Aşağıda parçalı olarak tanımlanan \( f(x) \) fonksiyonu \( x = 2 \) noktasında sürekli olduğuna göre, \( a \) değerini bulunuz.
\( f(x) = \)
\( 3x + a \), eğer \( x < 2 \) ise
\( x^2 + 5 \), eğer \( x \geq 2 \) ise
Çözüm ve Açıklama
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağdan limiti, soldan limiti ve fonksiyonun o noktadaki değeri birbirine eşit olmalıdır. 📌
Soldan Limit (\( x \to 2^- \)): \( 3 \times 2 + a = 6 + a \)
Sağdan Limit ve Fonksiyon Değeri (\( x \to 2^+ \)): \( 2^2 + 5 = 4 + 5 = 9 \)
Eşitlik Kurma: Süreklilik gereği \( 6 + a = 9 \) olmalıdır.
Çözüm: \( a = 9 - 6 = 3 \)
✅ Sonuç: \( a = 3 \)
3
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Türev Alma Kuralları
\( f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 7x - 1 \) fonksiyonu veriliyor. Buna göre, fonksiyonun birinci türevinin \( x = 1 \) noktasındaki değeri olan \( f'(1) \) kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Türev alma kuralını (\( x^n \) türevi \( n \times x^{n-1} \)) uygulayalım: 🚀
1. Adım: Fonksiyonun genel türevini alalım.
\( f'(x) = 3 \times 2x^2 - 2 \times 4x + 7 \)
\( f'(x) = 6x^2 - 8x + 7 \)
2. Adım: Türev fonksiyonunda \( x \) yerine \( 1 \) yazalım.
\( f'(1) = 6 \times (1)^2 - 8 \times (1) + 7 \)
\( f'(1) = 6 - 8 + 7 = 5 \)
✅ Sonuç: \( 5 \)
4
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Türevin Fiziksel Yorumu (Hız ve Zaman)
Bir hareketlinin \( t \) saniyede aldığı yol (metre cinsinden) \( s(t) = t^2 + 4t + 10 \) denklemi ile modellenmiştir. Bu hareketlinin 3. saniyedeki anlık hızı kaç m/sn'dir?
Çözüm ve Açıklama
Yol fonksiyonunun zamana göre birinci türevi, bize anlık hızı verir. 🏃♂️
1. Adım: Yol fonksiyonunun türevini alarak hız fonksiyonunu (\( v(t) \)) bulalım.
\( v(t) = s'(t) = 2t + 4 \)
2. Adım: 3. saniyedeki hızı bulmak için \( t = 3 \) yazalım.
\( v(3) = 2 \times 3 + 4 \)
\( v(3) = 6 + 4 = 10 \)
✅ Sonuç: \( 10 \) m/sn
5
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Maksimum ve Minimum Problemleri (Optimizasyon)
Bir çiftçi, bir kenarı nehir olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin üç kenarını tel örgü ile çevirecektir. Kullanacağı telin toplam uzunluğu 40 metre olduğuna göre, bahçenin alanı en fazla kaç metrekare olabilir? (Nehir kenarına tel çekilmeyecektir).
Çözüm ve Açıklama
Alanı maksimize etmek için türevden yararlanacağız. 🌾
1. Adım: Değişkenleri belirleyelim. Nehire dik kenarlara \( x \), nehire paralel kenara \( y \) diyelim.
2. Adım: Çevre denklemi: \( 2x + y = 40 \) buradan \( y = 40 - 2x \) bulunur.
3. Adım: Alan denklemi: \( A(x) = x \times y = x \times (40 - 2x) = 40x - 2x^2 \)
4. Adım: Maksimum alan için türev alıp sıfıra eşitleyelim.
\( A'(x) = 40 - 4x = 0 \) ise \( x = 10 \) bulunur.
Aşağıda parçalı olarak tanımlanan \( f(x) \) fonksiyonu \( x = 2 \) noktasında sürekli olduğuna göre, \( a \) değerini bulunuz.
\( f(x) = \)
\( 3x + a \), eğer \( x < 2 \) ise
\( x^2 + 5 \), eğer \( x \geq 2 \) ise
Çözüm:
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağdan limiti, soldan limiti ve fonksiyonun o noktadaki değeri birbirine eşit olmalıdır. 📌
Soldan Limit (\( x \to 2^- \)): \( 3 \times 2 + a = 6 + a \)
Sağdan Limit ve Fonksiyon Değeri (\( x \to 2^+ \)): \( 2^2 + 5 = 4 + 5 = 9 \)
Eşitlik Kurma: Süreklilik gereği \( 6 + a = 9 \) olmalıdır.
Çözüm: \( a = 9 - 6 = 3 \)
✅ Sonuç: \( a = 3 \)
Örnek 3:
Türev Alma Kuralları
\( f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 7x - 1 \) fonksiyonu veriliyor. Buna göre, fonksiyonun birinci türevinin \( x = 1 \) noktasındaki değeri olan \( f'(1) \) kaçtır?
Çözüm:
Türev alma kuralını (\( x^n \) türevi \( n \times x^{n-1} \)) uygulayalım: 🚀
1. Adım: Fonksiyonun genel türevini alalım.
\( f'(x) = 3 \times 2x^2 - 2 \times 4x + 7 \)
\( f'(x) = 6x^2 - 8x + 7 \)
2. Adım: Türev fonksiyonunda \( x \) yerine \( 1 \) yazalım.
\( f'(1) = 6 \times (1)^2 - 8 \times (1) + 7 \)
\( f'(1) = 6 - 8 + 7 = 5 \)
✅ Sonuç: \( 5 \)
Örnek 4:
Türevin Fiziksel Yorumu (Hız ve Zaman)
Bir hareketlinin \( t \) saniyede aldığı yol (metre cinsinden) \( s(t) = t^2 + 4t + 10 \) denklemi ile modellenmiştir. Bu hareketlinin 3. saniyedeki anlık hızı kaç m/sn'dir?
Çözüm:
Yol fonksiyonunun zamana göre birinci türevi, bize anlık hızı verir. 🏃♂️
1. Adım: Yol fonksiyonunun türevini alarak hız fonksiyonunu (\( v(t) \)) bulalım.
\( v(t) = s'(t) = 2t + 4 \)
2. Adım: 3. saniyedeki hızı bulmak için \( t = 3 \) yazalım.
\( v(3) = 2 \times 3 + 4 \)
\( v(3) = 6 + 4 = 10 \)
✅ Sonuç: \( 10 \) m/sn
Örnek 5:
Maksimum ve Minimum Problemleri (Optimizasyon)
Bir çiftçi, bir kenarı nehir olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin üç kenarını tel örgü ile çevirecektir. Kullanacağı telin toplam uzunluğu 40 metre olduğuna göre, bahçenin alanı en fazla kaç metrekare olabilir? (Nehir kenarına tel çekilmeyecektir).
Çözüm:
Alanı maksimize etmek için türevden yararlanacağız. 🌾
1. Adım: Değişkenleri belirleyelim. Nehire dik kenarlara \( x \), nehire paralel kenara \( y \) diyelim.
2. Adım: Çevre denklemi: \( 2x + y = 40 \) buradan \( y = 40 - 2x \) bulunur.
3. Adım: Alan denklemi: \( A(x) = x \times y = x \times (40 - 2x) = 40x - 2x^2 \)
4. Adım: Maksimum alan için türev alıp sıfıra eşitleyelim.
\( A'(x) = 40 - 4x = 0 \) ise \( x = 10 \) bulunur.