🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: İki nicel değişkenli veriler Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: İki nicel değişkenli veriler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Soru:
Bir araştırmacı, lise öğrencilerinin haftalık kitap okuma süreleri (\(x\) saat) ile Türkçe dersi netleri (\(y\)) arasındaki ilişkiyi incelemektedir. Elde edilen verilerle çizilen serpilme grafiğinde noktaların sol alt köşeden sağ üst köşeye doğru yükselen bir eğilim gösterdiği tespit edilmiştir.
Buna göre, bu iki nicel değişken arasındaki ilişkinin (korelasyonun) yönünü ve anlamını belirleyiniz.
Bir araştırmacı, lise öğrencilerinin haftalık kitap okuma süreleri (\(x\) saat) ile Türkçe dersi netleri (\(y\)) arasındaki ilişkiyi incelemektedir. Elde edilen verilerle çizilen serpilme grafiğinde noktaların sol alt köşeden sağ üst köşeye doğru yükselen bir eğilim gösterdiği tespit edilmiştir.
Buna göre, bu iki nicel değişken arasındaki ilişkinin (korelasyonun) yönünü ve anlamını belirleyiniz.
Çözüm:
🎯 Çözüm:
Serpilme grafiğindeki noktaların eğilimi, iki değişken arasındaki ilişkinin yönü hakkında bize doğrudan bilgi verir:
Serpilme grafiğindeki noktaların eğilimi, iki değişken arasındaki ilişkinin yönü hakkında bize doğrudan bilgi verir:
- Grafiğin Eğilimi: Noktaların sol alt köşeden sağ üst köşeye doğru yükselmesi, \(x\) değişkeni (kitap okuma süresi) artarken \(y\) değişkeninin (Türkçe netleri) de genel olarak arttığını gösterir.
- Korelasyonun Yönü: İki değişken aynı yönlü hareket ettiği için bu ilişki pozitif yönlü korelasyon olarak adlandırılır.
- Yorum: Kitap okuma süresi arttıkça, öğrencilerin Türkçe dersi netlerinin de artma eğiliminde olduğu söylenebilir.
Örnek 2:
💡 Soru:
İki nicel değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü ve yönünü gösteren korelasyon katsayısı \(r\) ile ifade edilir.
Aşağıda dört farklı veri grubuna ait korelasyon katsayıları verilmiştir:
İki nicel değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü ve yönünü gösteren korelasyon katsayısı \(r\) ile ifade edilir.
Aşağıda dört farklı veri grubuna ait korelasyon katsayıları verilmiştir:
- I. \(r = 0,85\)
- II. \(r = -0,90\)
- III. \(r = 0,15\)
- IV. \(r = -0,20\)
Çözüm:
🎯 Çözüm:
Korelasyon katsayısı \(r\) değerinin yorumlanmasında şu kurallar geçerlidir:
👉 Yönler: I ve III pozitif yönlü; II ve IV negatif yönlüdür.
Korelasyon katsayısı \(r\) değerinin yorumlanmasında şu kurallar geçerlidir:
- Korelasyon katsayısı \(-1\) ile \(1\) arasında değerler alır (\(-1 \le r \le 1\)).
- İlişkinin gücü, \(r\) sayısının mutlak değerinin büyüklüğü ile ölçülür. \(|r|\) değeri \(1\)'e yaklaştıkça ilişki güçlenir, \(0\)'a yaklaştıkça zayıflar.
- İlişkinin yönü ise \(r\)'nin işareti ile belirlenir. Pozitif işaret pozitif yönlü, negatif işaret negatif yönlü ilişkiyi gösterir.
- II için: \(|-0,90| = 0,90\) (Çok güçlü negatif ilişki)
- I için: \(|0,85| = 0,85\) (Güçlü pozitif ilişki)
- IV için: \(|-0,20| = 0,20\) (Zayıf negatif ilişki)
- III için: \(|0,15| = 0,15\) (Çok zayıf pozitif ilişki)
👉 Yönler: I ve III pozitif yönlü; II ve IV negatif yönlüdür.
Örnek 3:
💡 Soru:
Bir otomobilin sabit bir mesafeyi kat ederken sahip olduğu ortalama hızı (\(x\) km/sa) ile varış noktasına ulaşma süresi (\(y\) saat) arasındaki ilişki incelenmektedir.
Bu iki nicel değişken arasındaki ilişkiyi serpilme grafiği ve korelasyon kavramlarını kullanarak yorumlayınız.
Bir otomobilin sabit bir mesafeyi kat ederken sahip olduğu ortalama hızı (\(x\) km/sa) ile varış noktasına ulaşma süresi (\(y\) saat) arasındaki ilişki incelenmektedir.
Bu iki nicel değişken arasındaki ilişkiyi serpilme grafiği ve korelasyon kavramlarını kullanarak yorumlayınız.
Çözüm:
🎯 Çözüm:
Günlük hayat mantığı ve matematiksel ilişkileri kullanarak değişkenleri analiz edelim:
Günlük hayat mantığı ve matematiksel ilişkileri kullanarak değişkenleri analiz edelim:
- Değişkenlerin Analizi: Bir otomobilin hızı (\(x\)) arttıkça, hedef noktaya varış süresi (\(y\)) azalacaktır. Benzer şekilde, hız azaldıkça varış süresi artacaktır.
- Korelasyonun Yönü: Değişkenlerden biri artarken diğeri azaldığı için bu iki değişken arasında negatif yönlü korelasyon vardır.
- Serpilme Grafiği: Bu verilere ait serpilme grafiği çizildiğinde, noktaların sol üst köşeden sağ alt köşeye doğru inen bir eğilim (aşağı doğru eğimli bir bulut) göstermesi beklenir.
- Korelasyon Katsayısı: Bu iki değişken arasındaki korelasyon katsayısı \(r\)'nin negatif bir değer (\(-1 \le r < 0\)) olması beklenir.
Örnek 4:
💡 Soru:
Bir sınıftaki 5 öğrencinin haftalık matematik dersi çalışma süreleri (\(x\) saat) ve dönem sonu matematik sınav notları (\(y\)) aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:
Bu verilere göre, haftalık çalışma süresi ile sınav notu arasındaki ilişkiyi analiz ediniz.
Bir sınıftaki 5 öğrencinin haftalık matematik dersi çalışma süreleri (\(x\) saat) ve dönem sonu matematik sınav notları (\(y\)) aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:
| Çalışma Süresi (\(x\)) | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| Sınav Notu (\(y\)) | 50 | 65 | 75 | 85 | 95 |
Bu verilere göre, haftalık çalışma süresi ile sınav notu arasındaki ilişkiyi analiz ediniz.
Çözüm:
🎯 Çözüm:
Tablodaki verileri adım adım inceleyelim:
Tablodaki verileri adım adım inceleyelim:
- Verilerin Eğilimi: Çalışma süresi \(x\) değerleri \(4, 6, 8, 10, 12\) şeklinde düzenli olarak artarken, sınav notu \(y\) değerleri de \(50, 65, 75, 85, 95\) şeklinde sürekli artış göstermektedir.
- İlişkinin Yönü: Her iki değişken de aynı anda arttığı için aralarında pozitif yönlü bir ilişki vardır.
- İlişkinin Gücü: Değişkenlerdeki artış son derece düzenli ve birbirine paraleldir. Bu durum, serpilme grafiğindeki noktaların neredeyse düz bir çizgi üzerinde yer alacağını gösterir. Dolayısıyla aralarındaki doğrusal ilişki çok güçlüdür.
- Korelasyon Katsayısı Tahmini: Bu iki değişken arasındaki korelasyon katsayısı \(r\)'nin \(1\)'e çok yakın (örneğin \(r \approx 0,99\)) olması beklenir.
Örnek 5:
💡 Soru:
Bir atletizm antrenörü, sporcularının haftalık yaptıkları koşu antrenmanı süresi (\(x\) saat) ile 100 metre koşu dereceleri (\(y\) saniye) arasındaki ilişkiyi incelemiştir. Antrenör, elde ettiği verileri analiz ederek bu iki değişken arasındaki en iyi uyum doğrusunu (eğilim çizgisini) aşağıdaki denklemle modellemiştir:
\[ y = -0,2x + 13 \] Bu modele göre:
a) Haftalık 10 saat antrenman yapan bir sporcunun 100 metre koşu derecesi kaç saniye olarak tahmin edilir?
b) Antrenman süresi ile koşu derecesi arasındaki ilişkinin yönünü belirleyerek günlük hayat mantığıyla açıklayınız.
Bir atletizm antrenörü, sporcularının haftalık yaptıkları koşu antrenmanı süresi (\(x\) saat) ile 100 metre koşu dereceleri (\(y\) saniye) arasındaki ilişkiyi incelemiştir. Antrenör, elde ettiği verileri analiz ederek bu iki değişken arasındaki en iyi uyum doğrusunu (eğilim çizgisini) aşağıdaki denklemle modellemiştir:
\[ y = -0,2x + 13 \] Bu modele göre:
a) Haftalık 10 saat antrenman yapan bir sporcunun 100 metre koşu derecesi kaç saniye olarak tahmin edilir?
b) Antrenman süresi ile koşu derecesi arasındaki ilişkinin yönünü belirleyerek günlük hayat mantığıyla açıklayınız.
Çözüm:
🎯 Çözüm:
Verilen en iyi uyum doğrusu denklemini kullanarak soruları sırasıyla cevaplayalım:
\[ y = -0,2 \times 10 + 13 \] \[ y = -2 + 13 \] \[ y = 11 \] saniye olarak tahmin edilir.
Verilen en iyi uyum doğrusu denklemini kullanarak soruları sırasıyla cevaplayalım:
a) Haftalık 10 saat antrenman yapan sporcunun derecesi:
Denklemde antrenman süresi olan \(x\) yerine \(10\) yazarak tahmini koşu derecesini (\(y\)) bulalım:\[ y = -0,2 \times 10 + 13 \] \[ y = -2 + 13 \] \[ y = 11 \] saniye olarak tahmin edilir.
b) İlişkinin yönü ve günlük hayat açıklaması:
- Yönü: Doğru denklemindeki \(x\)'in katsayısı (eğim) \(-0,2\)'dir. Eğimin negatif olması, değişkenler arasında negatif yönlü bir ilişki olduğunu gösterir.
- Açıklama: Sporcuların haftalık antrenman süreleri (\(x\)) arttıkça, 100 metreyi koşma süreleri (\(y\)) azalmaktadır. Koşu süresinin azalması sporcunun daha hızlı koştuğu anlamına geldiğinden, antrenman yapmanın performansı olumlu etkilediği görülür.
Örnek 6:
💡 Soru:
Bir sahil kentinde yaz aylarında dondurma satış miktarı (\(x\)) ile orman yangını sayısı (\(y\)) arasında yapılan bir araştırmada, korelasyon katsayısı \(r = 0,88\) olarak hesaplanmıştır.
Buna göre:
I. Dondurma satışlarının artması, doğrudan orman yangınlarının çıkmasına neden olmaktadır.
II. Orman yangınlarının artması, insanları dondurma yemeye teşvik etmektedir.
III. Her iki değişkeni de aynı anda etkileyen üçüncü bir gizli değişken (hava sıcaklığı) vardır.
ifadelerinden hangisi veya hangileri doğrudur? İki nicel değişkenli verilerde neden-sonuç ilişkisi kavramını dikkate alarak açıklayınız.
Bir sahil kentinde yaz aylarında dondurma satış miktarı (\(x\)) ile orman yangını sayısı (\(y\)) arasında yapılan bir araştırmada, korelasyon katsayısı \(r = 0,88\) olarak hesaplanmıştır.
Buna göre:
I. Dondurma satışlarının artması, doğrudan orman yangınlarının çıkmasına neden olmaktadır.
II. Orman yangınlarının artması, insanları dondurma yemeye teşvik etmektedir.
III. Her iki değişkeni de aynı anda etkileyen üçüncü bir gizli değişken (hava sıcaklığı) vardır.
ifadelerinden hangisi veya hangileri doğrudur? İki nicel değişkenli verilerde neden-sonuç ilişkisi kavramını dikkate alarak açıklayınız.
Çözüm:
🎯 Çözüm:
İki nicel değişken arasındaki ilişkileri incelerken istatistiğin en temel kurallarından birini göz önünde bulundurmalıyız:
📌 "Korelasyon (ilişki) olması, mutlaka bir neden-sonuç ilişkisi olduğu anlamına gelmez."
Bu kural doğrultusunda öncülleri inceleyelim:
İki nicel değişken arasındaki ilişkileri incelerken istatistiğin en temel kurallarından birini göz önünde bulundurmalıyız:
📌 "Korelasyon (ilişki) olması, mutlaka bir neden-sonuç ilişkisi olduğu anlamına gelmez."
Bu kural doğrultusunda öncülleri inceleyelim:
- I ve II. Öncüller: Dondurma yemek yangın çıkarmaz veya yangın çıkması insanlara dondurma aldırmaz. Bu iki değişken arasında doğrudan bir neden-sonuç ilişkisi kurmak mantıksızdır. Dolayısıyla I ve II yanlıştır.
- III. Öncül: Yaz aylarında hava sıcaklığının artması, hem dondurma tüketimini artırır hem de kuru otların kolayca tutuşarak orman yangını çıkma riskini yükseltir. Burada "hava sıcaklığı" her iki değişkeni de pozitif yönde etkileyen ortak bir üçüncü (gizli) değişkendir. Bu durum istatistikte "sahte korelasyon" olarak adlandırılır.
Örnek 7:
💡 Soru:
Bir apartmanda kış aylarında günlük ortalama dış ortam sıcaklığı (\(x\) derece) ile apartmanın günlük toplam doğalgaz tüketimi (\(y\) metreküp) arasındaki ilişki incelenmektedir.
Buna göre, bu iki değişken arasındaki korelasyon katsayısı \(r\)'nin hangi aralıkta olması beklenir? Günlük hayat tecrübelerinize dayanarak gerekçesiyle açıklayınız.
Bir apartmanda kış aylarında günlük ortalama dış ortam sıcaklığı (\(x\) derece) ile apartmanın günlük toplam doğalgaz tüketimi (\(y\) metreküp) arasındaki ilişki incelenmektedir.
Buna göre, bu iki değişken arasındaki korelasyon katsayısı \(r\)'nin hangi aralıkta olması beklenir? Günlük hayat tecrübelerinize dayanarak gerekçesiyle açıklayınız.
Çözüm:
🎯 Çözüm:
Değişkenlerin birbirini nasıl etkilediğini günlük hayat mantığıyla analiz edelim:
Değişkenlerin birbirini nasıl etkilediğini günlük hayat mantığıyla analiz edelim:
- Sıcaklık ve Tüketim İlişkisi: Kışın dış ortam sıcaklığı (\(x\)) düştükçe (hava soğudukça), apartman sakinleri ısınmak için kombilerini daha yüksek derecede çalıştırır. Bu durum doğalgaz tüketimini (\(y\)) artırır.
- Tersi Durum: Hava sıcaklığı (\(x\)) yükseldikçe (hava ısındıkça), ısınma ihtiyacı azalacağı için doğalgaz tüketimi (\(y\)) azalır.
- Korelasyonun Yönü: Değişkenlerden biri artarken diğeri azaldığı için aralarında negatif yönlü bir ilişki vardır. Bu yüzden korelasyon katsayısı \(r\) negatif olmalıdır (\(r < 0\)).
- İlişkinin Gücü: Hava sıcaklığı doğalgaz tüketimini doğrudan ve çok güçlü bir şekilde etkilediği için bu ilişki oldukça güçlüdür.
Örnek 8:
💡 Soru:
Bir e-ticaret sitesi, sosyal medyaya verdiği aylık reklam bütçesi (\(x\) bin TL) ile aylık elde ettiği sipariş sayısı (\(y\) adet) arasındaki ilişkiyi incelemiş ve en iyi uyum doğrusunu aşağıdaki gibi belirlemiştir:
\[ y = 5x + 120 \] Bu e-ticaret sitesiyle ilgili aşağıdaki soruları cevaplandırınız:
a) Hiç reklam verilmediği bir ayda (\(x = 0\)) beklenen sipariş sayısı kaçtır?
b) Sitenin bir ayda 420 adet sipariş alabilmesi için sosyal medyaya kaç bin TL reklam bütçesi ayırması gerektiği tahmin edilir?
Bir e-ticaret sitesi, sosyal medyaya verdiği aylık reklam bütçesi (\(x\) bin TL) ile aylık elde ettiği sipariş sayısı (\(y\) adet) arasındaki ilişkiyi incelemiş ve en iyi uyum doğrusunu aşağıdaki gibi belirlemiştir:
\[ y = 5x + 120 \] Bu e-ticaret sitesiyle ilgili aşağıdaki soruları cevaplandırınız:
a) Hiç reklam verilmediği bir ayda (\(x = 0\)) beklenen sipariş sayısı kaçtır?
b) Sitenin bir ayda 420 adet sipariş alabilmesi için sosyal medyaya kaç bin TL reklam bütçesi ayırması gerektiği tahmin edilir?
Çözüm:
🎯 Çözüm:
Belirlenen en iyi uyum doğrusu denklemini kullanarak tahminlerimizi yapalım:
\[ y = 5 \times 0 + 120 \] \[ y = 120 \] adet sipariş alınması beklenir. (Bu değer sitenin reklam yapmadan, organik olarak aldığı taban sipariş miktarıdır.)
\[ 420 = 5x + 120 \] Eşitliğin her iki tarafından \(120\) çıkaralım:
\[ 300 = 5x \] Her iki tarafı \(5\)'e bölelim:
\[ x = 60 \] bin TL.
✅ Sitenin 420 siparişe ulaşabilmesi için 60 bin TL reklam bütçesi ayırması gerektiği tahmin edilir.
Belirlenen en iyi uyum doğrusu denklemini kullanarak tahminlerimizi yapalım:
a) Reklam bütçesi sıfır olduğunda (\(x = 0\)) sipariş sayısı:
Denklemde \(x\) yerine \(0\) yazalım:\[ y = 5 \times 0 + 120 \] \[ y = 120 \] adet sipariş alınması beklenir. (Bu değer sitenin reklam yapmadan, organik olarak aldığı taban sipariş miktarıdır.)
b) 420 adet sipariş için gereken reklam bütçesi:
Sipariş sayısı olan \(y\) yerine \(420\) yazarak \(x\) değerini çekelim:\[ 420 = 5x + 120 \] Eşitliğin her iki tarafından \(120\) çıkaralım:
\[ 300 = 5x \] Her iki tarafı \(5\)'e bölelim:
\[ x = 60 \] bin TL.
✅ Sitenin 420 siparişe ulaşabilmesi için 60 bin TL reklam bütçesi ayırması gerektiği tahmin edilir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-iki-nicel-degiskenli-veriler/sorular