🎓 12. Sınıf
📚 12. Sınıf Matematik
💡 12. Sınıf Matematik: Diziler Çözümlü Örnekler
12. Sınıf Matematik: Diziler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
İlk terimi \( a_1 = 5 \) ve ortak farkı \( d = 3 \) olan aritmetik bir dizinin ilk 5 terimini bulunuz. 💡
Çözüm:
Aritmetik dizilerde genel terim formülü \( a_n = a_1 + (n-1)d \) şeklindedir.
- 1. Adım: İlk terimi ( \( a_1 \) ) ve ortak farkı ( \( d \) ) belirleyelim. Verilenlere göre \( a_1 = 5 \) ve \( d = 3 \).
- 2. Adım: Dizinin ilk 5 terimini hesaplayalım.
- \( a_1 = 5 \) (Verilmiş)
- \( a_2 = a_1 + d = 5 + 3 = 8 \)
- \( a_3 = a_2 + d = 8 + 3 = 11 \)
- \( a_4 = a_3 + d = 11 + 3 = 14 \)
- \( a_5 = a_4 + d = 14 + 3 = 17 \)
- Sonuç: Dizinin ilk 5 terimi 5, 8, 11, 14, 17'dir. ✅
Örnek 2:
Genel terimi \( a_n = 2n + 1 \) olan bir dizinin 3. ve 7. terimlerini bulunuz. 🤔
Çözüm:
Genel terim formülünde \( n \) yerine istenen terim numarasını yazarak hesaplama yaparız.
- 1. Adım: 3. terimi ( \( a_3 \) ) hesaplayalım.
- \( a_3 = 2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7 \)
- 2. Adım: 7. terimi ( \( a_7 \) ) hesaplayalım.
- \( a_7 = 2 \times 7 + 1 = 14 + 1 = 15 \)
- Sonuç: Dizinin 3. terimi 7 ve 7. terimi 15'tir. 📌
Örnek 3:
İlk terimi \( a_1 = 2 \) ve \( a_5 = 18 \) olan bir aritmetik dizinin ortak farkını bulunuz. 🧐
Çözüm:
Aritmetik dizinin genel terim formülünü kullanacağız: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
- 1. Adım: Verilenleri formülde yerine koyalım. \( n=5 \) için \( a_5 = a_1 + (5-1)d \).
- \( 18 = 2 + 4d \)
- 2. Adım: \( d \) değerini yalnız bırakmak için denklemi çözelim.
- \( 18 - 2 = 4d \)
- \( 16 = 4d \)
- \( d = \frac{16}{4} \)
- \( d = 4 \)
- Sonuç: Dizinin ortak farkı 4'tür. 👍
Örnek 4:
Genel terimi \( a_n = n^2 - 3 \) olan dizinin kaçıncı terimi 22'dir? 🔢
Çözüm:
İstediğimiz terimin değerini genel terim formülüne eşitleyerek \( n \) değerini bulacağız.
- 1. Adım: Genel terim formülünü 22'ye eşitleyelim.
- \( n^2 - 3 = 22 \)
- 2. Adım: \( n^2 \) terimini yalnız bırakalım.
- \( n^2 = 22 + 3 \)
- \( n^2 = 25 \)
- 3. Adım: Her iki tarafın karekökünü alarak \( n \) değerini bulalım.
- \( n = \sqrt{25} \)
- \( n = 5 \) (Dizi terimleri pozitif tam sayılar olmalıdır.)
- Sonuç: Dizinin 5. terimi 22'dir. 🎯
Örnek 5:
Bir sinema salonunda ilk sıradaki koltuk sayısı 10'dur. Her bir sonraki sırada koltuk sayısı bir öncekinden 2 fazladır. Bu sinema salonunda 15 sıra olduğuna göre, toplam kaç koltuk vardır? 🎬
Çözüm:
Bu problem, koltuk sayılarının bir aritmetik dizi oluşturması prensibine dayanır.
- 1. Adım: Dizinin ilk terimini ( \( a_1 \) ) ve ortak farkını ( \( d \) ) belirleyelim.
- İlk sıradaki koltuk sayısı \( a_1 = 10 \).
- Her sıradaki artış \( d = 2 \).
- Toplam sıra sayısı \( n = 15 \).
- 2. Adım: Aritmetik dizinin ilk \( n \) terim toplamı formülünü kullanalım: \( S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \).
- \( S_{15} = \frac{15}{2}(2 \times 10 + (15-1) \times 2) \)
- \( S_{15} = \frac{15}{2}(20 + 14 \times 2) \)
- \( S_{15} = \frac{15}{2}(20 + 28) \)
- \( S_{15} = \frac{15}{2}(48) \)
- \( S_{15} = 15 \times 24 \)
- \( S_{15} = 360 \)
- Sonuç: Sinema salonunda toplam 360 koltuk vardır. 🍿
Örnek 6:
Bir banka, her ay başlangıcında hesabınıza 50 TL yatırıyor ve ayrıca her ay önceki aydan kalan bakiyenin %10'u kadar da faiz ekliyor. Bu durum, basit bir geometrik dizi modellemesi ile açıklanamaz çünkü faiz, ana paraya eklenir ve sonraki faiz hesaplamasında bu yeni tutar kullanılır (bileşik faiz gibi). Ancak, eğer banka sadece sabit bir miktar ekleseydi (örneğin her ay 50 TL), bu bir aritmetik dizi olurdu. 🏦
Çözüm:
Bu örnek, dizilerin finansal hesaplamalarda nasıl kullanılabileceğini göstermektedir.
- Durum 1 (Basit Faiz Benzetmesi): Eğer banka her ay sadece sabit 50 TL yatırsaydı, bu bir aritmetik dizi olurdu. İlk ay 50, ikinci ay 100, üçüncü ay 150 TL gibi.
- Durum 2 (Bileşik Faiz Benzetmesi): Soruda bahsedilen durum (her ay ana paranın %10'u kadar faiz eklenmesi) daha çok geometrik dizi mantığına yakındır, ancak faizin ana paraya eklenip sonraki faizin bu yeni tutar üzerinden hesaplanması, standart geometrik dizi formülünden biraz farklılık gösterebilir. Gerçek finansal hesaplamalar genellikle bu tür karmaşık diziler veya özel finansal formüllerle yapılır.
- Önemli Not: 12. Sınıf müfredatında genellikle basit aritmetik ve geometrik diziler üzerinde durulur. Bu örnek, konunun daha karmaşık uygulamalarına bir giriş niteliğindedir. 💡
Örnek 7:
Bir geometrik dizinin ilk terimi \( a_1 = 3 \) ve ortak çarpanı \( r = 2 \) 'dir. Bu dizinin ilk 4 teriminin toplamını bulunuz. 🚀
Çözüm:
Geometrik dizilerde ilk \( n \) terim toplamı formülü \( S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} \) şeklindedir.
- 1. Adım: Verilen değerleri belirleyelim.
- İlk terim \( a_1 = 3 \).
- Ortak çarpan \( r = 2 \).
- Terim sayısı \( n = 4 \).
- 2. Adım: Toplam formülünde değerleri yerine koyalım.
- \( S_4 = 3 \times \frac{2^4 - 1}{2 - 1} \)
- \( S_4 = 3 \times \frac{16 - 1}{1} \)
- \( S_4 = 3 \times 15 \)
- \( S_4 = 45 \)
- Sonuç: Dizinin ilk 4 teriminin toplamı 45'tir. ✨
Örnek 8:
Bir fabrikanın ilk ay ürettiği ürün sayısı 100'dür. Üretim miktarı her ay bir önceki aya göre %20 artmaktadır. Buna göre, fabrikanın 3. ay sonunda toplam kaç ürün üretmiş olacağını hesaplayınız. 🏭
Çözüm:
Bu problem, artış oranının sabit olduğu bir geometrik dizi örneğidir.
- 1. Adım: Dizinin ilk terimini ( \( a_1 \) ) ve ortak çarpanını ( \( r \) ) belirleyelim.
- İlk ay üretilen ürün sayısı \( a_1 = 100 \).
- Üretimdeki artış oranı %20 olduğundan, ortak çarpan \( r = 1 + \frac{20}{100} = 1 + 0.20 = 1.20 \) olur.
- Toplam ay sayısı \( n = 3 \).
- 2. Adım: İlk 3 ayın üretim miktarlarını ayrı ayrı hesaplayalım.
- 1. Ay: \( a_1 = 100 \)
- 2. Ay: \( a_2 = a_1 \times r = 100 \times 1.20 = 120 \)
- 3. Ay: \( a_3 = a_2 \times r = 120 \times 1.20 = 144 \)
- 3. Adım: Toplam üretimi bulmak için bu terimleri toplayalım.
- Toplam Üretim = \( a_1 + a_2 + a_3 = 100 + 120 + 144 = 364 \)
- Alternatif Çözüm (Toplam Formülü): Geometrik dizi toplam formülünü de kullanabiliriz: \( S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} \).
- \( S_3 = 100 \times \frac{(1.20)^3 - 1}{1.20 - 1} \)
- \( S_3 = 100 \times \frac{1.728 - 1}{0.20} \)
- \( S_3 = 100 \times \frac{0.728}{0.20} \)
- \( S_3 = 100 \times 3.64 \)
- \( S_3 = 364 \)
- Sonuç: Fabrika 3. ay sonunda toplam 364 ürün üretmiş olur. 📈
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/12-sinif-matematik-diziler/sorular