💡 11. Sınıf Matematik: Trigonometrik Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

Bu soruyu adım adım çözelim:

• 1. Esas Ölçüyü Bulma:

• 📌 Açının esas ölçüsünü bulmak için, verilen açının \( 360^\circ \)'ye bölümünden kalanı buluruz.
• \( 1560 \div 360 \) işlemini yapalım: \[ 1560 = 4 \times 360 + 120 \]
• Yani, \( 1560^\circ \) açısının esas ölçüsü \( 120^\circ \)'dir. ✅

• 2. Radyan Cinsinden Değeri Bulma:

• 💡 Dereceyi radyana çevirmek için \( \frac{\text{Derece}}{180} = \frac{\text{Radyan}}{\pi} \) formülünü kullanırız.
• Esas ölçü olan \( 120^\circ \)'yi radyana çevirelim: \[ \frac{120}{180} = \frac{\text{Radyan}}{\pi} \] \[ \text{Radyan} = \frac{120\pi}{180} \] \[ \text{Radyan} = \frac{2\pi}{3} \]
• Buna göre, \( 1560^\circ \) açısının esas ölçüsü \( 120^\circ \) ve bu açının radyan cinsinden değeri \( \frac{2\pi}{3} \)'tür. 🎉

Her bir ifadeyi ayrı ayrı inceleyelim:

• 1. \( \sin(210^\circ) \)

• 📌 \( 210^\circ \) açısı 3. bölgededir. 3. bölgede sinüs fonksiyonunun işareti negatiftir.
• İndirgeme formülü kullanarak \( 210^\circ = 180^\circ + 30^\circ \) yazabiliriz.
• Buna göre, \( \sin(210^\circ) = \sin(180^\circ + 30^\circ) = -\sin(30^\circ) \).
• \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) olduğundan, \( \sin(210^\circ) = -\frac{1}{2} \)'dir. ✅

• 2. \( \cos(300^\circ) \)

• 📌 \( 300^\circ \) açısı 4. bölgededir. 4. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti pozitiftir.
• İndirgeme formülü kullanarak \( 300^\circ = 360^\circ - 60^\circ \) yazabiliriz.
• Buna göre, \( \cos(300^\circ) = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos(60^\circ) \).
• \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \) olduğundan, \( \cos(300^\circ) = \frac{1}{2} \)'dir. ✅

• 3. \( \tan(135^\circ) \)

• 📌 \( 135^\circ \) açısı 2. bölgededir. 2. bölgede tanjant fonksiyonunun işareti negatiftir.
• İndirgeme formülü kullanarak \( 135^\circ = 180^\circ - 45^\circ \) yazabiliriz.
• Buna göre, \( \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) \).
• \( \tan(45^\circ) = 1 \) olduğundan, \( \tan(135^\circ) = -1 \)'dir. ✅

İfadeyi adım adım sadeleştirelim:

• 1. Temel Özdeşliği Hatırlayalım:

• 📌 Bildiğimiz en temel trigonometrik özdeşliklerden biri \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)'dir.
• Bu özdeşlikten, \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) yazabiliriz.

• 2. İfadeyi Yeniden Yazalım:

• Verilen ifadede \( \sin^2 x \) yerine \( 1 - \cos^2 x \) yazalım: \[ \frac{1 - \cos^2 x}{1 - \cos x} + \cos x \]

• 3. Payı Çarpanlarına Ayıralım:

• 💡 Pay kısmındaki \( 1 - \cos^2 x \) ifadesi, iki kare farkı özdeşliğine göre \( (1 - \cos x)(1 + \cos x) \) şeklinde yazılabilir.
• İfadeyi tekrar düzenleyelim: \[ \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1 - \cos x} + \cos x \]

• 4. Sadeleştirme Yapalım:

• Pay ve paydada bulunan ortak terim olan \( (1 - \cos x) \) terimlerini sadeleştirebiliriz (tabii ki \( \cos x \neq 1 \) olmak üzere). \[ (1 + \cos x) + \cos x \]

• 5. Sonucu Bulalım:

• Kalan terimleri toplayalım: \[ 1 + \cos x + \cos x = 1 + 2\cos x \]
• Sonuç olarak, ifadenin en sade hali \( 1 + 2\cos x \)'tir. 🎉

İfadeyi adım adım indirgeme formülleriyle çözüyoruz:

• 1. İlk Terimi İnceleyelim: \( \sin(\frac{3\pi}{2} - x) \)

• 📌 \( \frac{3\pi}{2} \) radyan \( 270^\circ \)'ye eşittir. Yani \( \sin(270^\circ - x) \) ifadesini inceliyoruz.
• \( 270^\circ - x \) açısı 3. bölgededir. 3. bölgede sinüs fonksiyonunun işareti negatiftir.
• Açı \( 270^\circ \) olduğu için fonksiyon isim değiştirir (sinüs kosinüs olur).
• Bu durumda, \( \sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -\cos x \)'tir. ✅

• 2. İkinci Terimi İnceleyelim: \( \cos(\pi + x) \)

• 📌 \( \pi \) radyan \( 180^\circ \)'ye eşittir. Yani \( \cos(180^\circ + x) \) ifadesini inceliyoruz.
• \( 180^\circ + x \) açısı 3. bölgededir. 3. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatiftir.
• Açı \( 180^\circ \) olduğu için fonksiyon isim değiştirmez.
• Bu durumda, \( \cos(\pi + x) = -\cos x \)'tir. ✅

• 3. İfadeleri Birleştirelim:

• Bulduğumuz değerleri yerine yazalım: \[ \sin(\frac{3\pi}{2} - x) + \cos(\pi + x) = (-\cos x) + (-\cos x) \] \[ = -\cos x - \cos x \] \[ = -2\cos x \]
• Sonuç olarak, ifadenin eşiti \( -2\cos x \)'tir. 🎉

Sıralama yapmadan önce tüm değerleri dar açı cinsinden ve aynı trigonometrik fonksiyon türünden yazmaya çalışalım:

• 1. \( a = \sin(140^\circ) \)

• 📌 \( 140^\circ \) açısı 2. bölgededir. 2. bölgede sinüs pozitiftir.
• \( \sin(140^\circ) = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin(40^\circ) \).
• Yani, \( a = \sin(40^\circ) \).

• 2. \( b = \cos(250^\circ) \)

• 📌 \( 250^\circ \) açısı 3. bölgededir. 3. bölgede kosinüs negatiftir.
• \( \cos(250^\circ) = \cos(270^\circ - 20^\circ) = -\sin(20^\circ) \).
• Yani, \( b = -\sin(20^\circ) \).

• 3. \( c = \tan(220^\circ) \)

• 📌 \( 220^\circ \) açısı 3. bölgededir. 3. bölgede tanjant pozitiftir.
• \( \tan(220^\circ) = \tan(180^\circ + 40^\circ) = \tan(40^\circ) \).
• Yani, \( c = \tan(40^\circ) \).

• 4. \( d = \sin(310^\circ) \)

• 📌 \( 310^\circ \) açısı 4. bölgededir. 4. bölgede sinüs negatiftir.
• \( \sin(310^\circ) = \sin(360^\circ - 50^\circ) = -\sin(50^\circ) \).
• Yani, \( d = -\sin(50^\circ) \).

• 5. Değerleri Karşılaştırma:

• Şu anki değerlerimiz:
  • \( a = \sin(40^\circ) \) (Pozitif)
  • \( b = -\sin(20^\circ) \) (Negatif)
  • \( c = \tan(40^\circ) \) (Pozitif)
  • \( d = -\sin(50^\circ) \) (Negatif)
• Negatif değerleri kendi arasında, pozitif değerleri kendi arasında sıralayalım.
• Negatifler: \( b = -\sin(20^\circ) \) ve \( d = -\sin(50^\circ) \).
  Sinüs fonksiyonu \( 0^\circ \) ile \( 90^\circ \) arasında artan olduğu için \( \sin(50^\circ) > \sin(20^\circ) \)'dir.
  Bu durumda \( -\sin(50^\circ) < -\sin(20^\circ) \)'dir.
  Yani, \( d < b \).
• Pozitifler: \( a = \sin(40^\circ) \) ve \( c = \tan(40^\circ) \).
  Dar açılar için her zaman \( \tan x > \sin x \) olduğunu biliyoruz (çünkü \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) ve \( 0 < \cos x < 1 \) olduğundan \( \frac{1}{\cos x} > 1 \)).
  Bu durumda \( \tan(40^\circ) > \sin(40^\circ) \)'dir.
  Yani, \( c > a \).

• 6. Son Sıralama:

• En küçük negatif değer \( d \), ardından \( b \) gelir. Daha sonra pozitif değerlerden \( a \), en büyük ise \( c \)'dir.
• Küçükten büyüğe sıralama: \( d < b < a < c \). 🎉

Bu problemi adım adım çözerek \( \cos x \) değerini bulalım:

• 1. Geometrik Yapıyı Anlayalım:

• 📌 Soruda verilen bilgilere göre, bir ABC dik üçgeni oluşmaktadır.
• A noktası direğin zemine değdiği nokta, B noktası direğin üst ucu ve C noktası B noktasından zemine indirilen dikmenin ayağıdır.
• Direğin boyu (AB kenarı) hipotenüs olup 10 metredir.
• B noktasının zemine olan dik uzaklığı (BC kenarı) karşı dik kenar olup 6 metredir.
• Zeminle yapılan açı \( x \), A köşesindeki açıdır.

• 2. Eksik Kenarı Bulalım:

• Pisagor Teoremi'ni kullanarak AC kenarının (komşu dik kenar) uzunluğunu bulabiliriz: \[ (AC)^2 + (BC)^2 = (AB)^2 \] \[ (AC)^2 + 6^2 = 10^2 \] \[ (AC)^2 + 36 = 100 \] \[ (AC)^2 = 100 - 36 \] \[ (AC)^2 = 64 \] \[ AC = \sqrt{64} \] \[ AC = 8 \text{ metre} \]

• 3. \( \cos x \) Değerini Hesaplayalım:

• 💡 Kosinüs fonksiyonu, bir dik üçgende komşu dik kenarın hipotenüse oranına eşittir.
• Yani, \( \cos x = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \).
• Bizim üçgenimizde komşu dik kenar AC = 8 metre ve hipotenüs AB = 10 metredir. \[ \cos x = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{10} \] \[ \cos x = \frac{4}{5} \]
• Bu durumda, \( \cos x \) değeri \( \frac{4}{5} \)'tir. ✅
• Bu sayede mühendis, direğin eğimini trigonometrik olarak ifade edebilir ve standartlara uygunluğunu kontrol edebilir. 🎉

Bu problemi Kosinüs Teoremi kullanarak çözebiliriz:

• 1. Verileri Tanımlayalım:

• 📌 Bir ABC üçgeni hayal edelim.
• Haritacının bulunduğu nokta A.
• 1. dağın zirvesi B.
• 2. dağın zirvesi C.
• AB kenarının uzunluğu \( c = 5 \) km.
• AC kenarının uzunluğu \( b = 8 \) km.
• A açısı \( \alpha = 60^\circ \).
• Aradığımız uzaklık BC kenarının uzunluğu, yani \( a \)'dır.

• 2. Kosinüs Teoremi'ni Uygulayalım:

• Kosinüs Teoremi'ne göre: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \]
• Değerleri yerine yazalım: \[ a^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \times 8 \times 5 \times \cos(60^\circ) \]

• 3. Hesaplamaları Yapalım:

• \( 8^2 = 64 \)
• \( 5^2 = 25 \)
• \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)
• Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım: \[ a^2 = 64 + 25 - (2 \times 8 \times 5 \times \frac{1}{2}) \] \[ a^2 = 89 - (80 \times \frac{1}{2}) \] \[ a^2 = 89 - 40 \] \[ a^2 = 49 \]

• 4. Sonucu Bulalım:

• \( a = \sqrt{49} \)
• \( a = 7 \) km.
• Buna göre, 1. dağın zirvesi ile 2. dağın zirvesi arasındaki uzaklık 7 km'dir. ✅ Haritacı bu yöntemle zorlu arazi koşullarında bile doğru ölçümler yapabilir. 🎉

Üçgenin alanını bulmak için sinüs alan formülünü kullanalım:

• 1. Sinüs Alan Formülünü Hatırlayalım:

• 💡 Bir üçgenin alanı, iki kenar uzunluğu ile bu iki kenar arasındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir.
  Yani, \( \text{Alan(ABC)} = \frac{1}{2} \times b \times c \times \sin A \) formülünü kullanacağız.
• Burada \( b \) ve \( c \) açının komşu kenarlarıdır.

• 2. Verilenleri Yerine Yazalım:

• Verilenler:
  • \( c = |AB| = 10 \) cm
  • \( b = |AC| = 12 \) cm
  • A açısı \( = 45^\circ \)
  • \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• Formülde değerleri yerine koyalım: \[ \text{Alan(ABC)} = \frac{1}{2} \times 12 \times 10 \times \sin(45^\circ) \]

• 3. Hesaplamaları Yapalım:

• \[ \text{Alan(ABC)} = \frac{1}{2} \times 120 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \text{Alan(ABC)} = 60 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \text{Alan(ABC)} = 30\sqrt{2} \]
• Buna göre, üçgenin alanı \( 30\sqrt{2} \text{ cm}^2 \)'dir. 🎉

Trigonometrik bir fonksiyonun periyodunu bulmak için belirli kurallar vardır:

• 1. Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonlarının Periyodu:

• 📌 Genel olarak, \( f(x) = a \sin(bx+c) + d \) veya \( f(x) = a \cos(bx+c) + d \) şeklindeki fonksiyonların periyodu \( T = \frac{2\pi}{|b|} \) formülü ile bulunur.
• Burada \( |b| \) terimi, \( x \)'in katsayısının mutlak değeridir.

• 2. Fonksiyonu İnceleyelim:

• Verilen fonksiyon \( f(x) = 3\sin(4x - \frac{\pi}{3}) + 5 \) şeklindedir.
• Bu fonksiyonda, \( x \)'in katsayısı \( b = 4 \)'tür.

• 3. Periyodu Hesaplayalım:

• Formülü kullanarak periyodu hesaplayalım: \[ T = \frac{2\pi}{|4|} \] \[ T = \frac{2\pi}{4} \] \[ T = \frac{\pi}{2} \]
• Buna göre, verilen fonksiyonun periyodu \( \frac{\pi}{2} \)'dir. ✅ Bu, fonksiyonun her \( \frac{\pi}{2} \) radyanlık aralıkta aynı değerleri tekrar edeceği anlamına gelir. 🎉