Polinomlarda bölme işlemi Ders Notu

Polinomlarda Bölme İşlemi ➗

12. Sınıf Matematik müfredatının önemli konularından biri olan polinomlarda bölme işlemi, iki polinomun birbirine bölünmesi ve bu işlemin sonucunda elde edilen bölüm ve kalanı bulma üzerine odaklanır. Bu işlem, cebirsel ifadelerin sadeleştirilmesinde, kök bulma yöntemlerinde ve fonksiyonların analizinde temel bir rol oynar. Tıpkı sayılarda bölme işlemi gibi, polinomlarda bölme işlemi de belirli bir algoritma ile gerçekleştirilir.

Bölme Algoritması

P(x) bir polinom ve D(x) sıfırdan farklı bir polinom olmak üzere, P(x)'in D(x)'e bölümünde:

• P(x) = B(x) \cdot D(x) + K(x)

eşitliği geçerlidir. Burada:

• P(x): Bölünen polinom
• D(x): Bölen polinom (derecesi sıfırdan farklı olmalı)
• B(x): Bölüm polinomu
• K(x): Kalan polinomu

Kalanın derecesi, bölenin derecesinden her zaman küçüktür. Yani, \( \text{derece}(K(x)) < \text{derece}(D(x)) \).

Polinomlarda Bölme İşleminin Yapılışı

Polinomlarda bölme işlemi, genellikle uzun bölme yöntemi ile yapılır. Bu yöntemin adımları şunlardır:

1. Bölünen ve bölen polinomlar, derecelerine göre büyükten küçüğe sıralanır. Eğer bir terimin derecesi eksikse, katsayısı sıfır olarak kabul edilir.
2. Bölünenin en yüksek dereceli terimi, bölenin en yüksek dereceli terimine bölünür. Elde edilen sonuç, bölümün ilk terimi olur.
3. Bölümün ilk terimi, bölen polinom ile çarpılır.
4. Elde edilen çarpım, bölünen polinomdan çıkarılır.
5. Bu çıkarma işlemi sonucunda elde edilen polinom, yeni bölünen olarak kabul edilir ve 2. adımdan itibaren işleme devam edilir.
6. Kalanın derecesi, bölenin derecesinden küçük olduğunda bölme işlemi sonlanır.

Örnek 1:

P(x) = \( x^3 - 2x^2 + 5x - 3 \) polinomunu D(x) = \( x - 1 \) polinomuna bölelim.

Adım 1: Bölünen ve bölen zaten sıralı.

Adım 2: \( x^3 \) / \( x \) = \( x^2 \). Bölümün ilk terimi \( x^2 \).

Adım 3: \( x^2 \cdot (x - 1) \) = \( x^3 - x^2 \).

Adım 4: \( (x^3 - 2x^2 + 5x - 3) - (x^3 - x^2) \) = \( -x^2 + 5x - 3 \).

Adım 5: Yeni bölünen \( -x^2 + 5x - 3 \). En yüksek dereceli terim \( -x^2 \). \( -x^2 \) / \( x \) = \( -x \). Bölümün ikinci terimi \( -x \).

Adım 3 (tekrar): \( -x \cdot (x - 1) \) = \( -x^2 + x \).

Adım 4 (tekrar): \( (-x^2 + 5x - 3) - (-x^2 + x) \) = \( 4x - 3 \).

Adım 5 (tekrar): Yeni bölünen \( 4x - 3 \). En yüksek dereceli terim \( 4x \). \( 4x \) / \( x \) = \( 4 \). Bölümün üçüncü terimi \( 4 \).

Adım 3 (tekrar): \( 4 \cdot (x - 1) \) = \( 4x - 4 \).

Adım 4 (tekrar): \( (4x - 3) - (4x - 4) \) = \( 1 \).

Adım 6: Kalan \( 1 \). Derecesi \( 0 \), bölenin derecesi \( 1 \). \( 0 < 1 \) olduğundan bölme biter.

Sonuç: Bölüm B(x) = \( x^2 - x + 4 \) ve Kalan K(x) = \( 1 \).

Kontrol: \( (x^2 - x + 4)(x - 1) + 1 = x^3 - x^2 - x^2 + x + 4x - 4 + 1 = x^3 - 2x^2 + 5x - 3 \). Doğru.

Örnek 2:

P(x) = \( 2x^4 - 3x^3 + x - 5 \) polinomunu D(x) = \( x^2 + 1 \) polinomuna bölelim.

Adım 1: Eksik dereceli terimler için katsayıları sıfır olarak ekleyelim: P(x) = \( 2x^4 - 3x^3 + 0x^2 + x - 5 \).

Adım 2: \( 2x^4 \) / \( x^2 \) = \( 2x^2 \). Bölümün ilk terimi \( 2x^2 \).

Adım 3: \( 2x^2 \cdot (x^2 + 1) \) = \( 2x^4 + 2x^2 \).

Adım 4: \( (2x^4 - 3x^3 + 0x^2 + x - 5) - (2x^4 + 2x^2) \) = \( -3x^3 - 2x^2 + x - 5 \).

Adım 5: Yeni bölünen \( -3x^3 - 2x^2 + x - 5 \). En yüksek dereceli terim \( -3x^3 \). \( -3x^3 \) / \( x^2 \) = \( -3x \). Bölümün ikinci terimi \( -3x \).

Adım 3 (tekrar): \( -3x \cdot (x^2 + 1) \) = \( -3x^3 - 3x \).

Adım 4 (tekrar): \( (-3x^3 - 2x^2 + x - 5) - (-3x^3 - 3x) \) = \( -2x^2 + 4x - 5 \).

Adım 5 (tekrar): Yeni bölünen \( -2x^2 + 4x - 5 \). En yüksek dereceli terim \( -2x^2 \). \( -2x^2 \) / \( x^2 \) = \( -2 \). Bölümün üçüncü terimi \( -2 \).

Adım 3 (tekrar): \( -2 \cdot (x^2 + 1) \) = \( -2x^2 - 2 \).

Adım 4 (tekrar): \( (-2x^2 + 4x - 5) - (-2x^2 - 2) \) = \( 4x - 3 \).

Adım 6: Kalan \( 4x - 3 \). Derecesi \( 1 \), bölenin derecesi \( 2 \). \( 1 < 2 \) olduğundan bölme biter.

Sonuç: Bölüm B(x) = \( 2x^2 - 3x - 2 \) ve Kalan K(x) = \( 4x - 3 \).

Kontrol: \( (2x^2 - 3x - 2)(x^2 + 1) + (4x - 3) = (2x^4 + 2x^2 - 3x^3 - 3x - 2x^2 - 2) + 4x - 3 = 2x^4 - 3x^3 - 3x - 2 + 4x - 3 = 2x^4 - 3x^3 + x - 5 \). Doğru.

Kalan Bulma (Kısa Yol - Horner Yöntemi ile İlişkisi)

Eğer bölen \( (x-a) \) şeklinde ise, kalanı bulmak için polinomun \( x=a \) değerindeki görüntüsüne bakılabilir. Bu, kalan bulma teoremi ile ilgilidir ve Horner yöntemi ile de yakından ilişkilidir. P(x) polinomunun \( (x-a) \) ile bölümünden kalan \( P(a) \) olur.

Örnek 3:

P(x) = \( x^3 - 2x^2 + 5x - 3 \) polinomunun \( (x - 1) \) ile bölümünden kalanı bulunuz.

Burada \( a = 1 \). Kalan \( P(1) \) olacaktır.

\( P(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + 5(1) - 3 = 1 - 2 + 5 - 3 = 1 \).

Bu sonuç, Örnek 1'deki kalan ile aynıdır.

Eğer bölen \( (ax+b) \) şeklinde ise, kalanı bulmak için polinomun \( x = -b/a \) değerindeki görüntüsüne bakılır. Kalan \( P(-b/a) \) olur.

Örnek 4:

P(x) = \( 2x^3 + x^2 - 4 \) polinomunun \( (2x + 1) \) ile bölümünden kalanı bulunuz.

Burada \( a = 2 \) ve \( b = 1 \), dolayısıyla \( x = -1/2 \).

Kalan \( P(-1/2) \) olacaktır.

\( P(-1/2) = 2(-1/2)^3 + (-1/2)^2 - 4 = 2(-1/8) + (1/4) - 4 = -1/4 + 1/4 - 4 = -4 \).

Bu kısa yollar, özellikle bölümü bulmaya gerek kalmadan sadece kalanı bulmak istediğimizde büyük kolaylık sağlar.