Trigonometri Ders Notu

Trigonometri, açıları ve üçgenleri inceleyen matematik dalıdır. Özellikle dik üçgenlerdeki kenar-açı ilişkileriyle başlar ve birim çember üzerinde daha genel açılara genişler. 11. sınıf müfredatında, trigonometrik fonksiyonların temel özelliklerini, grafiklerini ve üçgenlerdeki uygulamalarını öğreneceğiz.

Yönlü Açılar ve Birim Çember 🧭

Açılar, başlangıç kenarı sabit tutulup bitim kenarının döndürülmesiyle oluşur. Dönüş yönüne göre açılar pozitif veya negatif yönlü olabilir.

Açı Birimleri

• Derece: Bir çemberin 360'ta birine \(1^\circ\) denir.
• Radyan: Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açının ölçüsüdür. Bir tam çember \(2\pi\) radyandır.
  • Dereceyi radyana çevirme: Derece \( \times \frac{\pi}{180^\circ} \)
  • Radyanı dereceye çevirme: Radyan \( \times \frac{180^\circ}{\pi} \)

  Örnek: \( 90^\circ = 90 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2} \) radyan.

Birim Çember

Merkezi başlangıç noktasında \((0,0)\) olan ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir. Birim çember üzerindeki her \(P(x,y)\) noktası için \(x^2 + y^2 = 1\) bağıntısı geçerlidir.

Esas Ölçü

Bir açının esas ölçüsü, \(0^\circ \le \alpha < 360^\circ\) (veya \(0 \le \alpha < 2\pi\) radyan) aralığındaki değeridir. Verilen bir açının esas ölçüsünü bulmak için, açının ölçüsünden \(360^\circ\) (veya \(2\pi\))'nin tam katları çıkarılır veya eklenir.

Önemli Not: Birim çemberde \(P(x,y)\) noktası, bir açının bitim kenarının çemberi kestiği noktadır.

Trigonometrik Fonksiyonlar 📐

Birim çember üzerinde bir açının bitim kenarının çemberi kestiği noktanın koordinatları, temel trigonometrik fonksiyonları tanımlar.

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları

Birim çemberde \(P(x,y)\) noktası için:

• Kosinüs (\(\cos \alpha\)): Açının bitim kenarının birim çemberi kestiği noktanın apsisi \(x\)'tir. Yani \(x = \cos \alpha\).
• Sinüs (\(\sin \alpha\)): Açının bitim kenarının birim çemberi kestiği noktanın ordinatı \(y\)'dir. Yani \(y = \sin \alpha\).

Bu durumda, birim çember üzerindeki her nokta \(P(\cos \alpha, \sin \alpha)\) şeklinde ifade edilebilir.

Temel özdeşlik: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Bu özdeşlik, birim çember denklemi olan \(x^2 + y^2 = 1\)'den gelir.

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları

Birim çemberde \(\alpha\) açısı için:

• Tanjant (\(\tan \alpha\)): Sinüsün kosinüse oranıdır. \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) (\(\cos \alpha \ne 0\) olmalı).
• Kotanjant (\(\cot \alpha\)): Kosinüsün sinüse oranıdır. \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) (\(\sin \alpha \ne 0\) olmalı).

Tanjant ve kotanjant arasında \( \tan \alpha \times \cot \alpha = 1 \) (\(\sin \alpha \ne 0\) ve \(\cos \alpha \ne 0\) iken) ilişkisi vardır.

Sekant ve Kosekant Fonksiyonları

• Sekant (\(\sec \alpha\)): Kosinüsün çarpmaya göre tersidir. \( \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} \) (\(\cos \alpha \ne 0\)).
• Kosekant (\(\csc \alpha\)): Sinüsün çarpmaya göre tersidir. \( \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} \) (\(\sin \alpha \ne 0\)).

Trigonometrik Fonksiyonların İşaretleri

Birim çember dört bölgeye ayrılır ve her bölgede trigonometrik fonksiyonların işaretleri farklılık gösterir.

Bölge	Açı Aralığı	\(\sin \alpha\)	\(\cos \alpha\)	\(\tan \alpha\)	\(\cot \alpha\)
I. Bölge	\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)	+	+	+	+
II. Bölge	\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)	+	-	-	-
III. Bölge	\(180^\circ < \alpha < 270^\circ\)	-	-	+	+
IV. Bölge	\(270^\circ < \alpha < 360^\circ\)	-	+	-	-

Dönüşüm Formülleri (Esas Ölçü ve İşaret)

\(90^\circ \pm \alpha\) ve \(270^\circ \pm \alpha\) durumlarında fonksiyon isim değiştirir (sin ↔ cos, tan ↔ cot). \(180^\circ \pm \alpha\) ve \(360^\circ \pm \alpha\) durumlarında fonksiyon isim değiştirmez. İşaret, açının bulunduğu bölgeye göre belirlenir.

• \( \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha \)
• \( \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha \)
• \( \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha \)
• \( \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha \)
• \( \tan(270^\circ + \alpha) = -\cot \alpha \)

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Periyotları 📈

Periyot Kavramı

Bir fonksiyonun belirli aralıklarla aynı değerleri almasına periyodik olma denir. Bu aralığın en küçük pozitif değerine periyot denir.

• Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodu \(2\pi\) veya \(360^\circ\)'dir. Yani \( \sin(x) = \sin(x+2k\pi) \) ve \( \cos(x) = \cos(x+2k\pi) \).
• Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu \(\pi\) veya \(180^\circ\)'dir. Yani \( \tan(x) = \tan(x+k\pi) \) ve \( \cot(x) = \cot(x+k\pi) \).

\( f(x) = a \sin(bx+c)+d \) veya \( f(x) = a \cos(bx+c)+d \) şeklindeki fonksiyonların periyodu \( T = \frac{2\pi}{|b|} \)'dir.

\( f(x) = a \tan(bx+c)+d \) veya \( f(x) = a \cot(bx+c)+d \) şeklindeki fonksiyonların periyodu \( T = \frac{\pi}{|b|} \)'dir.

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonlarının Grafikleri

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının grafikleri bir dalga şeklindedir. \(y = \sin x\) grafiği orijinden geçerken, \(y = \cos x\) grafiği \(y\)-eksenini \( (0,1) \) noktasında keser.

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar 🔄

Trigonometrik fonksiyonların birebir ve örten oldukları aralıklarda tanımlanan ters fonksiyonlardır.

arcsin x Fonksiyonu

\(f(x) = \sin x\) fonksiyonunun \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) aralığındaki tersidir. \[ y = \arcsin x \iff x = \sin y \] Tanım Kümesi: \([-1, 1]\). Değer Kümesi: \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\).

arccos x Fonksiyonu

\(f(x) = \cos x\) fonksiyonunun \([0, \pi]\) aralığındaki tersidir. \[ y = \arccos x \iff x = \cos y \] Tanım Kümesi: \([-1, 1]\). Değer Kümesi: \([0, \pi]\).

arctan x Fonksiyonu

\(f(x) = \tan x\) fonksiyonunun \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) aralığındaki tersidir. \[ y = \arctan x \iff x = \tan y \] Tanım Kümesi: \((-\infty, \infty)\). Değer Kümesi: \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\).

arccot x Fonksiyonu

\(f(x) = \cot x\) fonksiyonunun \((0, \pi)\) aralığındaki tersidir. \[ y = \operatorname{arccot} x \iff x = \cot y \] Tanım Kümesi: \((-\infty, \infty)\). Değer Kümesi: \((0, \pi)\).

Üçgenlerde Trigonometri 🔺

Trigonometri, üçgenlerin kenar uzunlukları ve açıları arasındaki ilişkileri belirlemek için güçlü araçlar sunar.

Sinüs Teoremi

Bir üçgende, her kenarın uzunluğunun karşısındaki açının sinüsüne oranı sabittir ve bu oran üçgenin çevrel çemberinin çapına (2R) eşittir.

Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları a, b, c ve bu kenarların karşısındaki açılar A, B, C ise:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

Burada R, üçgenin çevrel çemberinin yarıçapıdır.

Kosinüs Teoremi

Bir üçgende bir kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından, bu iki kenarın çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının çıkarılmasıyla bulunur.

Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları a, b, c ve bu kenarların karşısındaki açılar A, B, C ise:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \] \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \]

Bilgi: Kosinüs teoremi, dik üçgenlerdeki Pisagor Teoremi'nin genel halidir. Eğer A açısı \(90^\circ\) ise \(\cos 90^\circ = 0\) olacağından \(a^2 = b^2 + c^2\) olur.

Üçgenin Alanı Formülü (Trigonometrik Alan)

Bir üçgenin alanı, iki kenar uzunluğunun çarpımının yarısı ile bu iki kenar arasındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir.

Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları a, b, c ve bu kenarların karşısındaki açılar A, B, C ise üçgenin alanı Alan(ABC) şu şekilde bulunabilir:

\[ \text{Alan(ABC)} = \frac{1}{2} bc \sin A \] \[ \text{Alan(ABC)} = \frac{1}{2} ac \sin B \] \[ \text{Alan(ABC)} = \frac{1}{2} ab \sin C \]