📄 12. Sınıf Matematik: Kartezyen Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle verilen doğrunun eğimini bulalım. \(2x + 3y - 6 = 0\) denklemini \(y = mx + n\) şeklinde yazarsak:

\(3y = -2x + 6\)

\(y = -\frac{2}{3}x + 2\)

Bu doğrunun eğimi \(m_1 = -\frac{2}{3}\)tür.

Paralel doğruların eğimleri eşit olduğundan, aradığımız doğrunun eğimi de \(m_2 = -\frac{2}{3}\) olacaktır.

Şimdi eğimi \(m = -\frac{2}{3}\) olan ve \(A(1, 5)\) noktasından geçen doğrunun denklemini \(y - y_1 = m(x - x_1)\) formülüyle yazalım:

\(y - 5 = -\frac{2}{3}(x - 1)\)

Her iki tarafı 3 ile çarpalım:

\(3(y - 5) = -2(x - 1)\)

\(3y - 15 = -2x + 2\)

Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

\(2x + 3y - 15 - 2 = 0\)

\(2x + 3y - 17 = 0\)

Bu, aranan doğrunun denklemidir.

💡 Çözüm Adımları:

Çemberin denklemini bulmak için merkezin koordinatlarına \((a, b)\) ve yarıçapa \(r\) ihtiyacımız vardır. Merkez \(M(2, -1)\) olarak verilmiştir, yani \(a=2\) ve \(b=-1\)dir.

Yarıçap \(r\), merkez \(M\) ile çember üzerindeki \(P\) noktası arasındaki uzaklıktır. İki nokta arası uzaklık formülünü kullanalım:

\(r = |MP| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)

\(r = \sqrt{(5-2)^2 + (3-(-1))^2}\)

\(r = \sqrt{(3)^2 + (3+1)^2}\)

\(r = \sqrt{9 + (4)^2}\)

\(r = \sqrt{9 + 16}\)

\(r = \sqrt{25}\)

\(r = 5\)

Şimdi merkez \((2, -1)\) ve yarıçap \(r=5\) olan çemberin denklemini yazabiliriz:

\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)

\((x-2)^2 + (y-(-1))^2 = 5^2\)

\((x-2)^2 + (y+1)^2 = 25\)

Bu, aranan çemberin denklemidir.

💡 Çözüm Adımları:

Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı formülü \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)

Burada \((x_0, y_0) = (-2, 4)\) ve doğru denklemi \(3x - 4y + 10 = 0\) olduğundan \(A=3\), \(B=-4\), \(C=10\) değerlerini yerine koyalım:

\(d = \frac{|3(-2) + (-4)(4) + 10|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\)

\(d = \frac{|-6 - 16 + 10|}{\sqrt{9 + 16}}\)

\(d = \frac{|-22 + 10|}{\sqrt{25}}\)

\(d = \frac{|-12|}{5}\)

\(d = \frac{12}{5}\)

Noktanın doğruya olan uzaklığı \(\frac{12}{5}\) birimdir.