Trigonometrik Fonksiyonlar Ders Notu

Trigonometrik fonksiyonlar, açıların ve üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki ilişkileri inceleyen önemli bir matematik dalıdır. Özellikle dik üçgenlerdeki oranlarla başlayan bu kavramlar, birim çember üzerinde genişletilerek tüm açılar için tanımlanır ve matematiğin birçok alanında kullanılır.

Yönlü Açılar ve Esas Ölçü 🤔

Bir açının başlangıç kenarı sabit, bitim kenarı hareketli kabul edildiğinde, bitim kenarının saatin tersi yönde dönmesiyle oluşan açılara pozitif yönlü açı, saatin dönme yönünde dönmesiyle oluşan açılara ise negatif yönlü açı denir.

Açı Ölçü Birimleri

• Derece (°): Bir tam çemberin 360 eş parçaya bölünmesiyle elde edilen her bir yaya karşılık gelen merkez açının ölçüsüdür.
• Radyan: Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açının ölçüsüdür. Bir tam çember \( 2\pi \) radyan ölçüsündedir.

Derece ile radyan arasındaki ilişki:

\[ \frac{D}{180} = \frac{R}{\pi} \]

Burada \(D\) derece, \(R\) radyan cinsinden açı ölçüsüdür.

Esas Ölçü

Bir açının esas ölçüsü, \( [0^\circ, 360^\circ) \) veya \( [0, 2\pi) \) aralığındaki ölçüsüdür. Bir açının esas ölçüsünü bulmak için, açının ölçüsü 360°'ye (veya \( 2\pi \) radyana) bölünür ve kalan alınır.

• Derece cinsinden: \( \alpha \) açısının esas ölçüsü \( \alpha = 360^\circ \cdot k + \theta \) ise, \( \theta \) esas ölçüdür. (\( 0^\circ \le \theta < 360^\circ \))
• Radyan cinsinden: \( \alpha \) açısının esas ölçüsü \( \alpha = 2\pi \cdot k + \theta \) ise, \( \theta \) esas ölçüdür. (\( 0 \le \theta < 2\pi \))

Birim Çember ⭕

Merkezi başlangıç noktasında (orijin) ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir. Birim çember üzerindeki herhangi bir \(P(x, y)\) noktası için başlangıç kenarı pozitif x-ekseni olmak üzere bir \( \alpha \) açısı oluşturulduğunda:

• \(x\) koordinatı \( \cos \alpha \) değerini,
• \(y\) koordinatı \( \sin \alpha \) değerini

gösterir. Bu durumda \( x^2 + y^2 = 1 \) olduğundan, \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \) temel özdeşliği elde edilir.

Trigonometrik Fonksiyonlar ve İşaretleri 📊

1. Sinüs Fonksiyonu

Birim çemberde \(P(x, y)\) noktasının y-koordinatına \( \alpha \) açısının sinüsü denir ve \( \sin \alpha \) ile gösterilir.

• Değer Aralığı: \( -1 \le \sin \alpha \le 1 \)
• İşaretler:
  • I. Bölge: \( \sin \alpha > 0 \) (+)
  • II. Bölge: \( \sin \alpha > 0 \) (+)
  • III. Bölge: \( \sin \alpha < 0 \) (-)
  • IV. Bölge: \( \sin \alpha < 0 \) (-)

2. Kosinüs Fonksiyonu

Birim çemberde \(P(x, y)\) noktasının x-koordinatına \( \alpha \) açısının kosinüsü denir ve \( \cos \alpha \) ile gösterilir.

• Değer Aralığı: \( -1 \le \cos \alpha \le 1 \)
• İşaretler:
  • I. Bölge: \( \cos \alpha > 0 \) (+)
  • II. Bölge: \( \cos \alpha < 0 \) (-)
  • III. Bölge: \( \cos \alpha < 0 \) (-)
  • IV. Bölge: \( \cos \alpha > 0 \) (+)

3. Tanjant Fonksiyonu

Birim çemberde \( \alpha \) açısının bitim kenarının \( x=1 \) doğrusunu kestiği noktanın ordinatına \( \alpha \) açısının tanjantı denir ve \( \tan \alpha \) ile gösterilir.

\[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]

\( \cos \alpha = 0 \) yapan değerler için (yani \( \alpha = 90^\circ + k \cdot 180^\circ \), \( k \in \mathbb{Z} \)) tanımsızdır.

• Değer Aralığı: \( -\infty < \tan \alpha < \infty \)
• İşaretler:
  • I. Bölge: \( \tan \alpha > 0 \) (+)
  • II. Bölge: \( \tan \alpha < 0 \) (-)
  • III. Bölge: \( \tan \alpha > 0 \) (+)
  • IV. Bölge: \( \tan \alpha < 0 \) (-)

4. Kotanjant Fonksiyonu

Birim çemberde \( \alpha \) açısının bitim kenarının \( y=1 \) doğrusunu kestiği noktanın apsisine \( \alpha \) açısının kotanjantı denir ve \( \cot \alpha \) ile gösterilir.

\[ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]

\( \sin \alpha = 0 \) yapan değerler için (yani \( \alpha = k \cdot 180^\circ \), \( k \in \mathbb{Z} \)) tanımsızdır.

• Değer Aralığı: \( -\infty < \cot \alpha < \infty \)
• İşaretler:
  • I. Bölge: \( \cot \alpha > 0 \) (+)
  • II. Bölge: \( \cot \alpha < 0 \) (-)
  • III. Bölge: \( \cot \alpha > 0 \) (+)
  • IV. Bölge: \( \cot \alpha < 0 \) (-)

5. Sekant Fonksiyonu

Sekant, kosinüs fonksiyonunun çarpmaya göre tersidir.

\[ \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} \]

\( \cos \alpha = 0 \) yapan değerler için tanımsızdır.

6. Kosekant Fonksiyonu

Kosekant, sinüs fonksiyonunun çarpmaya göre tersidir.

\[ \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} \]

\( \sin \alpha = 0 \) yapan değerler için tanımsızdır.

Temel Trigonometrik Özdeşlikler ✅

Her \( \alpha \) gerçek sayısı için geçerli olan bazı temel özdeşlikler şunlardır:

• \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
• \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)
• \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)
• \( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \)
• \( 1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha \)
• \( 1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha \)

İndirgeme Bağıntıları 🔄

Geniş açıların trigonometrik oranlarını dar açılar cinsinden ifade etmeye yarayan bağıntılardır. İşlem basamakları:

1. Açının hangi bölgede olduğunu belirle ve fonksiyonun o bölgedeki işaretini bul.
2. Açı \( (90^\circ \pm \alpha) \) veya \( (270^\circ \pm \alpha) \) biçiminde ise fonksiyonun ismini değiştir (sinüs kosinüse, tanjant kotanjanta).
3. Açı \( (180^\circ \pm \alpha) \) veya \( (360^\circ \pm \alpha) \) biçiminde ise fonksiyonun ismi değişmez.

Örnekler:

• \( \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha \)
• \( \cos(90^\circ + \alpha) = -\sin \alpha \)
• \( \tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha \)
• \( \cot(270^\circ + \alpha) = -\tan \alpha \)
• \( \sin(360^\circ - \alpha) = -\sin \alpha \)
• \( \cos(-\alpha) = \cos \alpha \) (çünkü kosinüs çift fonksiyondur)
• \( \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \) (çünkü sinüs tek fonksiyondur)

Trigonometrik Fonksiyonların Periyotları ve Grafikleri 📈

Periyot

Bir fonksiyonun belirli aralıklarla aynı değerleri alması durumuna periyodik fonksiyon denir. Bu aralığın en küçük pozitif değerine ise esas periyot denir.

• \( \sin(ax+b) \) ve \( \cos(ax+b) \) fonksiyonlarının periyodu \( \frac{2\pi}{|a|} \) veya \( \frac{360^\circ}{|a|} \).
• \( \tan(ax+b) \) ve \( \cot(ax+b) \) fonksiyonlarının periyodu \( \frac{\pi}{|a|} \) veya \( \frac{180^\circ}{|a|} \).
• Kuvvetleri tek sayı ise periyot değişmez.
• Kuvvetleri çift sayı ise \( \sin^n(ax+b) \) ve \( \cos^n(ax+b) \) fonksiyonlarının periyodu \( \frac{\pi}{|a|} \) veya \( \frac{180^\circ}{|a|} \) olur.

Grafikler

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri, periyodik olmaları nedeniyle belirli aralıklarla tekrar eden dalgalı bir yapıya sahiptir.

• Sinüs Grafiği: \( y = \sin x \) fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alır ve periyodu \( 2\pi \) (veya \( 360^\circ \))'dir. Orijinden geçer.
• Kosinüs Grafiği: \( y = \cos x \) fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alır ve periyodu \( 2\pi \) (veya \( 360^\circ \))'dir. \( (0, 1) \) noktasından geçer.
• Tanjant Grafiği: \( y = \tan x \) fonksiyonu tüm reel sayılarda değer alır (tanımsız olduğu noktalar hariç) ve periyodu \( \pi \) (veya \( 180^\circ \))'dir. Düşey asimptotları vardır.
• Kotanjant Grafiği: \( y = \cot x \) fonksiyonu tüm reel sayılarda değer alır (tanımsız olduğu noktalar hariç) ve periyodu \( \pi \) (veya \( 180^\circ \))'dir. Düşey asimptotları vardır.

Üçgenlerde Trigonometrik Teoremler 📐

1. Kosinüs Teoremi

Bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açı biliniyorsa, üçüncü kenar uzunluğunu bulmak için kullanılır. Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları a, b, c ve bu kenarların karşısındaki açılar A, B, C olmak üzere:

• \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \)
• \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \)
• \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \)

2. Sinüs Teoremi

Bir üçgende kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri doğru orantılıdır. Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları a, b, c ve bu kenarların karşısındaki açılar A, B, C olmak üzere:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

Burada \(R\), üçgenin çevrel çemberinin yarıçapıdır.

3. Üçgenin Alanı Formülü (Sinüslü Alan Formülü)

Bir üçgenin alanı, iki kenar uzunluğu ile bu iki kenar arasındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir. Bir ABC üçgeninde:

\[ Alan(ABC) = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} ac \sin B = \frac{1}{2} ab \sin C \]