💡 11. Sınıf Matematik: Küre alan ve hacim Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Küre alan ve hacim Çözümlü Örnekler
Yarıçapı \( r = 5 \) cm olan bir kürenin yüzey alanı kaç \( \pi \) \( cm^2 \) dir?
👉 Kürenin yüzey alanı formülü: \[ A = 4 \times \pi \times r^2 \]Kürenin yüzey alanını bulmak için verilen yarıçap değerini formülde yerine koyalım:
- Adım 1: Formülü yazalım.
\( A = 4 \times \pi \times r^2 \) - Adım 2: \( r = 5 \) değerini yerleştirelim.
\( A = 4 \times \pi \times 5^2 \) - Adım 3: İşlemi tamamlayalım.
\( A = 4 \times \pi \times 25 \)
\( A = 100 \pi \)
Yarıçapı \( r = 3 \) cm olan bir kürenin hacmi kaç \( \pi \) \( cm^3 \) tür?
💡 Kürenin hacim formülü: \[ V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3 \]Kürenin hacmini hesaplamak için şu adımları izleriz:
- Adım 1: Formülde \( r \) yerine \( 3 \) yazalım.
\( V = \frac{4}{3} \times \pi \times 3^3 \) - Adım 2: Üslü ifadeyi hesaplayalım.
\( 3^3 = 27 \) - Adım 3: Sadeleştirme ve çarpma işlemlerini yapalım.
\( V = \frac{4}{3} \times \pi \times 27 \)
\( V = 4 \times \pi \times 9 \)
\( V = 36 \pi \)
Yüzey alanı \( 144 \pi \) \( cm^2 \) olan bir kürenin hacmi kaç \( \pi \) \( cm^3 \) tür?
📌 Bu soruda önce alanı kullanarak yarıçapı bulmalı, sonra hacim formülüne geçmelisiniz.Çözüm için iki aşamalı bir yol izleyelim:
- Adım 1: Yarıçapı Bulalım.
Alan formülü: \( 4 \times \pi \times r^2 = 144 \pi \)
Her iki tarafı \( 4 \pi \) değerine bölelim:
\( r^2 = 36 \)
\( r = 6 \) cm. - Adım 2: Hacmi Hesaplayalım.
Hacim formülü: \( V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3 \)
\( V = \frac{4}{3} \times \pi \times 6^3 \)
\( V = \frac{4}{3} \times \pi \times 216 \)
\( V = 4 \times \pi \times 72 \)
\( V = 288 \pi \)
Merkezi \( O \) noktası olan bir küre, merkezinden \( 3 \) cm uzaklıktaki bir düzlemle kesiliyor. Oluşan kesit dairesinin alanı \( 16 \pi \) \( cm^2 \) olduğuna göre, kürenin yarıçapı \( R \) kaç cm'dir?
🔍 Not: Küre bir düzlemle kesildiğinde oluşan ara kesit her zaman bir dairedir.Bu soruyu çözmek için bir dik üçgen bağıntısı kurmalıyız:
- Adım 1: Kesit yarıçapını (r) bulalım.
Kesit alanı \( \pi \times r^2 = 16 \pi \) ise \( r^2 = 16 \) ve buradan \( r = 4 \) cm bulunur. - Adım 2: Dik üçgeni kuralım.
Küre merkezi ile kesit dairesinin merkezi arasındaki uzaklık \( 3 \) cm (dik kenar), kesit yarıçapı \( 4 \) cm (diğer dik kenar) ve kürenin yarıçapı \( R \) (hipotenüs) olur. - Adım 3: Pisagor teoremini uygulayalım.
\( R^2 = 3^2 + 4^2 \)
\( R^2 = 9 + 16 \)
\( R^2 = 25 \)
\( R = 5 \) cm.
Yarıçapı \( 4 \) cm olan bir yarım kürenin toplam yüzey alanı kaç \( \pi \) \( cm^2 \) dir?
⚠️ Dikkat: Yarım kürenin yüzey alanı, eğri yüzey alanı ile tabandaki dairenin alanının toplamıdır.Yarım kürenin toplam alanını hesaplayalım:
- Adım 1: Eğri yüzey alanını bulalım.
Tam kürenin yarısıdır: \( \frac{4 \times \pi \times r^2}{2} = 2 \times \pi \times r^2 \)
\( 2 \times \pi \times 4^2 = 32 \pi \) - Adım 2: Taban dairesinin alanını bulalım.
\( \pi \times r^2 = \pi \times 4^2 = 16 \pi \) - Adım 3: Toplam alanı hesaplayalım.
Toplam Alan = \( 32 \pi + 16 \pi = 48 \pi \)
Bir basketbol topunun dış yüzeyini kaplamak için kullanılan malzemenin alanı \( 400 \pi \) \( cm^2 \) dir. Bu basketbol topunun hacmi kaç \( cm^3 \) tür? (\( \pi = 3 \) alınız.)
🏀 Günlük hayatta spor toplarının tasarımı küre geometrisine dayanır.Verilenleri kullanarak adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Yarıçapı bulalım.
Alan = \( 4 \times \pi \times r^2 = 400 \pi \)
\( r^2 = 100 \Rightarrow r = 10 \) cm. - Adım 2: Hacim formülünü yazalım.
\( V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3 \) - Adım 3: Değerleri yerine koyalım (\( \pi = 3 \) ve \( r = 10 \)).
\( V = \frac{4}{3} \times 3 \times 10^3 \)
\( V = 4 \times 1000 \)
\( V = 4000 \)
Yarıçapları oranı \( \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3} \) olan iki kürenin hacimleri oranı kaçtır?
📐 Kural: Benzerlik oranı \( k \) olan iki cismin hacimleri oranı \( k^3 \) tür.Hacimlerin oranını formül üzerinden görelim:
- Adım 1: Hacim formüllerini oranlayalım.
\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \times \pi \times r_1^3}{\frac{4}{3} \times \pi \times r_2^3} \] - Adım 2: Sabitleri sadeleştirelim.
\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3 \] - Adım 3: Verilen oranı yerine koyalım.
\[ \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} \]
Yarıçapı \( 6 \) cm olan demir bir küre eritilerek, yarıçapı \( 2 \) cm olan küçük küre şeklinde bilyeler yapılacaktır. Bu işlem sonucunda kaç adet bilye elde edilir?
♻️ Bu tür sorularda toplam hacmin değişmediği (korunduğu) varsayılır.Eritme ve yeniden şekillendirme sorularında hacimler oranlanır:
- Adım 1: Büyük kürenin hacmini hesaplayalım.
\( V_{buyuk} = \frac{4}{3} \times \pi \times 6^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 216 = 288 \pi \) - Adım 2: Küçük bilyenin hacmini hesaplayalım.
\( V_{kucuk} = \frac{4}{3} \times \pi \times 2^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 8 = \frac{32 \pi}{3} \) - Adım 3: Adet sayısını bulmak için bölelim.
Adet = \( \frac{288 \pi}{\frac{32 \pi}{3}} \)
Adet = \( 288 \times \frac{3}{32} \)
Adet = \( 9 \times 3 = 27 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-kure-alan-ve-hacim/sorular