🎓 12. Sınıf
📚 12. Sınıf Matematik
💡 12. Sınıf Matematik: Kartezyen Çözümlü Örnekler
12. Sınıf Matematik: Kartezyen Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde A(3, -2) noktasının koordinatlarını ve bulunduğu bölgeyi belirtiniz. 💡
Çözüm:
- Adım 1: Noktanın koordinatları, x ve y değerlerini ifade eder. A(3, -2) noktasında x = 3 ve y = -2'dir.
- Adım 2: x ekseninde pozitif değerler sağ tarafı, y ekseninde negatif değerler ise alt tarafı gösterir.
- Adım 3: x > 0 ve y < 0 olduğundan, bu nokta IV. Bölge'de yer alır. ✅
Örnek 2:
Orijin noktası O(0, 0) ile P(-5, 12) noktası arasındaki uzaklığı bulunuz. 📏
Çözüm:
- Adım 1: İki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılır: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Adım 2: Noktaları formüle yerleştirelim: \( d = \sqrt{(-5 - 0)^2 + (12 - 0)^2} \)
- Adım 3: Kareleri alıp toplayalım: \( d = \sqrt{(-5)^2 + (12)^2} = \sqrt{25 + 144} \)
- Adım 4: Sonucu hesaplayalım: \( d = \sqrt{169} = 13 \) birim. 👉
Örnek 3:
A(-1, 4) ve B(5, -2) noktalarından geçen doğrunun eğimini hesaplayınız. 📉
Çözüm:
- Adım 1: Doğrunun eğimi formülü: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
- Adım 2: Noktaların koordinatlarını formüle yerleştirelim: \( m = \frac{-2 - 4}{5 - (-1)} \)
- Adım 3: İşlemleri yapalım: \( m = \frac{-6}{5 + 1} = \frac{-6}{6} \)
- Adım 4: Eğim değerini bulalım: \( m = -1 \). 📌
Örnek 4:
Eğim açısı 135 derece olan bir doğrunun eğimini bulunuz. 📐
Çözüm:
- Adım 1: Bir doğrunun eğim açısı \( \alpha \) ise, eğimi \( m = \tan(\alpha) \) ile bulunur.
- Adım 2: Verilen eğim açısı \( \alpha = 135^\circ \)
- Adım 3: Tanjant değerini hesaplayalım: \( m = \tan(135^\circ) \)
- Adım 4: Tanjantın 135 derecedeki değeri -1'dir. Dolayısıyla, \( m = -1 \). ✅
Örnek 5:
Bir aracın belirli bir anda bulunduğu konum A(2, 5) km olarak verilmiştir. Araç, doğrusal bir rota izleyerek B(8, 17) km konumuna hareket ediyor. Aracın aldığı yolun doğrusal denklemini bulunuz. 🚗
Çözüm:
- Adım 1: Önce doğrunun eğimini bulalım. A(2, 5) ve B(8, 17) noktaları için \( m = \frac{17 - 5}{8 - 2} = \frac{12}{6} = 2 \).
- Adım 2: Eğim-nokta formülünü kullanalım: \( y - y_1 = m(x - x_1) \). A noktasını kullanalım: \( y - 5 = 2(x - 2) \).
- Adım 3: Denklemi düzenleyelim: \( y - 5 = 2x - 4 \).
- Adım 4: Doğrusal denklemi elde edelim: \( y = 2x + 1 \). Bu denklem, aracın konumunu (x, y) km olarak temsil eder. 💡
Örnek 6:
Bir harita üzerinde A noktası (10, 20) ve B noktası (40, 60) olarak gösterilmiştir. Harita üzerinde 1 birim 100 metreye karşılık geliyorsa, A ve B noktaları arasındaki gerçek mesafeyi hesaplayınız. 🗺️
Çözüm:
- Adım 1: Harita üzerindeki A ve B noktaları arasındaki mesafeyi bulalım. İki nokta arasındaki uzaklık formülü: \( d_{harita} = \sqrt{(40 - 10)^2 + (60 - 20)^2} \).
- Adım 2: Hesaplamaları yapalım: \( d_{harita} = \sqrt{(30)^2 + (40)^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \) birim.
- Adım 3: Harita ölçeğini kullanarak gerçek mesafeyi bulalım. 1 birim = 100 metre ise, 50 birim = \( 50 \times 100 \) metre.
- Adım 4: Gerçek mesafe: \( 5000 \) metre veya \( 5 \) kilometre. 👉
Örnek 7:
Analitik düzlemde \( y = 3x - 5 \) doğrusuna paralel ve (1, 7) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz. ➕
Çözüm:
- Adım 1: Paralel doğruların eğimleri eşittir. Verilen doğrunun eğimi \( m_1 = 3 \).
- Adım 2: Paralel olan doğrunun eğimi de \( m_2 = 3 \) olacaktır.
- Adım 3: Eğim-nokta formülünü kullanarak yeni doğrunun denklemini yazalım: \( y - y_1 = m_2(x - x_1) \). Noktamız (1, 7).
- Adım 4: Denklemi oluşturalım: \( y - 7 = 3(x - 1) \).
- Adım 5: Denklemi düzenleyelim: \( y - 7 = 3x - 3 \Rightarrow y = 3x + 4 \). Bu, istenen doğrunun denklemidir. ✅
Örnek 8:
Analitik düzlemde \( 2x + y - 8 = 0 \) doğrusu ile eksenlerin oluşturduğu üçgenin alanını hesaplayınız. 🔺
Çözüm:
- Adım 1: Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulmak için x ve y'ye 0 verelim.
- Adım 2: x eksenini kestiği nokta (y=0): \( 2x + 0 - 8 = 0 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4 \). Nokta (4, 0).
- Adım 3: y eksenini kestiği nokta (x=0): \( 2(0) + y - 8 = 0 \Rightarrow y = 8 \). Nokta (0, 8).
- Adım 4: Bu noktalarla eksenler bir dik üçgen oluşturur. Dik kenarların uzunlukları 4 birim ve 8 birimdir.
- Adım 5: Üçgenin alanı: \( Alan = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \times 4 \times 8 \).
- Adım 6: Alanı hesaplayalım: \( Alan = \frac{1}{2} \times 32 = 16 \) birim kare. 💡
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/12-sinif-matematik-kartezyen/sorular