📄 12. Sınıf Matematik: Polinomlarda bölme işlemi Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Kalan Teoremi'ne göre, P(x) polinomunun (x-2) ile bölümünden kalan P(2)'dir. Soruda kalan 4 olarak verildiğine göre, P(2) = 4 olmalıdır.
P(2) = \((2)^3 - 3(2)^2 + m(2) - 2\)
\(4 = 8 - 3(4) + 2m - 2\)
\(4 = 8 - 12 + 2m - 2\)
\(4 = -6 + 2m\)
\(10 = 2m\)
\(m = 5\)
Bu durumda, m değeri 5'tir.

💡 Çözüm Adımları:

P(x) polinomu \(x^2 - 1\) ile tam bölünüyorsa, \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\) çarpanlarına da tam bölünür. Bu durumda, Çarpan Teoremi'ne göre P(1) = 0 ve P(-1) = 0 olmalıdır.
Önce P(1) = 0 eşitliğini kullanalım:
P(1) = \((1)^4 - 2(1)^3 + a(1) + b = 0\)
\(1 - 2 + a + b = 0\)
\(-1 + a + b = 0 \Rightarrow a + b = 1\) (Denklem 1)
Şimdi P(-1) = 0 eşitliğini kullanalım:
P(-1) = \((-1)^4 - 2(-1)^3 + a(-1) + b = 0\)
\(1 - 2(-1) - a + b = 0\)
\(1 + 2 - a + b = 0\)
\(3 - a + b = 0 \Rightarrow -a + b = -3\) (Denklem 2)
Denklem 1 ve Denklem 2'yi taraf tarafa toplayalım:
\((a + b) + (-a + b) = 1 + (-3)\)
\(2b = -2\)
\(b = -1\)
b değerini Denklem 1'de yerine koyalım:
\(a + (-1) = 1\)
\(a - 1 = 1\)
\(a = 2\)
Bu durumda, a = 2 ve b = -1 olarak bulunur.

💡 Çözüm Adımları:

P(x) polinomunun \(x^2+x-6\) ile bölümünden kalan en fazla birinci dereceden bir polinom olabilir. Bu kalana \(ax+b\) diyelim.
Bölen polinomu çarpanlarına ayıralım: \(x^2+x-6 = (x-2)(x+3)\).
Bölme algoritmasına göre: P(x) = \((x-2)(x+3) \cdot Q(x) + ax+b\)
Soruda verilen bilgilere göre:
P(x)'in (x-2) ile bölümünden kalan 5 ise, P(2) = 5'tir.
P(x)'in (x+3) ile bölümünden kalan -10 ise, P(-3) = -10'dur.
Bu değerleri kalan polinomunda yerine koyalım:
P(2) = \(a(2) + b = 5 \Rightarrow 2a + b = 5\) (Denklem 1)
P(-3) = \(a(-3) + b = -10 \Rightarrow -3a + b = -10\) (Denklem 2)
Denklem 1'den Denklem 2'yi çıkaralım:
\((2a + b) - (-3a + b) = 5 - (-10)\)
\(2a + b + 3a - b = 5 + 10\)
\(5a = 15\)
\(a = 3\)
a değerini Denklem 1'de yerine koyalım:
\(2(3) + b = 5\)
\(6 + b = 5\)
\(b = -1\)
Bu durumda, kalan polinomu \(ax+b = 3x-1\) olarak bulunur.