🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Trigonometri Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Trigonometri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
\( x \) bir dar açı olmak üzere, aşağıdaki trigonometrik ifadenin en sade halini bulunuz:
\[ \frac{\sin^2(x)}{1 - \cos(x)} - \cos(x) \]
\[ \frac{\sin^2(x)}{1 - \cos(x)} - \cos(x) \]
Çözüm:
Sorunun çözümü için temel trigonometrik özdeşliklerden yararlanacağız. Adım adım ilerleyelim:
💡 Cevap: Verilen ifadenin en sade hali 1 olarak bulunur.
- 1. Adım: En temel trigonometrik özdeşliğimiz olan \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) formülünü hatırlayalım. Bu formülden \( \sin^2(x) \) ifadesini yalnız bırakırsak:
\[ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \] elde ederiz. - 2. Adım: Bulduğumuz bu değeri sorudaki yerine yazalım:
\[ \frac{1 - \cos^2(x)}{1 - \cos(x)} - \cos(x) \] - 3. Adım: Pay kısmındaki \( 1 - \cos^2(x) \) ifadesi iki kare farkı özdeşliğidir. Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım:
\[ 1 - \cos^2(x) = (1 - \cos(x)) \cdot (1 + \cos(x)) \] - 4. Adım: Çarpanlarına ayrılmış hali kesirde yerine yazıp sadeleştirme yapalım:
\[ \frac{(1 - \cos(x)) \cdot (1 + \cos(x))}{1 - \cos(x)} - \cos(x) \]
Pay ve paydadaki \( 1 - \cos(x) \) terimleri birbirini sadeleştirir:
\[ (1 + \cos(x)) - \cos(x) \] - 5. Adım: Son olarak işlemi tamamlayalım:
\[ 1 + \cos(x) - \cos(x) = 1 \]
💡 Cevap: Verilen ifadenin en sade hali 1 olarak bulunur.
Örnek 2:
Analitik düzlemin ikinci bölgesinde bulunan \( P\left(a, \frac{\sqrt{5}}{3}\right) \) noktası birim çember üzerindedir.
Buna göre, \( a \) değerini ve bu noktaya karşılık gelen açının kosinüs değerini bulunuz.
Buna göre, \( a \) değerini ve bu noktaya karşılık gelen açının kosinüs değerini bulunuz.
Çözüm:
Birim çember üzerindeki noktaların özelliklerini kullanarak çözüme ulaşabiliriz:
✅ Cevap: \( a \) değeri ve açının kosinüs değeri \( -\frac{2}{3} \) olarak elde edilir.
- 1. Adım: Birim çember üzerindeki her \( (x, y) \) noktası için \( x^2 + y^2 = 1 \) denklemi sağlanır. Verilen \( P \) noktasının koordinatlarını bu denklemde yerine yazalım:
\[ a^2 + \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 \] - 2. Adım: Kare alma işlemini gerçekleştirelim:
\[ a^2 + \frac{5}{9} = 1 \]
\[ a^2 = 1 - \frac{5}{9} \]
\[ a^2 = \frac{4}{9} \] - 3. Adım: Hangi sayıların karesinin \( \frac{4}{9} \) olduğunu belirleyelim:
\( a = \frac{2}{3} \) veya \( a = -\frac{2}{3} \) olabilir. - 4. Adım: Soruda \( P \) noktasının ikinci bölgede olduğu belirtilmiştir. İkinci bölgede apsis (\( x \)) değerleri negatif olduğundan:
\[ a = -\frac{2}{3} \] olmalıdır. - 5. Adım: Birim çember üzerindeki bir noktanın apsis değeri, o noktayı orijine birleştiren doğrunun yönlü açısının kosinüs değerine eşittir. Dolayısıyla:
\[ \cos(\theta) = a = -\frac{2}{3} \] olarak bulunur.
✅ Cevap: \( a \) değeri ve açının kosinüs değeri \( -\frac{2}{3} \) olarak elde edilir.
Örnek 3:
Aşağıda verilen trigonometrik ifadenin en sade biçimini yönlü açılarda bölge ve işaret kurallarını kullanarak bulunuz:
\[ \frac{\cos(\pi + x) + \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)}{\cos(2\pi - x)} \]
\[ \frac{\cos(\pi + x) + \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)}{\cos(2\pi - x)} \]
Çözüm:
Trigonometrik fonksiyonlarda indirgeme formüllerini uygulayarak her bir terimi sadeleştirelim:
👉 Cevap: İfadenin en sade hali -2'dir.
- 1. Terim: \( \cos(\pi + x) \) ifadesi 3. bölgededir. 3. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatiftir ve açı \( \pi \) cinsinden yazıldığı için isim değişmez:
\[ \cos(\pi + x) = -\cos(x) \] - 2. Terim: \( \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \) ifadesi 3. bölgededir. 3. bölgede sinüs fonksiyonunun işareti negatiftir. Açı \( \frac{3\pi}{2} \) cinsinden yazıldığı için fonksiyon isim değiştirerek kosinüse dönüşür:
\[ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos(x) \] - 3. Terim: \( \cos(2\pi - x) \) ifadesi 4. bölgededir. 4. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti pozitiftir ve isim değişmez:
\[ \cos(2\pi - x) = \cos(x) \] - Değerleri Yerine Yazma: Bulduğumuz bu sadeleşmiş halleri orijinal kesirde yerine koyalım:
\[ \frac{-\cos(x) + (-\cos(x))}{\cos(x)} \]
\[ \frac{-2\cos(x)}{\cos(x)} \]
Pay ve paydadaki \( \cos(x) \) terimleri birbirini sadeleştirir ve sonuç:
\[ -2 \] olarak bulunur.
👉 Cevap: İfadenin en sade hali -2'dir.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla \( a = 5 \) birim, \( b = 6 \) birim ve \( c = 7 \) birim olarak verilmiştir.
Buna göre, bu üçgenin en büyük açısı olan C açısının kosinüs değerini (\( \cos(C) \)) bulunuz.
Buna göre, bu üçgenin en büyük açısı olan C açısının kosinüs değerini (\( \cos(C) \)) bulunuz.
Çözüm:
Bir üçgenin üç kenar uzunluğu biliniyorsa, herhangi bir açısının kosinüs değerini bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.
📌 Cevap: C açısının kosinüs değeri \( \frac{1}{5} \) olarak hesaplanır.
- 1. Adım: C açısına göre Kosinüs Teoremi formülünü yazalım:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(C) \] - 2. Adım: Verilen kenar uzunluklarını formülde yerlerine yerleştirelim:
\[ 7^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(C) \] - 3. Adım: Sayısal işlemleri yapalım:
\[ 49 = 25 + 36 - 60 \cdot \cos(C) \]
\[ 49 = 61 - 60 \cdot \cos(C) \] - 4. Adım: Bilinmeyenli terimi yalnız bırakalım:
\[ 60 \cdot \cos(C) = 61 - 49 \]
\[ 60 \cdot \cos(C) = 12 \] - 5. Adım: Her iki tarafı 60'a bölerek \( \cos(C) \) değerini bulalım ve sadeleştirelim:
\[ \cos(C) = \frac{12}{60} = \frac{1}{5} \]
📌 Cevap: C açısının kosinüs değeri \( \frac{1}{5} \) olarak hesaplanır.
Örnek 5:
Tanımlı olduğu aralıkta verilen aşağıdaki trigonometrik ifadenin değerini hesaplayınız:
\[ \tan\left(\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right) \]
\[ \tan\left(\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right) \]
Çözüm:
Ters trigonometrik fonksiyon içeren bu soruyu çözmek için değişken değiştirme yöntemi ve dik üçgen çiziminden yararlanacağız:
✅ Cevap: İfadenin değeri \( \frac{3}{4} \) olarak bulunur.
- 1. Adım: Parantez içindeki ters trigonometrik ifadeye bir isim verelim:
\[ \theta = \arcsin\left(\frac{3}{5}\right) \]
Bu durumda bizden istenen değer aslında \( \tan(\theta) \) değeridir. - 2. Adım: Tanım gereği, eğer \( \theta = \arcsin\left(\frac{3}{5}\right) \) ise:
\[ \sin(\theta) = \frac{3}{5} \] olur. Burada \( \theta \) açısı birinci bölgede bir dar açıdır. - 3. Adım: Bir dik üçgen çizelim ve bu üçgende bir dar açıya \( \theta \) diyelim:
Sinüs, karşı dik kenarın hipotenüse oranı olduğundan;
Karşı dik kenar = 3 birim,
Hipotenüs = 5 birim olarak belirlenir. - 4. Adım: Pisagor teoremini kullanarak komşu dik kenarın uzunluğunu bulalım:
Komşu kenarın karesi \( = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \)
Komşu dik kenar = 4 birim (Bu üçgen ünlü 3-4-5 özel dik üçgenidir). - 5. Adım: Şimdi bizden istenen \( \tan(\theta) \) değerini dik üçgenden okuyalım:
Tanjant değeri, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.
\[ \tan(\theta) = \frac{3}{4} \]
✅ Cevap: İfadenin değeri \( \frac{3}{4} \) olarak bulunur.
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları ile açılarının sinüsleri arasında aşağıdaki gibi bir ilişki bulunmaktadır:
\[ \sin(A) + \sin(B) = 3 \cdot \sin(C) \]
Bu ABC üçgeninin çevresi 24 birim olduğuna göre, \( c \) kenarının uzunluğu kaç birimdir?
\[ \sin(A) + \sin(B) = 3 \cdot \sin(C) \]
Bu ABC üçgeninin çevresi 24 birim olduğuna göre, \( c \) kenarının uzunluğu kaç birimdir?
Çözüm:
Bir üçgende kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların sinüsleri arasındaki ilişkiyi kuran Sinüs Teoremi'ni kullanalım:
💡 Cevap: \( c \) kenarının uzunluğu 6 birimdir.
- 1. Adım: Sinüs Teoremi formülünü hatırlayalım:
\[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R \]
Burada \( R \) çevrel çemberin yarıçapıdır. Bu eşitlikten her bir kenarı sinüs cinsinden yazabiliriz:
\( a = 2R \cdot \sin(A) \), \( b = 2R \cdot \sin(B) \) ve \( c = 2R \cdot \sin(C) \) - 2. Adım: Orantı özelliklerinden faydalanarak sinüs değerlerini kenar uzunlukları cinsinden ifade edelim:
\[ \sin(A) = \frac{a}{2R}, \quad \sin(B) = \frac{b}{2R}, \quad \sin(C) = \frac{c}{2R} \] - 3. Adım: Bu ifadeleri soruda bize verilen denklemde yerine yazalım:
\[ \frac{a}{2R} + \frac{b}{2R} = 3 \cdot \frac{c}{2R} \] - 4. Adım: Eşitliğin her iki tarafını da \( 2R \) ile çarparak paydalardan kurtulalım:
\[ a + b = 3c \] - 5. Adım: Üçgenin çevresi 24 birim olarak verilmiştir. Çevre formülünü yazalım:
\[ a + b + c = 24 \]
Yukarıda bulduğumuz \( a + b = 3c \) eşitliğini çevre denkleminde yerine yazalım:
\[ 3c + c = 24 \]
\[ 4c = 24 \]
\[ c = 6 \text{ birim} \]
💡 Cevap: \( c \) kenarının uzunluğu 6 birimdir.
Örnek 7:
Bir parkta bulunan elektrik direğinin boyunu ölçmek isteyen bir mühendis, direğin tabanından tam 12 metre uzaklaşarak tepe noktasına bakıyor.
Mühendisin bakış doğrultusunun yerle yaptığı açı \( 30^\circ \) olduğuna göre, elektrik direğinin boyu kaç metredir?
(Mühendisin boyu ihmal edilecektir ve \( \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \) olarak alınacaktır.)
Mühendisin bakış doğrultusunun yerle yaptığı açı \( 30^\circ \) olduğuna göre, elektrik direğinin boyu kaç metredir?
(Mühendisin boyu ihmal edilecektir ve \( \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \) olarak alınacaktır.)
Çözüm:
Bu günlük hayat problemini dik üçgen yardımıyla modelleyerek kolayca çözebiliriz:
👉 Cevap: Elektrik direğinin boyu \( 4\sqrt{3} \) metredir.
- 1. Adım: Durumu gözümüzde canlandırmak için bir dik üçgen modeli kuralım:
- Üçgenin dikey kenarı elektrik direğinin boyudur ve bu değere \( h \) diyelim.
- Üçgenin yatay kenarı mühendisin direğe uzaklığıdır, yani \( 12 \) metredir.
- Mühendisin bakış açısı olan \( 30^\circ \), yatay kenar ile hipotenüs arasındaki açıdır. - 2. Adım: Açının karşı kenarı (\( h \)) ve komşu kenarı (\( 12 \)) bilindiğine göre, tanjant fonksiyonunu kullanmalıyız:
\[ \tan(30^\circ) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} \]
\[ \tan(30^\circ) = \frac{h}{12} \] - 3. Adım: Bilinen \( \tan(30^\circ) \) değerini yerine yazarak denklemi kuralım:
\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h}{12} \] - 4. Adım: İçler dışlar çarpımı yaparak \( h \) değerini çekelim:
\[ 3 \cdot h = 12\sqrt{3} \]
\[ h = 4\sqrt{3} \text{ metre} \]
👉 Cevap: Elektrik direğinin boyu \( 4\sqrt{3} \) metredir.
Örnek 8:
Bir deniz fenerinin tepesindeki ışık kaynağı, deniz seviyesinden 60 metre yüksekliktedir. Fenerden gelen ışık, denizde doğrusal bir hat üzerinde hareket eden bir gemiyi aydınlatmaktadır.
Işığın gemiye ulaştığı anda, ışık huzmesinin dikey doğrultu ile yaptığı açı \( \alpha \) olarak ölçülmüştür.
\( \tan(\alpha) = \frac{3}{4} \) olduğuna göre, geminin deniz fenerinin tabanına olan yatay uzaklığı kaç metredir?
Işığın gemiye ulaştığı anda, ışık huzmesinin dikey doğrultu ile yaptığı açı \( \alpha \) olarak ölçülmüştür.
\( \tan(\alpha) = \frac{3}{4} \) olduğuna göre, geminin deniz fenerinin tabanına olan yatay uzaklığı kaç metredir?
Çözüm:
Soruda verilen sözel durumu bir dik üçgen modeli çizerek analiz edelim:
📌 Cevap: Geminin deniz fenerine olan yatay uzaklığı 45 metredir.
- 1. Adım: Dik üçgenin elemanlarını belirleyelim:
- Dikey kenar: Deniz fenerinin yüksekliği olup \( 60 \) metredir.
- Yatay kenar: Geminin fenerin tabanına olan yatay uzaklığıdır, bu değere \( x \) diyelim.
- Açı (\( \alpha \)): Işık huzmesinin dikey doğrultu ile yaptığı açıdır. Yani fenerin tepesindeki dikey çizgi ile gemiye giden hipotenüs çizgisi arasındaki açıdır. - 2. Adım: Bu açı konumlandırmasına göre:
- Açının karşı dik kenarı yatay uzaklık olan \( x \)'tir.
- Açının komşu dik kenarı dikey yükseklik olan \( 60 \) metredir. - 3. Adım: Tanjant fonksiyonunun tanımını uygulayalım:
\[ \tan(\alpha) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} \]
\[ \tan(\alpha) = \frac{x}{60} \] - 4. Adım: Soruda verilen \( \tan(\alpha) = \frac{3}{4} \) değerini denklemde yerine yazalım:
\[ \frac{3}{4} = \frac{x}{60} \] - 5. Adım: İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \) değerini hesaplayalım:
\[ 4 \cdot x = 3 \cdot 60 \]
\[ 4 \cdot x = 180 \]
\[ x = 45 \text{ metre} \]
📌 Cevap: Geminin deniz fenerine olan yatay uzaklığı 45 metredir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-trigonometri/sorular