Dönüşüm Geometrisi Ders Notu

Dönüşüm Geometrisi: Öteleme, Yansıma ve Dönme

Dönüşüm geometrisi, bir şeklin veya noktanın konumunu, yönünü veya boyutunu değiştiren işlemleri inceler. Bu dersimizde, 12. sınıf müfredatına uygun olarak öteleme, yansıma ve dönme dönüşümlerini detaylı bir şekilde ele alacağız.

1. Öteleme (Kayma) ➡️

Öteleme, bir şeklin veya noktanın düzlemde belirli bir vektör doğrultusunda kaydırılması işlemidir. Şeklin boyutu, şekli ve yönü değişmez, sadece konumu değişir.

Bir \(A(x, y)\) noktasının \( \vec{v} = (a, b) \) vektörü ile ötelenmesi sonucu oluşan \(A'(x', y')\) noktasının koordinatları şu şekilde bulunur:

\[ x' = x + a \] \[ y' = y + b \]

Örnek 1: \(A(3, 5)\) noktasının \( \vec{v} = (-2, 1) \) vektörü ile ötelenmesi sonucu oluşan \(A'\) noktasının koordinatlarını bulunuz.

Çözüm: \(x' = 3 + (-2) = 1\) \(y' = 5 + 1 = 6\) Dolayısıyla, \(A'(1, 6)\) olur.

Günlük Hayattan Örnek: Bir trenin raylar üzerinde sabit bir hızla ilerlemesi, öteleme dönüşümüne bir örnektir. Trenin her bir noktası, aynı doğrultuda ve aynı mesafede hareket eder.

2. Yansıma (Simetri) 🪞

Yansıma, bir noktanın veya şeklin belirli bir doğruya (yansıma ekseni) göre simetriğini alma işlemidir. Yansıma sonucunda şeklin boyutu ve şekli değişmez, ancak yönü değişir.

a) x-eksenine Göre Yansıma

Bir \(A(x, y)\) noktasının x-eksenine göre yansıması \(A'(x', y')\) ise:

\[ x' = x \] \[ y' = -y \]

b) y-eksenine Göre Yansıma

Bir \(A(x, y)\) noktasının y-eksenine göre yansıması \(A'(x', y')\) ise:

\[ x' = -x \] \[ y' = y \]

c) Orijine Göre Yansıma

Bir \(A(x, y)\) noktasının orijine göre yansıması \(A'(x', y')\) ise:

\[ x' = -x \] \[ y' = -y \]

Örnek 2: \(B(4, -2)\) noktasının;

• x-eksenine göre yansıması \(B'\)
• y-eksenine göre yansıması \(B''\)
• Orijine göre yansıması \(B'''\)

noktalarının koordinatlarını bulunuz.

Çözüm:

• x-eksenine göre: \(B'(4, -(-2)) = B'(4, 2)\)
• y-eksenine göre: \(B''(-4, -2)\)
• Orijine göre: \(B'''(-4, -(-2)) = B'''(-4, 2)\)

3. Dönme (Rotasyon) 🔄

Dönme, bir noktanın veya şeklin sabit bir nokta (dönme merkezi) etrafında belirli bir açıda döndürülmesi işlemidir. Dönme sonucunda şeklin boyutu ve şekli değişmez, sadece konumu ve yönü değişir.

Dönme dönüşümleri genellikle orijin etrafında \(90^\circ\), \(180^\circ\), \(270^\circ\) ve \(360^\circ\) gibi özel açılarla incelenir.

a) Orijin Etrafında \(90^\circ\) Saat Yönünün Tersi Yönde Dönme

Bir \(A(x, y)\) noktasının orijin etrafında \(90^\circ\) saat yönünün tersi yönde dönmesi sonucu oluşan \(A'(x', y')\) noktasının koordinatları:

\[ x' = -y \] \[ y' = x \]

b) Orijin Etrafında \(180^\circ\) Dönme

Bir \(A(x, y)\) noktasının orijin etrafında \(180^\circ\) dönmesi sonucu oluşan \(A'(x', y')\) noktasının koordinatları:

\[ x' = -x \] \[ y' = -y \]

(Bu, orijine göre yansıma ile aynıdır.)

c) Orijin Etrafında \(270^\circ\) Saat Yönünün Tersi Yönde Dönme (veya \(90^\circ\) Saat Yönünde Dönme)

Bir \(A(x, y)\) noktasının orijin etrafında \(270^\circ\) saat yönünün tersi yönde dönmesi sonucu oluşan \(A'(x', y')\) noktasının koordinatları:

\[ x' = y \] \[ y' = -x \]

Örnek 3: \(C(2, 3)\) noktasının orijin etrafında;

• \(90^\circ\) saat yönünün tersi yönde
• \(180^\circ\)
• \(270^\circ\) saat yönünün tersi yönde

dönmesi sonucu oluşan noktaların koordinatlarını bulunuz.

Çözüm:

• \(90^\circ\) tersi: \(C'(-3, 2)\)
• \(180^\circ\): \(C''(-2, -3)\)
• \(270^\circ\) tersi: \(C'''(3, -2)\)

Günlük Hayattan Örnek: Bir saatin akrep ve yelkovanının hareketi, dönme dönüşümüne örnektir. Belirli bir merkez etrafında açısal olarak hareket ederler.

Bileşke Dönüşümler

Birden fazla dönüşümün art arda uygulanmasına bileşke dönüşüm denir. Dönüşümlerin sırası önemlidir.

Örnek 4: \(D(1, 2)\) noktasının önce x-eksenine göre yansıması, sonra oluşan noktanın \( \vec{u} = (3, -1) \) vektörü ile ötelenmesi sonucu oluşan noktanın koordinatlarını bulunuz.

Çözüm: 1. x-eksenine göre yansıma: \(D'(1, -2)\) 2. \( \vec{u} = (3, -1) \) ile öteleme: \(x'' = 1 + 3 = 4\) \(y'' = -2 + (-1) = -3\) Dolayısıyla, oluşan nokta \(D''(4, -3)\)'tür.