🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birim çember üzerinde \( \frac{\pi}{2} \) radyanlık açının bitim noktasının koordinatlarını bulunuz. 💡
Çözüm:
- Birim çember, merkezi orijinde (0,0) olan ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir.
- Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları \( (\cos \theta, \sin \theta) \) şeklindedir, burada \( \theta \) pozitif x ekseniyle yapılan açıdır.
- Verilen açı \( \theta = \frac{\pi}{2} \) radyandır.
- Bu açının kosinüsünü hesaplayalım: \( \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \).
- Bu açının sinüsünü hesaplayalım: \( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \).
- Dolayısıyla, \( \frac{\pi}{2} \) radyanlık açının birim çember üzerindeki bitim noktasının koordinatları \( (0, 1) \) olur. ✅
Örnek 2:
\( \sin(30^\circ) \) değerini hesaplayınız. 📐
Çözüm:
- Sinüs fonksiyonu, dik üçgende karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır.
- 30-60-90 üçgeninde, 30 derecenin karşısındaki kenarın uzunluğu, hipotenüsün yarısıdır.
- Eğer hipotenüs 2 birim ise, 30 derecenin karşısındaki kenar 1 birim olur.
- Bu durumda, \( \sin(30^\circ) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{1}{2} \) olur.
- Yani, \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \). 👉
Örnek 3:
\( \cos(120^\circ) \) değerini hesaplayınız. 🧐
Çözüm:
- 120 derece, ikinci bölgede yer alır.
- İkinci bölgede kosinüs değeri negatiftir.
- Açı, x ekseniyle \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) kadar sapma yapar.
- Bu nedenle, \( \cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) \) olur.
- \( \cos(60^\circ) \) değeri \( \frac{1}{2} \) olduğundan, \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \) olur. ✅
Örnek 4:
\( \sin^2 x + \cos^2 x \) ifadesinin eşitini bulunuz. 🔑
Çözüm:
- Bu ifade, trigonometrinin temel özdeşliğidir.
- Birim çember üzerindeki herhangi bir \( x \) açısı için, noktanın koordinatları \( (\cos x, \sin x) \) olur.
- Bu noktanın orijine olan uzaklığı, birim çemberin yarıçapı olan 1'e eşittir.
- Pisagor teoremini uygulayarak: \( (\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1^2 \) elde ederiz.
- Bu da \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) anlamına gelir. 💡
Örnek 5:
Bir direğin gölgesinin uzunluğu, direğin yüksekliğinin \( \sqrt{3} \) katı ise, güneşin yerle yaptığı \( \alpha \) açısı kaç derecedir? (Gölge boyu, direğin ucundan yere düşen kısmıdır.) ☀️
Çözüm:
- Bu problemi bir dik üçgenle modelleyebiliriz.
- Direğin yüksekliği dikey kenar, gölge boyu yatay kenar olur.
- Güneşin yerle yaptığı açı \( \alpha \), bu dik üçgenin taban açısıdır.
- Verilenlere göre: direğin yüksekliği \( h \) ise, gölge boyu \( h\sqrt{3} \) olur.
- Tanjant fonksiyonunu kullanabiliriz: \( \tan \alpha = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} \).
- Burada \( \tan \alpha = \frac{h}{h\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \) olur.
- \( \tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \) eşitliğini sağlayan \( \alpha \) açısı \( 30^\circ \) derecedir. ✅
Örnek 6:
Bir teknisyen, eğimli bir rampanın eğim açısını ölçmek istiyor. Rampanın yüksekliği 3 metre ve yatayda kapladığı mesafe 3\( \sqrt{3} \) metre ise, rampanın eğim açısı kaç derecedir? 🏗️
Çözüm:
- Bu problemde de bir dik üçgen modeli kullanacağız.
- Rampanın yüksekliği dikey kenar (3 metre), yatayda kapladığı mesafe ise komşu kenar (3\( \sqrt{3} \) metre) olacaktır.
- Eğim açısı, bu dik üçgenin taban açısıdır.
- Tanjant fonksiyonu, eğim açısını bulmak için uygundur: \( \tan(\text{eğim açısı}) = \frac{\text{yükseklik}}{\text{yatay mesafe}} \).
- Değerleri yerine koyalım: \( \tan(\text{eğim açısı}) = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
- \( \tan(\text{eğim açısı}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) olduğundan, eğim açısı \( 30^\circ \) derecedir. 👉
Örnek 7:
\( \sin(15^\circ) \) değerini hesaplayınız. (İpucu: \( 15^\circ = 45^\circ - 30^\circ \) veya \( 15^\circ = 60^\circ - 45^\circ \) kullanabilirsiniz.) 💡
Çözüm:
- Sinüs fark formülünü kullanacağız: \( \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \).
- \( a = 45^\circ \) ve \( b = 30^\circ \) alalım.
- \( \sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) \).
- Bilinen değerleri yerine koyalım:
- \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)
- Hesaplamayı yapalım: \( \sin(15^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) \).
- \( \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \). ✅
Örnek 8:
\( \cos(75^\circ) \) değerini hesaplayınız. (İpucu: \( 75^\circ = 45^\circ + 30^\circ \) kullanabilirsiniz.) 🧐
Çözüm:
- Kosinüs toplam formülünü kullanacağız: \( \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \).
- \( a = 45^\circ \) ve \( b = 30^\circ \) alalım.
- \( \cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ) \).
- Bilinen değerleri yerine koyalım:
- \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)
- Hesaplamayı yapalım: \( \cos(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) \).
- \( \cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \).
- Bu sonuç, \( \sin(15^\circ) \) ile aynıdır, çünkü \( \cos(90^\circ - x) = \sin x \) ve \( 75^\circ = 90^\circ - 15^\circ \) ilişkisi geçerlidir. 🔑
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-sinus-ve-kosinus-fonksiyonlari/sorular