📄 11. Sınıf Matematik: Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

\(\sin x = \frac{5}{13}\) ve \(x\) dar açı (1. bölge) olduğundan \(\cos x > 0\) ve \(\tan x > 0\) olacaktır.
Temel trigonometrik özdeşlik olan \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) bağıntısını kullanalım:
\(\left( \frac{5}{13} \right)^2 + \cos^2 x = 1\)
\(\frac{25}{169} + \cos^2 x = 1\)
\(\cos^2 x = 1 - \frac{25}{169}\)
\(\cos^2 x = \frac{169 - 25}{169}\)
\(\cos^2 x = \frac{144}{169}\)
\(\cos x = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}\) (x dar açı olduğu için pozitif değer alınır).
Şimdi \(\tan x\) değerini bulalım:
\(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}\)
Son olarak \(\cos x + \tan x\) ifadesinin değerini hesaplayalım:
\(\cos x + \tan x = \frac{12}{13} + \frac{5}{12}\)
Paydaları eşitleyelim (13 ve 12'nin en küçük ortak katı 156):
\(\frac{12 \cdot 12}{13 \cdot 12} + \frac{5 \cdot 13}{12 \cdot 13} = \frac{144}{156} + \frac{65}{156}\)
\(\cos x + \tan x = \frac{144 + 65}{156} = \frac{209}{156}\)

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle her bir trigonometrik ifadenin değerini bulalım:
\(A = \sin 210^{\circ}\): \(210^{\circ}\) açısı 3. bölgededir ve sinüs bu bölgede negatiftir.
\(\sin 210^{\circ} = \sin(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2}\)
\(B = \cos 330^{\circ}\): \(330^{\circ}\) açısı 4. bölgededir ve kosinüs bu bölgede pozitiftir.
\(\cos 330^{\circ} = \cos(360^{\circ} - 30^{\circ}) = \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(C = \tan 135^{\circ}\): \(135^{\circ}\) açısı 2. bölgededir ve tanjant bu bölgede negatiftir.
\(\tan 135^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\tan 45^{\circ} = -1\)
Değerleri özetleyelim:
\(A = -\frac{1}{2} = -0.5\)
\(B = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} \approx 0.866\)
\(C = -1\)
Şimdi bu değerleri büyükten küçüğe doğru sıralayalım:
En büyük değer \(B\) (pozitif).
Sonra \(A\) (negatif ama \(C\)'den büyük).
En küçük değer \(C\) (en küçük negatif).
Sıralama: \(B > A > C\)

💡 Çözüm Adımları:

Birim çember üzerindeki bir \(P(x, y)\) noktası için \(x = \cos \alpha\) ve \(y = \sin \alpha\) olduğunu biliyoruz.
Verilen noktada \(x = \frac{1}{2}\) ve \(y = \frac{\sqrt{3}}{2}\) olduğundan:
\(\cos \alpha = \frac{1}{2}\)
\(\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Hem kosinüsü \(\frac{1}{2}\) hem de sinüsü \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) olan açı \(60^{\circ}\)'dir.
Bu değerler pozitif olduğu için açı 1. bölgededir.
Dolayısıyla, noktanın temsil ettiği açının esas ölçüsü \(60^{\circ}\)'dir.