şeklinde ise, bu durumda \( P(1)=0 \) ve \( P(-1)=0 \) olmalıdır. Bu iki koşulun birlikte sağlanması gerekir.

Tekrar kontrol edelim: \( P(1) = a+b-3 = 0 \implies a+b=3 \).
\( P(-1) = a+b+3 = 0 \implies a+b=-3 \).

Bu çelişki, verilen polinomun \( x^2-1 \) ile tam bölünemeyeceğini gösterir. Eğer soru " \( P(x) \) polinomunun \( x^2-1 \) ile bölümünden kalan \( R(x) \) ise..." şeklinde olsaydı, farklı bir çözüm yolu izlenirdi.

Varsayım: Soruda bir yazım hatası olduğunu ve \( P(x) \) polinomunun \( x-1 \) ile bölümünden kalanın 0 ve \( x+1 \) ile bölümünden kalanın 0 olduğu varsayımı altında çelişki oluştu. Eğer soru " \( P(x) \) polinomu \( x-1 \) ile tam bölünüyor ve \( x+1 \) ile bölümünden kalan 6 ise..." gibi olsaydı, \( a \) ve \( b \) bulunabilirdi. Bu örnekte, çelişkiyi göstermek amaçlanmıştır. ❌

Bölme işleminde, kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden daima küçüktür.

• Adım 1: Bölenimiz \( (x-2)(x+1) = x^2 - x - 2 \) polinomudur. Bu polinom 2. derecedendir.
• Adım 2: Bu nedenle, \( P(x) \) polinomunun \( (x-2)(x+1) \) ile bölümünden elde edilen kalan en fazla 1. dereceden bir polinom olabilir. Kalanı \( K(x) = ax + b \) şeklinde ifade edelim.
• Adım 3: Bölme işlemini genel formülle yazalım: \( P(x) = (x-2)(x+1) \cdot Q(x) + ax + b \), burada \( Q(x) \) bölüm polinomudur.
• Adım 4: Soruda verilen bilgilere göre:
  • \( P(x) \) 'in \( x-2 \) ile bölümünden kalan 5 ise, \( P(2) = 5 \).
  • \( P(x) \) 'in \( x+1 \) ile bölümünden kalan -4 ise, \( P(-1) = -4 \).
• Adım 5: Bu bilgileri bölme formülünde yerine koyalım:
  • \( P(2) = (2-2)(2+1) \cdot Q(2) + a(2) + b = 0 \cdot 3 \cdot Q(2) + 2a + b = 2a + b \).
  • Bu durumda, \( 2a + b = 5 \) olur.
  • \( P(-1) = (-1-2)(-1+1) \cdot Q(-1) + a(-1) + b = (-3)(0) \cdot Q(-1) - a + b = -a + b \).
  • Bu durumda, \( -a + b = -4 \) olur.
• Adım 6: Şimdi iki bilinmeyenli iki denklemimiz var:
  1. \( 2a + b = 5 \)
  2. \( -a + b = -4 \)
• Adım 7: Bu denklemleri çözelim. İkinci denklemi -1 ile çarpıp birinci denklemle toplayalım: \( (2a + b) + (a - b) = 5 + 4 \) \( 3a = 9 \) \( a = 3 \)
• Adım 8: Bulduğumuz \( a \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım: \( -(3) + b = -4 \) \( -3 + b = -4 \) \( b = -1 \)

Sonuç olarak, kalan \( K(x) = ax + b \) olduğundan, kalan \( 3x - 1 \) olur. ✅ Kalan 1. dereceden bir polinomdur.

Bu durumu polinom bölmesiyle inceleyelim:

• Adım 1: Bölünen pasta \( P(x) = x^2 + 5x + 6 \).
• Adım 2: Dilim sayısı (bölen) \( D(x) = x + 2 \).
• Adım 3: Uzun bölme yöntemini uygulayalım:
  • \( (x^2 + 5x + 6) \div (x + 2) \)
  • En büyük terimleri bölelim: \( \frac{x^2}{x} = x \). Bu, ilk dilimimizin büyüklüğüdür.
  • \( x \cdot (x + 2) = x^2 + 2x \).
  • Çıkaralım: \( (x^2 + 5x + 6) - (x^2 + 2x) = 3x + 6 \).
  • Şimdi \( 3x + 6 \) kaldı. En büyük terimleri bölelim: \( \frac{3x}{x} = 3 \). Bu da ikinci dilimimizin büyüklüğüdür.
  • \( 3 \cdot (x + 2) = 3x + 6 \).
  • Çıkaralım: \( (3x + 6) - (3x + 6) = 0 \).
• Adım 4: Bölüm \( B(x) = x + 3 \) ve kalan \( K(x) = 0 \) olarak bulunur.

Bu, pastanın \( x + 2 \) büyüklüğünde \( x + 3 \) adet eşit dilime ayrıldığı ve hiç pasta artmadığı anlamına gelir. 🥳

Yani, \( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \). Bu, \( x^2 + 5x + 6 \) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış halidir.

Bölme işleminin temel kuralını hatırlayalım: \( P(x) = D(x) \cdot B(x) + K(x) \).

• Adım 1: Verilenler: \( \text{derece}(P(x)) = 5 \) ve \( \text{derece}(D(x)) = 2 \).
• Adım 2: Kalanın derecesi, bölenin derecesinden küçüktür. Yani, \( \text{derece}(K(x)) < \text{derece}(D(x)) \). Bu durumda, \( \text{derece}(K(x)) < 2 \) olmalıdır. Kalanın derecesi en fazla 1 olabilir (veya 0 olabilir, sabit bir sayı ise).
• Adım 3: Bölümün derecesini bulmak için, bölünenin en büyük dereceli teriminin, bölenin en büyük dereceli terimine bölümüne bakarız.
• Adım 4: \( \text{derece}(P(x)) = \text{derece}(D(x)) + \text{derece}(B(x)) \) ilişkisi geçerlidir (kalanın derecesi ihmal edildiğinde veya küçük olduğunda).
• Adım 5: Bu ilişkiyi kullanarak bölümün derecesini hesaplayalım: \( 5 = 2 + \text{derece}(B(x)) \) \( \text{derece}(B(x)) = 5 - 2 = 3 \).
• Adım 6: Bölüm polinomunun derecesi 3'tür. Kalan polinomunun derecesi ise en fazla 1'dir.
• Adım 7: Bölüm ve kalan polinomlarının dereceleri toplamı: \( \text{derece}(B(x)) + \text{derece}(K(x)) = 3 + (\text{en fazla } 1) \).

Bu durumda, bölüm ve kalan polinomlarının dereceleri toplamı 4 olabilir (eğer kalan 1. dereceden ise). Eğer kalan 0. dereceden ise toplam 3 olur. Soruda "kaçıncı dereceden bir polinom olacağını" sorduğu için ve en fazla durumu düşündüğümüzde, bölümün derecesi 3 ve kalanın derecesi en fazla 1 olacağından, toplamları 4'tür. ✅

Bölme işlemini \( P(x) = (x-1) \cdot B(x) + K \) şeklinde yazabiliriz.

• Adım 1: \( P(x) \) polinomunun \( x-1 \) ile bölümünden kalanı bulalım. Kalan Teoremi'ne göre, kalan \( P(1) \) değeridir.
• Adım 2: \( P(1) = (1)^3 - 4(1)^2 + k(1) + 2 = 1 - 4 + k + 2 = k - 1 \).
• Adım 3: Bölme işlemini şu şekilde yazabiliriz: \( P(x) = (x-1) \cdot B(x) + (k-1) \).
• Adım 4: Bölüm \( B(x) \) 'in katsayılar toplamının 3 olduğu verilmiş. Bu, \( B(1) = 3 \) anlamına gelir.
• Adım 5: Bölme formülünde \( x=1 \) koyduğumuzda: \( P(1) = (1-1) \cdot B(1) + (k-1) \) \( P(1) = 0 \cdot B(1) + (k-1) \) \( P(1) = k-1 \). Bu zaten bulduğumuz kalan değeridir.
• Adım 6: Şimdi \( P(x) \) polinomunu \( x-1 \) ile bölelim. \( P(x) = x^3 - 4x^2 + kx + 2 \) Uzun bölme ile: \( \frac{x^3}{x} = x^2 \). İlk bölüm terimi \( x^2 \). \( x^2(x-1) = x^3 - x^2 \). \( (x^3 - 4x^2 + kx + 2) - (x^3 - x^2) = -3x^2 + kx + 2 \). \( \frac{-3x^2}{x} = -3x \). İkinci bölüm terimi \( -3x \). \( -3x(x-1) = -3x^2 + 3x \). \( (-3x^2 + kx + 2) - (-3x^2 + 3x) = (k-3)x + 2 \). \( \frac{(k-3)x}{x} = k-3 \). Üçüncü bölüm terimi \( k-3 \). \( (k-3)(x-1) = (k-3)x - (k-3) \). \( ((k-3)x + 2) - ((k-3)x - (k-3)) = 2 + (k-3) = k-1 \). Bu kalanımızdır.
• Adım 7: Bölüm polinomumuz \( B(x) = x^2 - 3x + (k-3) \) olur.
• Adım 8: Bölümün katsayılar toplamı \( B(1) = 3 \) olarak verilmişti. Bu polinomda \( x=1 \) koyalım: \( B(1) = (1)^2 - 3(1) + (k-3) = 1 - 3 + k - 3 = k - 5 \).
• Adım 9: \( k - 5 = 3 \) denklemini çözelim. \( k = 8 \).

Bu durumda \( k \) değeri 8'dir. ✅

Bölme işlemini gerçekleştirelim:

• Adım 1: Bölünen \( P(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 5 \) ve bölen \( D(x) = x^2 + 1 \).
• Adım 2: Bölen 2. dereceden olduğu için, kalan en fazla 1. dereceden bir polinom olacaktır.
• Adım 3: Uzun bölme işlemini uygulayalım:
  • \( \frac{x^4}{x^2} = x^2 \). Bölümün ilk terimi \( x^2 \).
  • \( x^2(x^2 + 1) = x^4 + x^2 \).
  • \( (x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) - (x^4 + x^2) = -2x^3 + 2x^2 - 4x + 5 \).
  • \( \frac{-2x^3}{x^2} = -2x \). Bölümün ikinci terimi \( -2x \).
  • \( -2x(x^2 + 1) = -2x^3 - 2x \).
  • \( (-2x^3 + 2x^2 - 4x + 5) - (-2x^3 - 2x) = 2x^2 - 2x + 5 \).
  • \( \frac{2x^2}{x^2} = 2 \). Bölümün üçüncü terimi \( 2 \).
  • \( 2(x^2 + 1) = 2x^2 + 2 \).
  • \( (2x^2 - 2x + 5) - (2x^2 + 2) = -2x + 3 \).
• Adım 4: Kalan \( -2x + 3 \) olarak bulunur. Bu 1. dereceden bir polinomdur.

Sonuç olarak, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 + 1 \) ile bölümünden elde edilen kalan -2x + 3'tür. Kalan 1. dereceden bir polinomdur. ✅

Bölme işleminin temel formülü şudur: \( P(x) = D(x) \cdot B(x) + K(x) \).

• Adım 1: Verilenleri formülde yerine koyalım:
  • Bölen \( D(x) = x^2 - 4 \).
  • Bölüm \( B(x) = x - 1 \).
  • Kalan \( K(x) = 3x + 2 \).
• Adım 2: \( P(x) = (x^2 - 4) \cdot (x - 1) + (3x + 2) \) denklemini oluşturalım.
• Adım 3: Çarpma işlemini yapalım: \( (x^2 - 4)(x - 1) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-1) - 4 \cdot x - 4 \cdot (-1) \) \( = x^3 - x^2 - 4x + 4 \).
• Adım 4: Şimdi bu sonuca kalanı ekleyelim: \( P(x) = (x^3 - x^2 - 4x + 4) + (3x + 2) \).
• Adım 5: Benzer terimleri birleştirelim: \( P(x) = x^3 - x^2 + (-4x + 3x) + (4 + 2) \) \( P(x) = x^3 - x^2 - x + 6 \).

Bu durumda \( P(x) \) polinomu \( x^3 - x^2 - x + 6 \) olarak bulunur. ✅