Kartezyen Ders Notu

Kartezyen Koordinat Sistemi ve Noktalar 📐

12. Sınıf Matematik müfredatında Kartezyen koordinat sistemi, analitik geometrinin temelini oluşturur. İki dik sayı doğrusunun (eksenin) kesişmesiyle oluşan düzlemde noktaların yerini belirlememizi sağlar. Yatay eksene apsisler (x-ekseni), dikey eksene ise ordinatlar (y-ekseni) denir. Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin (başlangıç noktası) adı verilir ve koordinatları \( (0,0) \) olarak gösterilir.

Noktaların Koordinatları

Düzlemdeki herhangi bir nokta, sıralı bir ikili \( (x, y) \) ile ifade edilir. Buradaki ilk eleman olan \( x \), noktanın x-ekseni üzerindeki değerini (apsisini), ikinci eleman olan \( y \) ise y-ekseni üzerindeki değerini (ordinatını) temsil eder.

Bölge Kavramı

Kartezyen düzlem, eksenler tarafından dört bölgeye ayrılır:

• 1. Bölge: \( x > 0 \) ve \( y > 0 \) olan noktalar. (Sağ üst)
• 2. Bölge: \( x < 0 \) ve \( y > 0 \) olan noktalar. (Sol üst)
• 3. Bölge: \( x < 0 \) ve \( y < 0 \) olan noktalar. (Sol alt)
• 4. Bölge: \( x > 0 \) ve \( y < 0 \) olan noktalar. (Sağ alt)

Eksenler üzerindeki noktalar herhangi bir bölgede yer almaz. Örneğin, \( (3,0) \) noktası x-ekseni üzerindedir.

İki Nokta Arasındaki Uzaklık 📏

Düzlemde verilen iki nokta \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) arasındaki uzaklık, Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanır. Uzaklık formülü şu şekildedir:

\[ d(A,B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Çözümlü Örnek 1:

A \( (2, 3) \) ve B \( (5, 7) \) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

Çözüm:

Burada \( x_1 = 2, y_1 = 3 \) ve \( x_2 = 5, y_2 = 7 \)dir.

Formülü uygulayalım:

\[ d(A,B) = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \] \[ d(A,B) = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \] \[ d(A,B) = \sqrt{9 + 16} \] \[ d(A,B) = \sqrt{25} \] \[ d(A,B) = 5 \text{ birim} \]

Noktanın Koordinatları Toplamı ve Farkı

İki noktanın koordinatları toplamı veya farkı gibi işlemler, karşılıklı elemanlar üzerinden yapılır.

Eğer \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktaları verilmişse:

• Noktaların toplamı: \( A + B = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \)
• Noktaların farkı: \( A - B = (x_1 - x_2, y_1 - y_2) \)

Çözümlü Örnek 2:

K \( (-1, 4) \) ve L \( (3, -2) \) noktaları için K + L ve K - L işlemlerini yapınız.

Çözüm:

K + L:

\[ K + L = (-1 + 3, 4 + (-2)) \] \[ K + L = (2, 2) \]

K - L:

\[ K - L = (-1 - 3, 4 - (-2)) \] \[ K - L = (-4, 6) \]

Noktanın Bir Sabitle Çarpımı

Bir \( A(x, y) \) noktasının bir \( k \) sabiti ile çarpımı, noktanın her bir koordinatının \( k \) ile çarpılmasıyla elde edilir.

\( k \cdot A = (k \cdot x, k \cdot y) \)

Çözümlü Örnek 3:

M \( (2, -5) \) noktasının 3 katını bulunuz.

Çözüm:

\( 3 \cdot M = (3 \cdot 2, 3 \cdot (-5)) \)

\( 3 \cdot M = (6, -15) \)

Orta Nokta 📍

İki nokta \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) arasındaki doğru parçasının orta noktasının koordinatları \( M(x_M, y_M) \) şu formülle bulunur:

\[ x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} \] \[ y_M = \frac{y_1 + y_2}{2} \]

Yani, orta nokta \( M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \) olur.

Çözümlü Örnek 4:

P \( (4, 6) \) ve Q \( (-2, 8) \) noktalarının orta noktasının koordinatlarını bulunuz.

Çözüm:

\( x_M = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( y_M = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)

Orta nokta \( (1, 7) \) dir.

Ağırlık Merkezi (Geometrik Ağırlık Merkezi)

Bir üçgenin köşeleri \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) \) ve \( C(x_3, y_3) \) ise, bu üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları \( G(x_G, y_G) \) şu şekilde bulunur:

\[ x_G = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} \] \[ y_G = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \]

Ağırlık merkezi \( G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) \) olur.

Çözümlü Örnek 5:

Köşe koordinatları \( A(1, 2), B(5, 4) \) ve \( C(3, 8) \) olan bir üçgenin ağırlık merkezini bulunuz.

Çözüm:

\( x_G = \frac{1 + 5 + 3}{3} = \frac{9}{3} = 3 \)

\( y_G = \frac{2 + 4 + 8}{3} = \frac{14}{3} \)

Ağırlık merkezi \( \left( 3, \frac{14}{3} \right) \) dir.