💡 12. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

Bir fonksiyonun üstel fonksiyon olabilmesi için tabanının pozitif olması ve 1'e eşit olmaması gerekir.

• Kural 1: Taban sıfırdan büyük olmalıdır.
  \( 2a - 10 > 0 \)
  \( 2a > 10 \)
  \( a > 5 \)
• Kural 2: Taban 1'e eşit olmamalıdır.
  \( 2a - 10 \neq 1 \)
  \( 2a \neq 11 \)
  \( a \neq 5.5 \)

✅ Bu durumda \( a \) değer aralığı: \( (5, \infty) \setminus \{5.5\} \) olarak bulunur.

Logaritma tanımı gereği \( \log_a b = c \) ise \( b = a^c \) olur. Bu kuralı soruya uygulayalım:

• \( 4x - 7 = 3^2 \)
• \( 4x - 7 = 9 \)
• \( 4x = 9 + 7 \)
• \( 4x = 16 \)
• \( x = 4 \)

Kontrol: Logaritmanın içi pozitif olmalıdır.
\( 4(4) - 7 = 16 - 7 = 9 > 0 \).
✅ Çözüm kümesi: \( \{4\} \)

Öncelikle 144 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

Şimdi logaritma özelliklerini (çarpımın toplamaya dönüşmesi ve üssün başa gelmesi) uygulayalım:

• \( \log(2^4 \cdot 3^2) = \log(2^4) + \log(3^2) \)
• \( = 4 \cdot \log 2 + 2 \cdot \log 3 \)

Verilen \( a \) ve \( b \) değerlerini yerini yazalım:

• \( = 4a + 2b \)

✅ Sonuç: \( 4a + 2b \)

Logaritmada zincir kuralı (taban değiştirmenin bir sonucu) uygulanır:

• İfadeyi genel tabanda (örneğin 10 tabanında) yazalım:
  \[ \frac{\log 5}{\log 2} \cdot \frac{\log 7}{\log 5} \cdot \frac{\log 32}{\log 7} \]
• Pay ve paydadaki benzer terimler birbirini sadeleştirir:
  \( \log 5 \)'ler ve \( \log 7 \)'ler gider.
• Geriye kalan ifade:
  \[ \frac{\log 32}{\log 2} = \log_2 32 \]
• 32 sayısını 2 tabanında yazalım:
  \( \log_2(2^5) = 5 \cdot \log_2 2 \)
• \( \log_2 2 = 1 \) olduğu için:
  \( 5 \cdot 1 = 5 \)

✅ Sonuç: \( 5 \)

Üslü sayı özelliklerini kullanarak ortak çarpan parantezine alalım:

• \( 5^x \cdot 5^1 - 5^x = 100 \)
• \( 5^x \cdot (5 - 1) = 100 \)
• \( 5^x \cdot 4 = 100 \)
• \( 5^x = \frac{100}{4} \)
• \( 5^x = 25 \)
• \( 5^x = 5^2 \)

✅ Tabanlar eşit olduğu için üsler de eşittir: \( x = 2 \)

Bu durum bir üstel büyüme modelidir.

• Fonksiyonun Oluşturulması:
  Başlangıç miktarı: \( 500 \)
  Artış oranı: Her saat 2 katı.
  Fonksiyon: \( f(t) = 500 \cdot 2^t \)
• 10. Saat Sonundaki Miktar:
  \( t = 10 \) için;
  \( f(10) = 500 \cdot 2^{10} \)
• \( 2^{10} = 1024 \) olduğu bilinmektedir.
• \( f(10) = 500 \cdot 1024 = 512000 \)

✅ 10. saatin sonunda ortamda 512000 bakteri bulunur.

Verilen derişim değerini formülde yerine koyalım:

• \( pH = -\log(10^{-5}) \)
• Logaritma özelliğine göre üs başa çarpım olarak geçer:
  \( pH = -(-5) \cdot \log 10 \)
• \( \log 10 = 1 \) olduğu için:
  \( pH = 5 \cdot 1 = 5 \)

✅ Elma suyunun pH değeri 5'tir (Asidiktir).

Soruda verilen bilgileri formülde yerleştirelim:

• Ses şiddeti \( I = 10^8 \cdot I_0 \) olarak verilmiş.
• Oranlayalım: \( \frac{I}{I_0} = 10^8 \)
• Formülde yerine yazalım:
  \( L = 10 \cdot \log(10^8) \)
• Logaritma kuralını uygulayalım:
  \( L = 10 \cdot 8 \cdot \log 10 \)
• \( \log 10 = 1 \) olduğu için:
  \( L = 80 \)

✅ Konserdeki ses düzeyi 80 dB olarak ölçülür.