🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Trigonometri Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Trigonometri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen açıların esas ölçülerini bulunuz. 📐
- \( 750^\circ \)
- \( -1100^\circ \)
- \( \frac{25\pi}{3} \) radyan
- \( -\frac{17\pi}{4} \) radyan
Çözüm:
Bir açının esas ölçüsü, \( [0^\circ, 360^\circ) \) veya \( [0, 2\pi) \) aralığında olmalıdır. Esas ölçüyü bulmak için açının \( 360^\circ \) veya \( 2\pi \) katlarını çıkarırız. İşte adımlar:
-
1. \( 750^\circ \) için:
\( 750^\circ \) açısını \( 360^\circ \) ye böleriz. 👉 \( 750 = 2 \times 360 + 30 \).
Bu durumda esas ölçü \( 30^\circ \) dir. ✅ -
2. \( -1100^\circ \) için:
Negatif açılarda, açıyı pozitif yapmak için \( 360^\circ \) nin katlarını ekleriz.
\( -1100^\circ \) nin \( 360^\circ \) ye bölümünden kalanını bulmak için \( 1100 \) ü \( 360 \) a bölelim: \( 1100 = 3 \times 360 + 20 \).
Yani \( -1100^\circ = - (3 \times 360^\circ + 20^\circ) = -3 \times 360^\circ - 20^\circ \).
Esas ölçüyü bulmak için \( -20^\circ \) ye \( 360^\circ \) ekleriz: \( -20^\circ + 360^\circ = 340^\circ \). ✅ -
3. \( \frac{25\pi}{3} \) radyan için:
Radyan cinsinden verilen açılarda, paydanın \( 2 \) katına böleriz. Payda \( 3 \) olduğu için \( 2 \times 3 = 6 \) ya böleriz.
\( 25 \) i \( 6 \) ya bölelim: \( 25 = 4 \times 6 + 1 \).
Kalan \( 1 \) olduğu için esas ölçü \( \frac{1\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \) radyandır. ✅ -
4. \( -\frac{17\pi}{4} \) radyan için:
Yine negatif açı olduğu için pozitif hale getireceğiz. Payda \( 4 \) olduğu için \( 2 \times 4 = 8 \) e böleriz.
\( 17 \) yi \( 8 \) e bölelim: \( 17 = 2 \times 8 + 1 \).
Kalan \( 1 \) olduğu için esas ölçü \( -\frac{1\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} \) olur.
Bunu pozitif yapmak için \( 2\pi \) ekleriz: \( -\frac{\pi}{4} + 2\pi = -\frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \) radyandır. ✅
Örnek 2:
Birim çember üzerinde verilen bir P noktasının koordinatları \( P\left(\frac{3}{5}, y\right) \) dir. P noktası 4. bölgede olduğuna göre \( y \) değeri kaçtır? 🤔
Çözüm:
Birim çember üzerindeki her noktanın koordinatları \( (x, y) = (\cos \theta, \sin \theta) \) şeklindedir ve bu noktaların orijine olan uzaklığı 1 birimdir. Bu yüzden \( x^2 + y^2 = 1 \) denklemini sağlar.
-
1. Denklemi Uygulayalım:
Verilen \( x = \frac{3}{5} \) değerini \( x^2 + y^2 = 1 \) denklemine yerine koyalım.
\[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + y^2 = 1 \] \[ \frac{9}{25} + y^2 = 1 \] -
2. \( y^2 \) Değerini Bulalım:
\( y^2 \) yi yalnız bırakalım:
\[ y^2 = 1 - \frac{9}{25} \] \[ y^2 = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \] \[ y^2 = \frac{16}{25} \] -
3. \( y \) Değerini Bulalım ve İşaretine Dikkat Edelim:
Her iki tarafın karekökünü alırsak \( y = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5} \) olur.
Soruda P noktasının 4. bölgede olduğu belirtilmiştir. 4. bölgede x koordinatı pozitif, y koordinatı ise negatiftir. 📉
Bu yüzden \( y = -\frac{4}{5} \) olmalıdır. ✅
Örnek 3:
\( \frac{\sin x}{1 + \cos x} + \frac{1 + \cos x}{\sin x} \) ifadesinin en sade halini bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu tür ifadelerde genellikle paydaları eşitlemek veya temel trigonometrik özdeşlikleri kullanmak sadeleştirmeye yardımcı olur.
-
1. Paydaları Eşitleyelim:
İlk kesri \( \sin x \) ile, ikinci kesri \( (1 + \cos x) \) ile genişletelim.
\[ \frac{\sin x \cdot \sin x}{(1 + \cos x) \cdot \sin x} + \frac{(1 + \cos x) \cdot (1 + \cos x)}{\sin x \cdot (1 + \cos x)} \] \[ \frac{\sin^2 x}{(1 + \cos x)\sin x} + \frac{(1 + \cos x)^2}{(1 + \cos x)\sin x} \] -
2. Payları Toplayalım:
Ortak paydada payları toplayalım.
\[ \frac{\sin^2 x + (1 + \cos x)^2}{(1 + \cos x)\sin x} \] Paydaki \( (1 + \cos x)^2 \) ifadesini açalım: \( 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\cos x + \cos^2 x \).
Şimdi payı yeniden yazalım:
\[ \frac{\sin^2 x + 1 + 2\cos x + \cos^2 x}{(1 + \cos x)\sin x} \] -
3. Temel Özdeşliği Kullanalım:
Hatırlayalım ki \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) dir. Bu özdeşliği payda yerine koyalım.
\[ \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x) + 1 + 2\cos x}{(1 + \cos x)\sin x} \] \[ \frac{1 + 1 + 2\cos x}{(1 + \cos x)\sin x} \] \[ \frac{2 + 2\cos x}{(1 + \cos x)\sin x} \] -
4. İfadeyi Sadeleştirelim:
Paydaki \( 2 + 2\cos x \) ifadesini \( 2(1 + \cos x) \) olarak yazabiliriz.
\[ \frac{2(1 + \cos x)}{(1 + \cos x)\sin x} \] Pay ve paydadaki \( (1 + \cos x) \) terimlerini sadeleştirelim (tabii ki \( \cos x \neq -1 \) ve \( \sin x \neq 0 \) olmak üzere).
\[ \frac{2}{\sin x} \] -
5. Sonucu Yazalım:
\( \frac{1}{\sin x} = \csc x \) (kosekant) olduğu için ifadeyi \( 2\csc x \) olarak da yazabiliriz. Ancak \( \frac{2}{\sin x} \) de en sade halidir. ✅
Örnek 4:
\( \cos(270^\circ - x) + \sin(180^\circ + x) + \tan(360^\circ - x) \) ifadesinin eşitini bulunuz. 🧐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için indirgeme bağıntılarını (bölgesel işaret ve eksen değişikliği) kullanmamız gerekiyor.
-
1. \( \cos(270^\circ - x) \) için:
Açı \( (270^\circ - x) \) 3. bölgededir. 3. bölgede kosinüsün işareti negatiftir. 📉
Açı \( 270^\circ \) olduğu için trigonometrik fonksiyon isim değiştirir (kosinüs sinüs olur).
Bu yüzden \( \cos(270^\circ - x) = -\sin x \). -
2. \( \sin(180^\circ + x) \) için:
Açı \( (180^\circ + x) \) 3. bölgededir. 3. bölgede sinüsün işareti negatiftir. 📉
Açı \( 180^\circ \) olduğu için trigonometrik fonksiyon isim değiştirmez (sinüs sinüs kalır).
Bu yüzden \( \sin(180^\circ + x) = -\sin x \). -
3. \( \tan(360^\circ - x) \) için:
Açı \( (360^\circ - x) \) 4. bölgededir. 4. bölgede tanjantın işareti negatiftir. 📉
Açı \( 360^\circ \) olduğu için trigonometrik fonksiyon isim değiştirmez (tanjant tanjant kalır).
Bu yüzden \( \tan(360^\circ - x) = -\tan x \). -
4. İfadeleri Birleştirelim:
Bulduğumuz değerleri ana ifadede yerine yazalım:
\( (-\sin x) + (-\sin x) + (-\tan x) \)
\( - \sin x - \sin x - \tan x \)
\( -2\sin x - \tan x \)
Bu, ifadenin en sade halidir. ✅
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 7 \) birim, \( |AC| = 8 \) birim ve \( m(\hat{A}) = 60^\circ \) olduğuna göre, \( |BC| \) kenarının uzunluğu kaç birimdir? 🔺
Çözüm:
Bu tür üçgen sorularında iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı bilindiğinde üçüncü kenarı bulmak için Kosinüs Teoremi kullanılır.
-
1. Kosinüs Teoremini Hatırlayalım:
Bir ABC üçgeninde kenarlar \( a, b, c \) ve açılar \( A, B, C \) ise:
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] Burada \( a \) kenarı A açısının karşısındaki kenardır. -
2. Verilenleri Yerine Koyalım:
Verilenler: \( c = |AB| = 7 \), \( b = |AC| = 8 \), \( A = m(\hat{A}) = 60^\circ \).
Bizden istenen \( a = |BC| \) kenarıdır.
Formülü uygulayalım:
\[ |BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |AB| \cdot \cos(A) \] \[ |BC|^2 = 8^2 + 7^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ) \] -
3. Değerleri Hesaplayalım:
Biliyoruz ki \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \).
\[ |BC|^2 = 64 + 49 - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} \] \[ |BC|^2 = 113 - (2 \cdot 56 \cdot \frac{1}{2}) \] \[ |BC|^2 = 113 - 56 \] \[ |BC|^2 = 57 \] -
4. \( |BC| \) Uzunluğunu Bulalım:
Her iki tarafın karekökünü alırsak:
\[ |BC| = \sqrt{57} \] Yani \( |BC| \) kenarının uzunluğu \( \sqrt{57} \) birimdir. ✅
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde \( |BC| = 12 \) birim, \( m(\hat{B}) = 45^\circ \) ve \( m(\hat{C}) = 60^\circ \) olduğuna göre, \( |AC| \) kenarının uzunluğu kaç birimdir? 📏
Çözüm:
Bir üçgende bir kenar ve bu kenarın karşısındaki açı ile diğer bir kenar ve karşısındaki açı arasındaki ilişkiyi bulmak için Sinüs Teoremi kullanılır.
-
1. Sinüs Teoremini Hatırlayalım:
Bir ABC üçgeninde kenarlar \( a, b, c \) ve karşılarındaki açılar \( A, B, C \) ise:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] -
2. Verilenleri Yerine Koyalım:
Verilenler: \( a = |BC| = 12 \), \( B = m(\hat{B}) = 45^\circ \), \( C = m(\hat{C}) = 60^\circ \).
Bizden istenen \( b = |AC| \) kenarıdır.
Sinüs Teoremini uygulayalım:
\[ \frac{|BC|}{\sin(\hat{A})} = \frac{|AC|}{\sin(\hat{B})} \] Ancak burada \( m(\hat{A}) \) açısını bilmiyoruz. Önce onu bulmalıyız. -
3. \( m(\hat{A}) \) Açısını Bulalım:
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) dir.
\( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
\( m(\hat{A}) + 45^\circ + 60^\circ = 180^\circ \)
\( m(\hat{A}) + 105^\circ = 180^\circ \)
\( m(\hat{A}) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \). -
4. Sinüs Teoremini Tekrar Uygulayalım:
Şimdi tüm bilgilere sahibiz:
\( \frac{|BC|}{\sin(\hat{A})} = \frac{|AC|}{\sin(\hat{B})} \)
\[ \frac{12}{\sin(75^\circ)} = \frac{|AC|}{\sin(45^\circ)} \] Burada \( \sin(75^\circ) \) ve \( \sin(45^\circ) \) değerlerini bilmemiz gerekiyor.
\( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
(Not: \( \sin(75^\circ) \) değeri 11. sınıf müfredatında toplam-fark formülleri ile bulunur, ancak bu formüller 12. sınıfta öğretilir. Soruyu 11. sınıf müfredatına uygun hale getirmek için \( m(\hat{A}) \) açısını \( 30^\circ \) veya \( 90^\circ \) gibi bilinen bir açı olarak değiştirelim veya \( \sin(75^\circ) \)nin değeri verilmelidir.)
Düzeltme: 11. sınıf müfredatına sadık kalmak adına, açıyı \( 30^\circ \) olarak değiştirelim. Farz edelim ki \( m(\hat{C}) = 30^\circ \) olsun.
Yeniden Başlangıç (11. sınıf müfredatına uygunluk için açı değişikliği):
Bir ABC üçgeninde \( |BC| = 12 \) birim, \( m(\hat{B}) = 45^\circ \) ve \( m(\hat{C}) = 30^\circ \) olduğuna göre, \( |AC| \) kenarının uzunluğu kaç birimdir?
3. (Yeniden) \( m(\hat{A}) \) Açısını Bulalım:
\( m(\hat{A}) + 45^\circ + 30^\circ = 180^\circ \)
\( m(\hat{A}) + 75^\circ = 180^\circ \)
\( m(\hat{A}) = 105^\circ \).
(Not: \( \sin(105^\circ) = \sin(180^\circ - 75^\circ) = \sin(75^\circ) \) yine 12. sınıf konusuna girer. Bu durumda Sinüs Teoremi sorusunun açıları ya bilinen açılar olmalı ya da istenen kenar \( 105^\circ \) karşısında olmamalı. En iyisi bilinen açılarla bir soru oluşturalım.) Kesin Düzeltme: Açılar 11. sınıf seviyesinde bilinen değerler olmalı.
Gerçek Soru ve Çözüm (11. sınıf için):
Bir ABC üçgeninde \( |BC| = 12 \) birim, \( m(\hat{B}) = 30^\circ \) ve \( m(\hat{A}) = 45^\circ \) olduğuna göre, \( |AC| \) kenarının uzunluğu kaç birimdir?
1. Sinüs Teoremini Hatırlayalım:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \] 2. Verilenleri Yerine Koyalım:
Verilenler: \( a = |BC| = 12 \), \( B = m(\hat{B}) = 30^\circ \), \( A = m(\hat{A}) = 45^\circ \).
Bizden istenen \( b = |AC| \) kenarıdır.
\[ \frac{|BC|}{\sin(\hat{A})} = \frac{|AC|}{\sin(\hat{B})} \] \[ \frac{12}{\sin(45^\circ)} = \frac{|AC|}{\sin(30^\circ)} \] -
3. Değerleri Hesaplayalım:
Biliyoruz ki \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) ve \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \).
\[ \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{|AC|}{\frac{1}{2}} \] Çapraz çarpım yapalım:
\[ |AC| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12 \cdot \frac{1}{2} \] \[ |AC| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6 \] -
4. \( |AC| \) Uzunluğunu Bulalım:
\( |AC| = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} \)
Paydayı rasyonel yapalım (eşleniği ile çarpalım):
\[ |AC| = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \] Yani \( |AC| \) kenarının uzunluğu \( 6\sqrt{2} \) birimdir. ✅
Örnek 7:
Bir mühendis, bir binanın temelini atarken, birim çember modellemesi üzerinde çalışmaktadır. Merkezden \( 30^\circ \) pozitif yönlü açıyla hareket eden bir işçi, birim çember üzerindeki A noktasına ulaşıyor. Daha sonra A noktasından x eksenine dik inerek B noktasına varıyor. Son olarak, merkezden \( 120^\circ \) pozitif yönlü açıyla hareket eden başka bir işçi, birim çember üzerindeki C noktasına ulaşıyor. Buna göre, C noktasının x koordinatının, B noktasının x koordinatına oranını bulunuz. 🏗️
Çözüm:
Bu problem, birim çember üzerindeki noktaların koordinatlarının trigonometrik fonksiyonlarla ilişkisini anlamamızı gerektirir. Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları \( (\cos \theta, \sin \theta) \) şeklindedir.
-
1. A ve B Noktalarının Koordinatlarını Bulalım:
İşçi merkezden \( 30^\circ \) açıyla A noktasına ulaşıyor. Bu durumda A noktasının koordinatları \( (\cos 30^\circ, \sin 30^\circ) \) olur.
\( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) ve \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \).
Yani \( A\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) \).
A noktasından x eksenine dik inerek B noktasına varıldığına göre, B noktasının x koordinatı A noktasının x koordinatına eşittir. B noktası x ekseni üzerinde olduğundan y koordinatı 0'dır.
Yani \( B\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \).
B noktasının x koordinatı: \( x_B = \frac{\sqrt{3}}{2} \). -
2. C Noktasının Koordinatlarını Bulalım:
Diğer işçi merkezden \( 120^\circ \) açıyla C noktasına ulaşıyor. Bu durumda C noktasının koordinatları \( (\cos 120^\circ, \sin 120^\circ) \) olur.
\( \cos 120^\circ \) değerini indirgeme bağıntıları ile bulalım:
\( \cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) \). 2. bölgede kosinüs negatiftir. 📉
\( \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} \).
\( \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) \). 2. bölgede sinüs pozitiftir. 📈
\( \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Yani \( C\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \).
C noktasının x koordinatı: \( x_C = -\frac{1}{2} \). -
3. Oranı Hesaplayalım:
Bizden C noktasının x koordinatının, B noktasının x koordinatına oranı isteniyor:
\[ \frac{x_C}{x_B} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] \[ \frac{x_C}{x_B} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \] \[ \frac{x_C}{x_B} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] Paydayı rasyonel yapalım:
\[ \frac{x_C}{x_B} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \] Cevap \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \) dir. ✅
Örnek 8:
Bir mühendis, bir nehrin karşı kıyısındaki bir ağacın yüksekliğini ölçmek istiyor. Nehrin kıyısında duran mühendis, ağacın tepesine \( 30^\circ \) lik bir açıyla bakıyor. Mühendis, ağaca doğru 20 metre ilerledikten sonra ağacın tepesine \( 60^\circ \) lik bir açıyla bakıyor. Mühendisin göz hizasının yerden yüksekliği 1.5 metre olduğuna göre, ağacın yaklaşık yüksekliği kaç metredir? (Ağacın ve mühendisin durduğu zemin yataydır.) 🌳
Çözüm:
Bu problemde dik üçgenlerde trigonometrik oranları kullanarak ağacın yüksekliğini bulacağız. Mühendisin göz hizası önemli bir detaydır.
-
1. Problemi Şekillendirelim ve Değişkenleri Tanımlayalım:
Ağacın tepesinden mühendisin göz hizasına kadar olan yüksekliğe \( h \) diyelim. Ağacın toplam yüksekliği \( H \) ise \( H = h + 1.5 \) metredir.
Mühendisin ilk durduğu noktadan ağaca olan yatay mesafeye \( x \) diyelim.
Mühendis 20 metre ilerlediğinde, ağaca olan yatay mesafe \( x - 20 \) metre olur.
İki farklı dik üçgen oluşur:- Büyük üçgen: Karşı kenar \( h \), Komşu kenar \( x \), Açı \( 30^\circ \).
- Küçük üçgen: Karşı kenar \( h \), Komşu kenar \( x - 20 \), Açı \( 60^\circ \).
-
2. Tanjant Fonksiyonunu Uygulayalım:
Tanjant, karşı kenarın komşu kenara oranıdır (\( \tan \theta = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}} \)).
Büyük üçgen için:
\[ \tan(30^\circ) = \frac{h}{x} \] Biliyoruz ki \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h}{x} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3} \quad \text{(Denklem 1)} \] Küçük üçgen için:
\[ \tan(60^\circ) = \frac{h}{x - 20} \] Biliyoruz ki \( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \).
\[ \sqrt{3} = \frac{h}{x - 20} \quad \Rightarrow \quad h = \sqrt{3}(x - 20) \quad \text{(Denklem 2)} \] -
3. Denklem Sistemini Çözelim:
Denklem 1'deki \( x \) değerini Denklem 2'de yerine koyalım:
\[ h = \sqrt{3}(h\sqrt{3} - 20) \] Parantezi dağıtalım:
\[ h = \sqrt{3} \cdot h\sqrt{3} - 20\sqrt{3} \] \[ h = 3h - 20\sqrt{3} \] \( h \) terimlerini bir araya getirelim:
\[ 20\sqrt{3} = 3h - h \] \[ 20\sqrt{3} = 2h \] Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\[ h = 10\sqrt{3} \] -
4. Ağacın Toplam Yüksekliğini Bulalım:
Ağacın tepesinden mühendisin göz hizasına kadar olan yükseklik \( h = 10\sqrt{3} \) metredir.
Mühendisin göz hizası 1.5 metre olduğuna göre, ağacın toplam yüksekliği \( H = h + 1.5 \) olacaktır.
\( H = 10\sqrt{3} + 1.5 \).
\( \sqrt{3} \approx 1.732 \) değerini kullanarak yaklaşık bir sonuç bulalım:
\( H \approx 10 \times 1.732 + 1.5 \)
\( H \approx 17.32 + 1.5 \)
\( H \approx 18.82 \) metredir. ✅
Örnek 9:
\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, \( \sin \alpha = \frac{5}{13} \) ise \( \tan \alpha \) değerini bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu tür sorularda dik üçgen çizerek veya temel trigonometrik özdeşlikleri kullanarak diğer trigonometrik oranları bulabiliriz.
-
1. Dik Üçgen Çizelim:
\( \sin \alpha = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \) olduğu için, bir dik üçgen çizelim.
\( \alpha \) açısının karşısındaki kenar 5 birim, hipotenüs ise 13 birim olsun. -
2. Komşu Kenarı Bulalım:
Pisagor teoremini kullanarak komşu kenarı bulalım (Komşu Kenar = \( k \)):
\( k^2 + 5^2 = 13^2 \)
\( k^2 + 25 = 169 \)
\( k^2 = 169 - 25 \)
\( k^2 = 144 \)
\( k = \sqrt{144} = 12 \) birim. -
3. \( \tan \alpha \) Değerini Bulalım:
\( \tan \alpha = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}} \) formülünü kullanalım.
Karşı kenar 5, komşu kenar 12 olduğuna göre:
\[ \tan \alpha = \frac{5}{12} \] \( \alpha \) dar açı olduğu için \( \tan \alpha \) pozitiftir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-trigonometri/sorular