🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Öklid Teoremi Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Öklid Teoremi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı dik açıdır. A köşesinden hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğu \( h \) olsun. Bu yükseklik, hipotenüsü uzunlukları \( p = 4 \) cm ve \( k = 9 \) cm olan iki parçaya ayırıyor. Buna göre, yüksekliğin uzunluğu \( h \) kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
- Öklid Teoremi'nin yükseklik bağıntısına göre, dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir. Yani, \( h^2 = p \cdot k \) formülünü kullanacağız. 💡
- Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \( p = 4 \) cm ve \( k = 9 \) cm.
- \[ h^2 = 4 \cdot 9 \]
- \[ h^2 = 36 \]
- Her iki tarafın karekökünü alarak \( h \) değerini bulalım: \( h = \sqrt{36} \)
- Sonuç olarak, yüksekliğin uzunluğu \( h = 6 \) cm'dir. ✅
Örnek 2:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı dik açıdır. A köşesinden hipotenüs BC'ye indirilen yükseklik H noktasında hipotenüsü kesiyor. BH uzunluğu \( p = 3 \) cm, HC uzunluğu \( k = 5 \) cm'dir. AB kenarının uzunluğu \( c \) kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
- Öklid Teoremi'nin dik kenar bağıntısına göre, bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parçası ile tüm hipotenüsün çarpımına eşittir. AB kenarı (c) için \( c^2 = p \cdot (p+k) \) formülünü kullanacağız. 📌
- Öncelikle tüm hipotenüsün uzunluğunu bulalım: \( BC = p + k = 3 + 5 = 8 \) cm.
- Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \( p = 3 \) cm ve \( BC = 8 \) cm.
- \[ c^2 = 3 \cdot 8 \]
- \[ c^2 = 24 \]
- Her iki tarafın karekökünü alarak \( c \) değerini bulalım: \( c = \sqrt{24} \)
- \( c = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \) cm'dir. ✅
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde, A köşesi dik açıdır. A'dan hipotenüse indirilen yükseklik H noktasında hipotenüsü kesiyor. AH uzunluğu \( h = 6 \) cm ve BH uzunluğu \( p = 4 \) cm'dir. Buna göre, AC kenarının uzunluğu \( b \) kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
- Bu problemde hem yükseklik bağıntısını hem de dik kenar bağıntısını kullanmamız gerekiyor. 👉
- Adım 1: Hipotenüsün diğer parçasını (HC = k) bulma.
- Öklid yükseklik bağıntısı: \( h^2 = p \cdot k \)
- Verilen değerleri yerine yazalım: \( 6^2 = 4 \cdot k \)
- \( 36 = 4k \)
- Her iki tarafı 4'e bölerek \( k \) değerini bulalım: \( k = 9 \) cm. Demek ki HC uzunluğu 9 cm'dir.
- Adım 2: Tüm hipotenüs uzunluğunu (BC) bulma.
- Hipotenüs \( BC = p + k = 4 + 9 = 13 \) cm'dir.
- Adım 3: AC kenarının (b) uzunluğunu bulma.
- Öklid dik kenar bağıntısı: \( b^2 = k \cdot (p+k) \)
- Verilen değerleri yerine yazalım: \( b^2 = 9 \cdot 13 \)
- \( b^2 = 117 \)
- Her iki tarafın karekökünü alarak \( b \) değerini bulalım: \( b = \sqrt{117} \)
- \( b = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13} \) cm'dir. ✅
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı \( 90^\circ \) dir. A köşesinden hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğu \( h = 5 \) cm'dir. Bu yükseklik, hipotenüsü \( BH = x \) cm ve \( HC = 5x \) cm olarak iki parçaya ayırıyor. Buna göre, ABC üçgeninin alanı kaç \( \text{cm}^2 \) dir? 🏞️
Çözüm:
- Üçgenin alanını hesaplamak için taban ve yüksekliğe ihtiyacımız var. Önce hipotenüsün parçalarını bulalım. 📐
- Adım 1: Hipotenüsün parçalarını bulma.
- Öklid yükseklik bağıntısı: \( h^2 = BH \cdot HC \)
- Verilen değerleri yerine yazalım: \( 5^2 = x \cdot (5x) \)
- \( 25 = 5x^2 \)
- Her iki tarafı 5'e bölelim: \( x^2 = 5 \)
- \( x = \sqrt{5} \) cm.
- Adım 2: Hipotenüsün parçalarının gerçek uzunluklarını bulma.
- \( BH = \sqrt{5} \) cm.
- \( HC = 5\sqrt{5} \) cm.
- Adım 3: Tüm hipotenüsün uzunluğunu bulma.
- Hipotenüs \( BC = BH + HC = \sqrt{5} + 5\sqrt{5} = 6\sqrt{5} \) cm.
- Adım 4: Üçgenin alanını hesaplama.
- Üçgenin alanı \( A = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik} \) formülüyle bulunur.
- Burada taban hipotenüs \( BC \) ve yükseklik \( h \) dir.
- \[ A = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h \]
- \[ A = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{5}) \cdot 5 \]
- \[ A = 3\sqrt{5} \cdot 5 \]
- \[ A = 15\sqrt{5} \] \( \text{cm}^2 \) dir. ✅
Örnek 5:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı dik açıdır. A köşesinden hipotenüs BC'ye AH yüksekliği çiziliyor. H noktası BC üzerindedir. AB kenarının uzunluğu \( c = 8 \) cm ve BH uzunluğu \( p = 4 \) cm'dir. Buna göre, AH yüksekliğinin uzunluğu \( h \) kaç cm'dir? 🎯
Çözüm:
- Bu problemde önce dik kenar bağıntısını kullanarak tüm hipotenüs uzunluğunu bulmalı, sonra yükseklik bağıntısını kullanarak yüksekliği hesaplamalıyız. 💡
- Adım 1: Tüm hipotenüs uzunluğunu bulma.
- AB kenarı (c) için Öklid dik kenar bağıntısı: \( c^2 = p \cdot (p+k) \)
- Verilen değerleri yerine yazalım: \( 8^2 = 4 \cdot (4+k) \)
- \( 64 = 4 \cdot (4+k) \)
- Her iki tarafı 4'e bölelim: \( 16 = 4+k \)
- \( k = 16 - 4 = 12 \) cm. Demek ki HC uzunluğu 12 cm'dir.
- Tüm hipotenüs \( BC = p + k = 4 + 12 = 16 \) cm'dir.
- Adım 2: AH yüksekliğinin (h) uzunluğunu bulma.
- Öklid yükseklik bağıntısı: \( h^2 = p \cdot k \)
- Verilen değerleri yerine yazalım: \( h^2 = 4 \cdot 12 \)
- \( h^2 = 48 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( h = \sqrt{48} \)
- \( h = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \) cm'dir. ✅
Örnek 6:
Bir mühendis, bir binanın çatısını tasarlarken dik üçgen şeklinde bir destek kirişi kullanmıştır. Bu destek kirişinin dik açılı köşesinden, karşı kenara (hipotenüse) bir dikme indirilmiştir. Bu dikme, hipotenüsü bir tarafta 9 birim, diğer tarafta ise 16 birim uzunluğunda iki parçaya ayırmıştır. Bu durumda, dikmenin (yüksekliğin) uzunluğu kaç birimdir? Ayrıca, dik üçgenin kısa dik kenarının uzunluğu kaç birimdir? 👷♂️
Çözüm:
- Bu bir Öklid Teoremi uygulamasıdır. Dikme, hipotenüse ait yüksekliktir.
- Adım 1: Yüksekliğin (h) uzunluğunu bulma.
- Hipotenüsün parçaları \( p = 9 \) ve \( k = 16 \) birimdir.
- Öklid yükseklik bağıntısı: \( h^2 = p \cdot k \)
- \[ h^2 = 9 \cdot 16 \]
- \[ h^2 = 144 \]
- \( h = \sqrt{144} = 12 \) birim.
- Adım 2: Kısa dik kenarın uzunluğunu bulma.
- Kısa dik kenar, hipotenüs üzerindeki küçük parçaya (9 birim) yakın olan kenardır. Bu kenara \( c \) diyelim.
- Tüm hipotenüs uzunluğu \( a = p + k = 9 + 16 = 25 \) birimdir.
- Öklid dik kenar bağıntısı: \( c^2 = p \cdot a \)
- \[ c^2 = 9 \cdot 25 \]
- \[ c^2 = 225 \]
- \( c = \sqrt{225} = 15 \) birimdir. (Diğer dik kenar \( b \) ise \( b^2 = k \cdot a = 16 \cdot 25 = 400 \Rightarrow b = 20 \). Görüldüğü gibi kısa olan 15 birimdir.) ✅
Örnek 7:
Bir inşaat mühendisi, dik açılı bir köprünün destek ayaklarını tasarlarken Öklid teoremini kullanmıştır. Köprünün ana taşıyıcı kirişi, zemine dik bir şekilde yerleştirilmiş bir direkle desteklenmektedir. Direğin zemine değdiği nokta ile köprünün bir ucu arasındaki mesafe 4 metre, diğer ucu arasındaki mesafe ise 9 metredir. Bu direk, köprünün dik açılı köşesinden indirilen bir yükseklik gibi davranmaktadır. Buna göre, bu destek direğinin (yüksekliğin) uzunluğu kaç metredir? 🌉
Çözüm:
- Bu senaryo, bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin uygulamasını temsil eder. Destek direği, hipotenüsü iki parçaya ayıran yüksekliktir. 🏗️
- Hipotenüsün ayırdığı parçaların uzunlukları \( p = 4 \) metre ve \( k = 9 \) metredir.
- Öklid yükseklik bağıntısı: \( h^2 = p \cdot k \)
- Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \( h^2 = 4 \cdot 9 \)
- \[ h^2 = 36 \]
- Her iki tarafın karekökünü alarak \( h \) değerini bulalım: \( h = \sqrt{36} \)
- Sonuç olarak, destek direğinin uzunluğu \( h = 6 \) metredir. ✅ Bu tasarım, mühendisin güvenli bir yapı oluşturmasına yardımcı olur.
Örnek 8:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı dik açıdır. A köşesinden hipotenüs BC'ye AH yüksekliği çiziliyor. H noktası BC üzerindedir. HC uzunluğu \( k = 18 \) cm'dir. AB kenarının uzunluğu \( c = 12 \) cm olduğuna göre, AH yüksekliğinin uzunluğu \( h \) kaç cm'dir? 🧠
Çözüm:
- Bu problemde önce dik kenar bağıntısını kullanarak hipotenüsün diğer parçasını bulmalı, sonra yükseklik bağıntısını kullanarak yüksekliği hesaplamalıyız. 🤯
- Adım 1: BH uzunluğunu (p) bulma.
- AB kenarı (c) için Öklid dik kenar bağıntısı: \( c^2 = p \cdot (p+k) \)
- Verilen değerleri yerine yazalım: \( 12^2 = p \cdot (p+18) \)
- \( 144 = p^2 + 18p \)
- Denklemi düzenleyelim: \( p^2 + 18p - 144 = 0 \)
- Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çarpanlarına ayırarak \( p \) değerini bulalım: \( (p+24)(p-6) = 0 \)
- Buradan \( p = -24 \) veya \( p = 6 \) bulunur. Uzunluk negatif olamayacağı için \( p = 6 \) cm'dir. Demek ki BH uzunluğu 6 cm'dir.
- Adım 2: AH yüksekliğinin (h) uzunluğunu bulma.
- Öklid yükseklik bağıntısı: \( h^2 = p \cdot k \)
- Verilen değerleri yerine yazalım: \( h^2 = 6 \cdot 18 \)
- \( h^2 = 108 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( h = \sqrt{108} \)
- \( h = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \) cm'dir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-oklid-teoremi/sorular