Yüzey alanı \( 144 \pi \) \( cm^2 \) olan bir kürenin hacmi kaç \( \pi \) \( cm^3 \) tür?
📌 Bu soruda önce alanı kullanarak yarıçapı bulmalı, sonra hacim formülüne geçmelisiniz.
Çözüm ve Açıklama
Çözüm için iki aşamalı bir yol izleyelim:
Adım 1: Yarıçapı Bulalım. Alan formülü: \( 4 \times \pi \times r^2 = 144 \pi \) Her iki tarafı \( 4 \pi \) değerine bölelim: \( r^2 = 36 \) \( r = 6 \) cm.
Adım 2: Hacmi Hesaplayalım. Hacim formülü: \( V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3 \) \( V = \frac{4}{3} \times \pi \times 6^3 \) \( V = \frac{4}{3} \times \pi \times 216 \) \( V = 4 \times \pi \times 72 \) \( V = 288 \pi \)
✅ Sonuç: Kürenin hacmi \( 288 \pi \) \( cm^3 \) olarak hesaplanır.
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Merkezi \( O \) noktası olan bir küre, merkezinden \( 3 \) cm uzaklıktaki bir düzlemle kesiliyor. Oluşan kesit dairesinin alanı \( 16 \pi \) \( cm^2 \) olduğuna göre, kürenin yarıçapı \( R \) kaç cm'dir?
🔍 Not: Küre bir düzlemle kesildiğinde oluşan ara kesit her zaman bir dairedir.
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu çözmek için bir dik üçgen bağıntısı kurmalıyız:
Adım 1: Kesit yarıçapını (r) bulalım. Kesit alanı \( \pi \times r^2 = 16 \pi \) ise \( r^2 = 16 \) ve buradan \( r = 4 \) cm bulunur.
Adım 2: Dik üçgeni kuralım. Küre merkezi ile kesit dairesinin merkezi arasındaki uzaklık \( 3 \) cm (dik kenar), kesit yarıçapı \( 4 \) cm (diğer dik kenar) ve kürenin yarıçapı \( R \) (hipotenüs) olur.
Adım 3: Pisagor teoremini uygulayalım. \( R^2 = 3^2 + 4^2 \) \( R^2 = 9 + 16 \) \( R^2 = 25 \) \( R = 5 \) cm.
✅ Sonuç: Kürenin yarıçapı \( 5 \) cm'dir.
5
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Yarıçapı \( 4 \) cm olan bir yarım kürenin toplam yüzey alanı kaç \( \pi \) \( cm^2 \) dir?
⚠️ Dikkat: Yarım kürenin yüzey alanı, eğri yüzey alanı ile tabandaki dairenin alanının toplamıdır.
Adım 3: Toplam alanı hesaplayalım. Toplam Alan = \( 32 \pi + 16 \pi = 48 \pi \)
✅ Sonuç: Yarım kürenin toplam yüzey alanı \( 48 \pi \) \( cm^2 \) dir.
6
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir basketbol topunun dış yüzeyini kaplamak için kullanılan malzemenin alanı \( 400 \pi \) \( cm^2 \) dir. Bu basketbol topunun hacmi kaç \( cm^3 \) tür? (\( \pi = 3 \) alınız.)
🏀 Günlük hayatta spor toplarının tasarımı küre geometrisine dayanır.
Çözüm ve Açıklama
Verilenleri kullanarak adım adım ilerleyelim:
Adım 1: Yarıçapı bulalım. Alan = \( 4 \times \pi \times r^2 = 400 \pi \) \( r^2 = 100 \Rightarrow r = 10 \) cm.
Adım 2: Hacim formülünü yazalım. \( V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3 \)
Adım 3: Değerleri yerine koyalım (\( \pi = 3 \) ve \( r = 10 \)). \( V = \frac{4}{3} \times 3 \times 10^3 \) \( V = 4 \times 1000 \) \( V = 4000 \)
✅ Sonuç: Basketbol topunun hacmi \( 4000 \) \( cm^3 \) tür.
7
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Yarıçapları oranı \( \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3} \) olan iki kürenin hacimleri oranı kaçtır?
📐 Kural: Benzerlik oranı \( k \) olan iki cismin hacimleri oranı \( k^3 \) tür.
Adım 3: Verilen oranı yerine koyalım. \[ \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} \]
✅ Sonuç: Hacimler oranı \( \frac{8}{27} \) olarak bulunur.
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Yarıçapı \( 6 \) cm olan demir bir küre eritilerek, yarıçapı \( 2 \) cm olan küçük küre şeklinde bilyeler yapılacaktır. Bu işlem sonucunda kaç adet bilye elde edilir?
♻️ Bu tür sorularda toplam hacmin değişmediği (korunduğu) varsayılır.
Çözüm ve Açıklama
Eritme ve yeniden şekillendirme sorularında hacimler oranlanır:
Adım 3: Adet sayısını bulmak için bölelim. Adet = \( \frac{288 \pi}{\frac{32 \pi}{3}} \) Adet = \( 288 \times \frac{3}{32} \) Adet = \( 9 \times 3 = 27 \)
💡 Kısa Yol: Yarıçaplar oranı \( \frac{6}{2} = 3 \) olduğu için, adet sayısı bu oranın küpüdür: \( 3^3 = 27 \).
✅ Sonuç: Toplam \( 27 \) adet bilye elde edilir.
11. Sınıf Matematik: Küre alan ve hacim Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Yarıçapı \( r = 5 \) cm olan bir kürenin yüzey alanı kaç \( \pi \) \( cm^2 \) dir?
👉 Kürenin yüzey alanı formülü: \[ A = 4 \times \pi \times r^2 \]
Çözüm:
Kürenin yüzey alanını bulmak için verilen yarıçap değerini formülde yerine koyalım:
Adım 1: Formülü yazalım. \( A = 4 \times \pi \times r^2 \)
Adım 2: \( r = 5 \) değerini yerleştirelim. \( A = 4 \times \pi \times 5^2 \)
Adım 3: İşlemi tamamlayalım. \( A = 4 \times \pi \times 25 \) \( A = 100 \pi \)
✅ Sonuç: Kürenin yüzey alanı \( 100 \pi \) \( cm^2 \) olarak bulunur.
Örnek 2:
Yarıçapı \( r = 3 \) cm olan bir kürenin hacmi kaç \( \pi \) \( cm^3 \) tür?
Yüzey alanı \( 144 \pi \) \( cm^2 \) olan bir kürenin hacmi kaç \( \pi \) \( cm^3 \) tür?
📌 Bu soruda önce alanı kullanarak yarıçapı bulmalı, sonra hacim formülüne geçmelisiniz.
Çözüm:
Çözüm için iki aşamalı bir yol izleyelim:
Adım 1: Yarıçapı Bulalım. Alan formülü: \( 4 \times \pi \times r^2 = 144 \pi \) Her iki tarafı \( 4 \pi \) değerine bölelim: \( r^2 = 36 \) \( r = 6 \) cm.
Adım 2: Hacmi Hesaplayalım. Hacim formülü: \( V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3 \) \( V = \frac{4}{3} \times \pi \times 6^3 \) \( V = \frac{4}{3} \times \pi \times 216 \) \( V = 4 \times \pi \times 72 \) \( V = 288 \pi \)
✅ Sonuç: Kürenin hacmi \( 288 \pi \) \( cm^3 \) olarak hesaplanır.
Örnek 4:
Merkezi \( O \) noktası olan bir küre, merkezinden \( 3 \) cm uzaklıktaki bir düzlemle kesiliyor. Oluşan kesit dairesinin alanı \( 16 \pi \) \( cm^2 \) olduğuna göre, kürenin yarıçapı \( R \) kaç cm'dir?
🔍 Not: Küre bir düzlemle kesildiğinde oluşan ara kesit her zaman bir dairedir.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için bir dik üçgen bağıntısı kurmalıyız:
Adım 1: Kesit yarıçapını (r) bulalım. Kesit alanı \( \pi \times r^2 = 16 \pi \) ise \( r^2 = 16 \) ve buradan \( r = 4 \) cm bulunur.
Adım 2: Dik üçgeni kuralım. Küre merkezi ile kesit dairesinin merkezi arasındaki uzaklık \( 3 \) cm (dik kenar), kesit yarıçapı \( 4 \) cm (diğer dik kenar) ve kürenin yarıçapı \( R \) (hipotenüs) olur.
Adım 3: Pisagor teoremini uygulayalım. \( R^2 = 3^2 + 4^2 \) \( R^2 = 9 + 16 \) \( R^2 = 25 \) \( R = 5 \) cm.
✅ Sonuç: Kürenin yarıçapı \( 5 \) cm'dir.
Örnek 5:
Yarıçapı \( 4 \) cm olan bir yarım kürenin toplam yüzey alanı kaç \( \pi \) \( cm^2 \) dir?
⚠️ Dikkat: Yarım kürenin yüzey alanı, eğri yüzey alanı ile tabandaki dairenin alanının toplamıdır.
Adım 3: Toplam alanı hesaplayalım. Toplam Alan = \( 32 \pi + 16 \pi = 48 \pi \)
✅ Sonuç: Yarım kürenin toplam yüzey alanı \( 48 \pi \) \( cm^2 \) dir.
Örnek 6:
Bir basketbol topunun dış yüzeyini kaplamak için kullanılan malzemenin alanı \( 400 \pi \) \( cm^2 \) dir. Bu basketbol topunun hacmi kaç \( cm^3 \) tür? (\( \pi = 3 \) alınız.)
🏀 Günlük hayatta spor toplarının tasarımı küre geometrisine dayanır.
Çözüm:
Verilenleri kullanarak adım adım ilerleyelim:
Adım 1: Yarıçapı bulalım. Alan = \( 4 \times \pi \times r^2 = 400 \pi \) \( r^2 = 100 \Rightarrow r = 10 \) cm.
Adım 2: Hacim formülünü yazalım. \( V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3 \)
Adım 3: Değerleri yerine koyalım (\( \pi = 3 \) ve \( r = 10 \)). \( V = \frac{4}{3} \times 3 \times 10^3 \) \( V = 4 \times 1000 \) \( V = 4000 \)
✅ Sonuç: Basketbol topunun hacmi \( 4000 \) \( cm^3 \) tür.
Örnek 7:
Yarıçapları oranı \( \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3} \) olan iki kürenin hacimleri oranı kaçtır?
📐 Kural: Benzerlik oranı \( k \) olan iki cismin hacimleri oranı \( k^3 \) tür.
Adım 3: Verilen oranı yerine koyalım. \[ \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} \]
✅ Sonuç: Hacimler oranı \( \frac{8}{27} \) olarak bulunur.
Örnek 8:
Yarıçapı \( 6 \) cm olan demir bir küre eritilerek, yarıçapı \( 2 \) cm olan küçük küre şeklinde bilyeler yapılacaktır. Bu işlem sonucunda kaç adet bilye elde edilir?
♻️ Bu tür sorularda toplam hacmin değişmediği (korunduğu) varsayılır.
Çözüm:
Eritme ve yeniden şekillendirme sorularında hacimler oranlanır:
Adım 3: Adet sayısını bulmak için bölelim. Adet = \( \frac{288 \pi}{\frac{32 \pi}{3}} \) Adet = \( 288 \times \frac{3}{32} \) Adet = \( 9 \times 3 = 27 \)
💡 Kısa Yol: Yarıçaplar oranı \( \frac{6}{2} = 3 \) olduğu için, adet sayısı bu oranın küpüdür: \( 3^3 = 27 \).
✅ Sonuç: Toplam \( 27 \) adet bilye elde edilir.