Trigonometri Ders Notu

Trigonometri, üçgenlerin açıları ile kenarları arasındaki ilişkileri inceleyen ve mühendislikten astronomiye kadar pek çok alanda kullanılan matematiğin en temel dallarından biridir. 11. sınıf düzeyinde trigonometri; yönlü açılar, birim çember, trigonometrik fonksiyonlar ve açılarına göre üçgen bağıntılarını kapsar.

1. Yönlü Açılar ve Açı Ölçü Birimleri 📐

Düzlemde başlangıç ışını sabit, bitiş ışını hareketli olan açılara yönlü açı denir. Bitiş ışını saat yönünün tersine hareket eden açılar pozitif yönlü, saat yönünde hareket eden açılar ise negatif yönlü açılardır.

Açı Ölçü Birimleri Arasındaki Dönüşüm

Açı ölçülerinde yaygın olarak derece (\(D\)) ve radyan (\(R\)) birimleri kullanılır. Bir çember yayının tamamı \(360^\circ\) veya \(2\pi\) radyandır. Dönüşüm formülü şu şekildedir:

\[ \frac{D}{180} = \frac{R}{\pi} \]

Esas Ölçü

Bir açının ölçüsü ne kadar büyük olursa olsun, birim çember üzerindeki karşılığı \(0^\circ\) ile \(360^\circ\) (\(0\) ile \(2\pi\) radyan) arasındadır. Açının bu aralıktaki değerine esas ölçü denir.

💡 Önemli Not: Negatif açıların esas ölçüsü bulunurken, pozitif gibi düşünülüp eklenen \(360^\circ\) veya \(2\pi\) katları ile sonuç pozitif yapılır.

2. Birim Çember ve Trigonometrik Fonksiyonlar ⭕

Analitik düzlemde merkezi orijin \( (0,0) \) ve yarıçapı \(1\) birim olan çembere birim çember denir. Denklemi:

\[ x^2 + y^2 = 1 \]

Birim çember üzerinde \(\alpha\) açısına karşılık gelen bir \( P(x,y) \) noktası için:

• Kosinüs (\(\cos \alpha\)): \(P\) noktasının apsisidir (\(x = \cos \alpha\)).
• Sinüs (\(\sin \alpha\)): \(P\) noktasının ordinatıdır (\(y = \sin \alpha\)).
• Tanjant (\(\tan \alpha\)): \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) (\(\cos \alpha \neq 0\))
• Kotanjant (\(\cot \alpha\)): \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) (\(\sin \alpha \neq 0\))

Temel Trigonometrik Özdeşlikler

Birim çember denklemi doğrudan en temel trigonometrik özdeşliği verir:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \]

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İşaretleri

Bölge	Sinüs	Kosinüs	Tanjant	Kotanjant
1. Bölge (\(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\))	+	+	+	+
2. Bölge (\(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\))	+	-	-	-
3. Bölge (\(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\))	-	-	+	+
4. Bölge (\(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\))	-	+	-	-

3. Trigonometrik Teoremler 🔍

Kosinüs Teoremi

Bir \(ABC\) üçgeninde kenar uzunlukları \(a, b, c\) ve bu kenarları gören açılar sırasıyla \(A, B, C\) olsun. Herhangi bir kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından bu kenarlar ile arasındaki açının kosinüsünün iki katının çıkarılmasına eşittir:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B \] \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \]

Sinüs Teoremi

Bir üçgenin kenar uzunlukları, bu kenarları gören açıların sinüs değerleriyle orantılıdır:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

4. Çözümlü Örnek Sorular ✏️

Örnek 1: Bir \(ABC\) üçgeninde \(b = 4\) cm, \(c = 6\) cm ve bu iki kenar arasındaki açı \(A = 60^\circ\)'dir. \(a\) kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm: Kosinüs teoremini uygulayalım:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] \[ a^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ \]

\(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) değerini yerine yazalım:

\[ a^2 = 16 + 36 - 48 \cdot \frac{1}{2} \] \[ a^2 = 52 - 24 \] \[ a^2 = 28 \implies a = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \text{ cm} \]

Örnek 2: Ölçüsü \(\frac{19\pi}{4}\) radyan olan açının esas ölçüsü kaç radyandır?

Çözüm: Pay olan \(19\), paydanın 2 katı olan \(8\)'e bölünür:

\(19 = 8 \cdot 2 + 3\) olduğu için kalan \(3\)'tür. Kalan paya yazılarak esas ölçü bulunur:

\[ \text{Esas Ölçü} = \frac{3\pi}{4} \]