💡 12. Sınıf Matematik: Kalkülüs Çözümlü Örnekler

Polinom tipi fonksiyonlarda limit hesaplanırken, limitin yaklaştığı değer doğrudan değişkene yazılır. 💡

• 1. Adım: Fonksiyonda \( x \) gördüğümüz her yere \( 3 \) yazalım.
• 2. Adım: İşlemi yapalım: \( 3^2 + 2 \times 3 - 5 \)
• 3. Adım: Hesaplama: \( 9 + 6 - 5 = 10 \)

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağdan limiti, soldan limiti ve fonksiyonun o noktadaki değeri birbirine eşit olmalıdır. 📌

• Soldan Limit (\( x \to 2^- \)): \( 3 \times 2 + a = 6 + a \)
• Sağdan Limit ve Fonksiyon Değeri (\( x \to 2^+ \)): \( 2^2 + 5 = 4 + 5 = 9 \)
• Eşitlik Kurma: Süreklilik gereği \( 6 + a = 9 \) olmalıdır.
• Çözüm: \( a = 9 - 6 = 3 \)

Türev alma kuralını (\( x^n \) türevi \( n \times x^{n-1} \)) uygulayalım: 🚀

• 1. Adım: Fonksiyonun genel türevini alalım.
• \( f'(x) = 3 \times 2x^2 - 2 \times 4x + 7 \)
• \( f'(x) = 6x^2 - 8x + 7 \)
• 2. Adım: Türev fonksiyonunda \( x \) yerine \( 1 \) yazalım.
• \( f'(1) = 6 \times (1)^2 - 8 \times (1) + 7 \)
• \( f'(1) = 6 - 8 + 7 = 5 \)

Yol fonksiyonunun zamana göre birinci türevi, bize anlık hızı verir. 🏃‍♂️

• 1. Adım: Yol fonksiyonunun türevini alarak hız fonksiyonunu (\( v(t) \)) bulalım.
• \( v(t) = s'(t) = 2t + 4 \)
• 2. Adım: 3. saniyedeki hızı bulmak için \( t = 3 \) yazalım.
• \( v(3) = 2 \times 3 + 4 \)
• \( v(3) = 6 + 4 = 10 \)

Alanı maksimize etmek için türevden yararlanacağız. 🌾

• 1. Adım: Değişkenleri belirleyelim. Nehire dik kenarlara \( x \), nehire paralel kenara \( y \) diyelim.
• 2. Adım: Çevre denklemi: \( 2x + y = 40 \) buradan \( y = 40 - 2x \) bulunur.
• 3. Adım: Alan denklemi: \( A(x) = x \times y = x \times (40 - 2x) = 40x - 2x^2 \)
• 4. Adım: Maksimum alan için türev alıp sıfıra eşitleyelim.
• \( A'(x) = 40 - 4x = 0 \) ise \( x = 10 \) bulunur.
• 5. Adım: Maksimum alanı hesaplayalım: \( A(10) = 10 \times (40 - 2 \times 10) = 10 \times 20 = 200 \)

İntegral alma kuralını (\( x^n \) integrali \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \)) her terime uygulayalım. Sabit sayıyı (\( c \)) eklemeyi unutmayalım! ➕

• 1. Terim: \( \int 6x^2 dx = 6 \times \frac{x^3}{3} = 2x^3 \)
• 2. Terim: \( \int -4x dx = -4 \times \frac{x^2}{2} = -2x^2 \)
• 3. Terim: \( \int 3 dx = 3x \)
• Sonuç: Hepsini birleştirelim ve integral sabitini ekleyelim.

Belirli integralde önce belirsiz integral bulunur, sonra üst ve alt sınırlar yerine yazılır. 📐

• 1. Adım: İntegrali alalım: \( [x^3 + 2x]_{1}^{2} \)
• 2. Adım: Üst sınırı (\( 2 \)) yerine yazalım: \( (2^3 + 2 \times 2) = 8 + 4 = 12 \)
• 3. Adım: Alt sınırı (\( 1 \)) yerine yazalım: \( (1^3 + 2 \times 1) = 1 + 2 = 3 \)
• 4. Adım: Farkı bulalım: \( 12 - 3 = 9 \)

Bir eğrinin altında kalan alan, o aralıktaki belirli integral ile hesaplanır. 🖼️

• 1. Adım: Alanı veren integral ifadesini yazalım: \( \int_{0}^{3} x^2 dx \)
• 2. Adım: İntegrali alalım: \( [\frac{x^3}{3}]_{0}^{3} \)
• 3. Adım: Sınırları yerine koyalım:
• Üst sınır için: \( \frac{3^3}{3} = \frac{27}{3} = 9 \)
• Alt sınır için: \( \frac{0^3}{3} = 0 \)
• 4. Adım: Sonuç: \( 9 - 0 = 9 \)