💡 12. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Üstel Fonksiyon Tanımı:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ \) olmak üzere, \( f(x) = (2a - 10)^x \) fonksiyonu bir üstel fonksiyon belirttiğine göre, \( a \) sayısının alabileceği en geniş değer aralığını bulunuz. 💡
Çözüm ve Açıklama
Bir fonksiyonun üstel fonksiyon olabilmesi için tabanının pozitif olması ve 1'e eşit olmaması gerekir.
Kural 1: Taban sıfırdan büyük olmalıdır.
\( 2a - 10 > 0 \)
\( 2a > 10 \)
\( a > 5 \)
Aşağıdaki denklemi sağlayan \( x \) değerini bulunuz:
\[ 5^{x+1} - 5^x = 100 \]
Çözüm ve Açıklama
Üslü sayı özelliklerini kullanarak ortak çarpan parantezine alalım:
\( 5^x \cdot 5^1 - 5^x = 100 \)
\( 5^x \cdot (5 - 1) = 100 \)
\( 5^x \cdot 4 = 100 \)
\( 5^x = \frac{100}{4} \)
\( 5^x = 25 \)
\( 5^x = 5^2 \)
✅ Tabanlar eşit olduğu için üsler de eşittir: \( x = 2 \)
6
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bakteri Çoğalması:
Bir laboratuvar ortamındaki bakteri sayısı her 1 saatin sonunda %100 artmaktadır (yani 2 katına çıkmaktadır). Başlangıçta 500 bakteri bulunan bir kültürde, \( t \) saat sonraki bakteri sayısını veren fonksiyonu yazınız ve 10. saatin sonundaki bakteri sayısını hesaplayınız. 🦠
Çözüm ve Açıklama
Bu durum bir üstel büyüme modelidir.
Fonksiyonun Oluşturulması:
Başlangıç miktarı: \( 500 \)
Artış oranı: Her saat 2 katı.
Fonksiyon: \( f(t) = 500 \cdot 2^t \)
10. Saat Sonundaki Miktar:
\( t = 10 \) için;
\( f(10) = 500 \cdot 2^{10} \)
\( 2^{10} = 1024 \) olduğu bilinmektedir.
\( f(10) = 500 \cdot 1024 = 512000 \)
✅ 10. saatin sonunda ortamda 512000 bakteri bulunur.
7
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Kimya ve Logaritma (pH Hesabı):
Bir çözeltinin pH değeri, hidrojen iyonu derişimi \( [H^+] \) olmak üzere;
\[ pH = -\log[H^+] \]
formülü ile hesaplanır. Hidrojen iyonu derişimi \( 10^{-5} \) mol/L olan bir elma suyunun pH değerini bulunuz. 🍎
Çözüm ve Açıklama
Verilen derişim değerini formülde yerine koyalım:
\( pH = -\log(10^{-5}) \)
Logaritma özelliğine göre üs başa çarpım olarak geçer:
\( pH = -(-5) \cdot \log 10 \)
Ses düzeyi \( L \) (desibel - dB), ses şiddeti \( I \) ve referans ses şiddeti \( I_0 \) olmak üzere;
\[ L = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right) \]
formülü ile modellenir. Bir konserdeki ses şiddeti, referans ses şiddetinin \( 10^8 \) katı ise bu konserdeki ses düzeyi kaç desibeldir? 🎸
Çözüm ve Açıklama
Soruda verilen bilgileri formülde yerleştirelim:
Ses şiddeti \( I = 10^8 \cdot I_0 \) olarak verilmiş.
Oranlayalım: \( \frac{I}{I_0} = 10^8 \)
Formülde yerine yazalım:
\( L = 10 \cdot \log(10^8) \)
12. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Üstel Fonksiyon Tanımı:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ \) olmak üzere, \( f(x) = (2a - 10)^x \) fonksiyonu bir üstel fonksiyon belirttiğine göre, \( a \) sayısının alabileceği en geniş değer aralığını bulunuz. 💡
Çözüm:
Bir fonksiyonun üstel fonksiyon olabilmesi için tabanının pozitif olması ve 1'e eşit olmaması gerekir.
Kural 1: Taban sıfırdan büyük olmalıdır.
\( 2a - 10 > 0 \)
\( 2a > 10 \)
\( a > 5 \)
Aşağıdaki denklemi sağlayan \( x \) değerini bulunuz:
\[ 5^{x+1} - 5^x = 100 \]
Çözüm:
Üslü sayı özelliklerini kullanarak ortak çarpan parantezine alalım:
\( 5^x \cdot 5^1 - 5^x = 100 \)
\( 5^x \cdot (5 - 1) = 100 \)
\( 5^x \cdot 4 = 100 \)
\( 5^x = \frac{100}{4} \)
\( 5^x = 25 \)
\( 5^x = 5^2 \)
✅ Tabanlar eşit olduğu için üsler de eşittir: \( x = 2 \)
Örnek 6:
Bakteri Çoğalması:
Bir laboratuvar ortamındaki bakteri sayısı her 1 saatin sonunda %100 artmaktadır (yani 2 katına çıkmaktadır). Başlangıçta 500 bakteri bulunan bir kültürde, \( t \) saat sonraki bakteri sayısını veren fonksiyonu yazınız ve 10. saatin sonundaki bakteri sayısını hesaplayınız. 🦠
Çözüm:
Bu durum bir üstel büyüme modelidir.
Fonksiyonun Oluşturulması:
Başlangıç miktarı: \( 500 \)
Artış oranı: Her saat 2 katı.
Fonksiyon: \( f(t) = 500 \cdot 2^t \)
10. Saat Sonundaki Miktar:
\( t = 10 \) için;
\( f(10) = 500 \cdot 2^{10} \)
\( 2^{10} = 1024 \) olduğu bilinmektedir.
\( f(10) = 500 \cdot 1024 = 512000 \)
✅ 10. saatin sonunda ortamda 512000 bakteri bulunur.
Örnek 7:
Kimya ve Logaritma (pH Hesabı):
Bir çözeltinin pH değeri, hidrojen iyonu derişimi \( [H^+] \) olmak üzere;
\[ pH = -\log[H^+] \]
formülü ile hesaplanır. Hidrojen iyonu derişimi \( 10^{-5} \) mol/L olan bir elma suyunun pH değerini bulunuz. 🍎
Çözüm:
Verilen derişim değerini formülde yerine koyalım:
\( pH = -\log(10^{-5}) \)
Logaritma özelliğine göre üs başa çarpım olarak geçer:
\( pH = -(-5) \cdot \log 10 \)
Ses düzeyi \( L \) (desibel - dB), ses şiddeti \( I \) ve referans ses şiddeti \( I_0 \) olmak üzere;
\[ L = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right) \]
formülü ile modellenir. Bir konserdeki ses şiddeti, referans ses şiddetinin \( 10^8 \) katı ise bu konserdeki ses düzeyi kaç desibeldir? 🎸
Çözüm:
Soruda verilen bilgileri formülde yerleştirelim:
Ses şiddeti \( I = 10^8 \cdot I_0 \) olarak verilmiş.
Oranlayalım: \( \frac{I}{I_0} = 10^8 \)
Formülde yerine yazalım:
\( L = 10 \cdot \log(10^8) \)