11. Sınıf Fonksiyonlarin Tersi Çözümlü Sorular ve Örnekler

Çözümlü Örnek

Kolay Seviye

Bir \(f\) fonksiyonu \(f(x) = 2x + 3\) olarak tanımlanmıştır. Bu fonksiyonun tersi olan \(f^{-1}(x)\) fonksiyonunu bulunuz. 💡

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

\(g(x) = \frac{x+1}{x-2}\) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz. Bu fonksiyonun tanım ve değer kümelerini de belirtiniz. 🤔

Çözümlü Örnek

Zor Seviye

\(h(x) = \sqrt{x-5}\) fonksiyonunun tersini bulunuz. Bu fonksiyonun tanım ve değer kümelerini göz önünde bulundurarak çözüm yapınız. 🧐

Çözümlü Örnek

Yeni Nesil Soru

Ayşe, bir ürünün fiyatını önce %20 artırıp sonra %20 indirim uygulayan bir kampanya tasarlıyor. Eğer ürünün başlangıç fiyatı \(x\) TL ise, son fiyatını veren fonksiyonu \(f(x)\) olarak tanımlayalım. Bu fonksiyonun tersini \(f^{-1}(x)\) bularak, Ayşe'nin uyguladığı işlemin tersini hangi fiyat üzerinden yapması gerektiğini hesaplayınız. 📈

Çözümlü Örnek

Günlük Hayattan Örnek

Bir kargo şirketi, gönderilecek paketin hacmine göre bir ücretlendirme yapıyor. Ücretlendirme fonksiyonu \(U(h) = 5h + 10\) TL olarak belirlenmiş, burada \(h\) paketin hacmini (desimetreküp cinsinden) temsil ediyor. Eğer bir müşteri 40 TL ödediyse, bu paketin hacmi kaç desimetreküp idi? 📦

Çözümlü Örnek

Kolay Seviye

\(f(x) = 3x - 7\) fonksiyonunun tersini bulunuz. ➕

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

Bir teknoloji mağazası, bir ürünün fiyatını önce 100 TL artırıp sonra bu yeni fiyat üzerinden %10 indirim yapıyor. Bu işlemi temsil eden fonksiyon \(f(x)\) olsun, burada \(x\) ürünün başlangıç fiyatıdır. Bu fonksiyonun tersini \(f^{-1}(x)\) bularak, mağazanın uyguladığı işlemin tam tersini hangi işlemle yapabileceğimizi gösteriniz. 💰

Çözümlü Örnek

Zor Seviye

\(k(x) = \frac{2x+1}{x-3}\) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz. Bu fonksiyonun tanım ve değer kümelerini de belirtiniz. 🧮

Çözümlü Örnek

Günlük Hayattan Örnek

Bir taksi şoförü, taksimetresini açılış ücreti olan 5 TL'ye ek olarak kilometre başına 3 TL olarak ayarlamıştır. Bir yolculuğun toplam ücretini veren fonksiyon \(F(k) = 3k + 5\) TL'dir, burada \(k\) gidilen mesafeyi kilometre cinsinden temsil eder. Eğer bir yolcu 29 TL ödediyse, kaç kilometre yol gitmiştir? 🚕

Çözümlü Örnek

Yeni Nesil Soru

Bir yazılım şirketi, bir uygulamanın geliştirme maliyetini hesaplamak için bir formül kullanıyor. Maliyet \(M(s) = 4s + 1000\) TL'dir, burada \(s\) geliştirme sürecinde harcanan saat sayısını temsil eder. Şirket, bu geliştirme için 5000 TL harcadığını hesaplıyor. Bu maliyetin kaç saatlik bir geliştirme sürecine karşılık geldiğini bulunuz. 💻

11. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarin Tersi Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

Bir \(f\) fonksiyonu \(f(x) = 2x + 3\) olarak tanımlanmıştır. Bu fonksiyonun tersi olan \(f^{-1}(x)\) fonksiyonunu bulunuz. 💡

Çözüm:

Fonksiyonun tersini bulmak için şu adımları izleyebiliriz:

Adım 1: Fonksiyonda \(f(x)\) yerine \(y\) yazın.

\(y = 2x + 3\)

Adım 2: Eşitlikte \(x\)'i yalnız bırakın.

\(y - 3 = 2x\)

\(x = \frac{y - 3}{2}\)

Adım 3: \(x\) yerine \(f^{-1}(y)\) ve \(y\) yerine \(x\) yazın.

\(f^{-1}(y) = \frac{y - 3}{2}\)

\(f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}\)

Sonuç olarak, \(f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}\) bulunur. ✅

Örnek 2:

\(g(x) = \frac{x+1}{x-2}\) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz. Bu fonksiyonun tanım ve değer kümelerini de belirtiniz. 🤔

Çözüm:

Ters fonksiyonu bulma adımları:

Adım 1: \(g(x)\) yerine \(y\) yazın.

\(y = \frac{x+1}{x-2}\)

Adım 2: \(x\)'i yalnız bırakın.

\(y(x-2) = x+1\)

\(xy - 2y = x+1\)

\(xy - x = 2y + 1\)

\(x(y-1) = 2y + 1\)

\(x = \frac{2y+1}{y-1}\)

Adım 3: \(x\) yerine \(g^{-1}(y)\) ve \(y\) yerine \(x\) yazın.

\(g^{-1}(y) = \frac{2y+1}{y-1}\)

\(g^{-1}(x) = \frac{2x+1}{x-1}\)

Tanım ve Değer Kümeleri:

Orijinal fonksiyon \(g(x)\)'in tanım kümesi \(x \neq 2\)'dir. Değer kümesi ise \(y \neq 1\)'dir (çünkü \(y = \frac{x+1}{x-2}\) ifadesinde payda sıfır olamaz ve \(y\) hiçbir zaman 1 olamaz).

Ters fonksiyon \(g^{-1}(x)\)'in tanım kümesi, orijinal fonksiyonun değer kümesidir: \(x \neq 1\).

Ters fonksiyon \(g^{-1}(x)\)'in değer kümesi, orijinal fonksiyonun tanım kümesidir: \(y \neq 2\).

Sonuç olarak, \(g^{-1}(x) = \frac{2x+1}{x-1}\) ve tanım kümesi \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\), değer kümesi \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\)'dir. ✨

Örnek 3:

\(h(x) = \sqrt{x-5}\) fonksiyonunun tersini bulunuz. Bu fonksiyonun tanım ve değer kümelerini göz önünde bulundurarak çözüm yapınız. 🧐

Çözüm:

Ters fonksiyonu bulma süreci:

Adım 1: \(h(x)\) yerine \(y\) yazın.

\(y = \sqrt{x-5}\)

Adım 2: Orijinal fonksiyonun tanım ve değer kümesini belirleyin.

Tanım kümesi için \(x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5\)'tir. Yani, \(T_h = [5, \infty)\).

Değer kümesi için \(\sqrt{x-5} \ge 0\)'dır. Yani, \(D_h = [0, \infty)\).

Adım 3: Eşitlikte \(x\)'i yalnız bırakın.

Her iki tarafın karesini alın: \(y^2 = x-5\)

\(x = y^2 + 5\)

Adım 4: \(x\) yerine \(h^{-1}(y)\) ve \(y\) yerine \(x\) yazın.

\(h^{-1}(y) = y^2 + 5\)

\(h^{-1}(x) = x^2 + 5\)

Adım 5: Ters fonksiyonun tanım ve değer kümesini ayarlayın.

Ters fonksiyonun tanım kümesi, orijinal fonksiyonun değer kümesidir: \(T_{h^{-1}} = [0, \infty)\).

Ters fonksiyonun değer kümesi, orijinal fonksiyonun tanım kümesidir: \(D_{h^{-1}} = [5, \infty)\).

Bu nedenle, \(h^{-1}(x) = x^2 + 5\) olup, tanım kümesi \([0, \infty)\) ve değer kümesi \([5, \infty)\)'dir. 🚀

Örnek 4:

Çözüm:

Ayşe'nin uyguladığı işlemin tersini bulalım:

Adım 1: Fiyatı %20 artırma fonksiyonunu yazın.

Artış sonrası fiyat: \(x + 0.20x = 1.20x\)

Adım 2: Artış sonrası fiyatı %20 indirme fonksiyonunu yazın.

İndirim sonrası fiyat: \((1.20x) - 0.20(1.20x) = 1.20x - 0.24x = 0.96x\)

Bu durumda, fiyatı veren fonksiyon \(f(x) = 0.96x\)'dir.

Adım 3: Fonksiyonun tersini bulun.

\(y = 0.96x\)

\(x = \frac{y}{0.96}\)

\(f^{-1}(x) = \frac{x}{0.96}\)

\(f^{-1}(x) = \frac{100x}{96} = \frac{25x}{24}\)

Adım 4: Ters işlemi yorumlayın.

Ayşe'nin uyguladığı işlemin tersini yapmak için, son fiyata \(\frac{25}{24}\) ile çarpmak gerekir. Bu da yaklaşık olarak %4.17'lik bir artışa denk gelir. Yani, eğer son fiyat \(y\) ise, başlangıç fiyatını bulmak için \(y \times \frac{25}{24}\) işlemini yapmalıdır.

Sonuç olarak, \(f^{-1}(x) = \frac{25x}{24}\)'tür. Bu, son fiyatı başlangıç fiyatına döndürmek için \(\frac{25}{24}\) ile çarpılması gerektiğini gösterir. 🔄

Örnek 5:

Çözüm:

Müşterinin ödediği ücretten paketin hacmini bulalım:

Adım 1: Verilen ücretlendirme fonksiyonunu yazın.

\(U(h) = 5h + 10\)

Adım 2: Müşterinin ödediği ücreti fonksiyona eşitleyin.

\(40 = 5h + 10\)

Adım 3: \(h\)'yi yalnız bırakarak paketin hacmini hesaplayın.

\(40 - 10 = 5h\)

\(30 = 5h\)

\(h = \frac{30}{5}\)

\(h = 6\)

Sonuç olarak, 40 TL ödeyen müşterinin paketinin hacmi 6 desimetreküp idi. 📏

Örnek 6:

\(f(x) = 3x - 7\) fonksiyonunun tersini bulunuz. ➕

Çözüm:

Fonksiyonun tersini bulmak için adımları takip edelim:

Adım 1: \(f(x)\) yerine \(y\) yazın.

\(y = 3x - 7\)

Adım 2: \(x\)'i yalnız bırakın.

\(y + 7 = 3x\)

\(x = \frac{y + 7}{3}\)

Adım 3: Değişkenleri değiştirin.

\(f^{-1}(x) = \frac{x + 7}{3}\)

Ters fonksiyon \(f^{-1}(x) = \frac{x + 7}{3}\)'tür. 👍

Örnek 7:

Çözüm:

Mağazanın uyguladığı işlemin tersini bulalım:

Adım 1: Fiyatı 100 TL artırma işlemini yazın.

Artış sonrası fiyat: \(x + 100\)

Adım 2: Artış sonrası fiyat üzerinden %10 indirim işlemini yazın.

İndirim sonrası fiyat: \((x + 100) - 0.10(x + 100)\)

\(= (x + 100)(1 - 0.10)\)

\(= 0.90(x + 100)\)

\(= 0.90x + 90\)

Bu durumda, fonksiyon \(f(x) = 0.90x + 90\)'dır.

Adım 3: Fonksiyonun tersini bulun.

\(y = 0.90x + 90\)

\(y - 90 = 0.90x\)

\(x = \frac{y - 90}{0.90}\)

\(x = \frac{10(y - 90)}{9}\)

\(x = \frac{10y - 900}{9}\)

\(f^{-1}(x) = \frac{10x - 900}{9}\)

Adım 4: Ters işlemi yorumlayın.

Mağazanın uyguladığı işlemin tersini yapmak için, son fiyattan 900 çıkarıp sonucu 9'a bölmek gerekir. Bu, önce %10 indirimi geri almak (yani \( \times \frac{10}{9} \) ile çarpmak) ve ardından 100 TL'yi geri eklemek anlamına gelir.

Sonuç olarak, \(f^{-1}(x) = \frac{10x - 900}{9}\)'dur. Bu, son fiyattan 900 çıkarıp 9'a bölerek başlangıç fiyatını bulacağımızı gösterir. 💡

Örnek 8:

\(k(x) = \frac{2x+1}{x-3}\) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz. Bu fonksiyonun tanım ve değer kümelerini de belirtiniz. 🧮

Çözüm:

Ters fonksiyonu bulma adımları:

Adım 1: \(k(x)\) yerine \(y\) yazın.

\(y = \frac{2x+1}{x-3}\)

Adım 2: \(x\)'i yalnız bırakın.

\(y(x-3) = 2x+1\)

\(xy - 3y = 2x+1\)

\(xy - 2x = 3y + 1\)

\(x(y-2) = 3y + 1\)

\(x = \frac{3y+1}{y-2}\)

Adım 3: \(x\) yerine \(k^{-1}(y)\) ve \(y\) yerine \(x\) yazın.

\(k^{-1}(y) = \frac{3y+1}{y-2}\)

\(k^{-1}(x) = \frac{3x+1}{x-2}\)

Tanım ve Değer Kümeleri:

Orijinal fonksiyon \(k(x)\)'in tanım kümesi \(x \neq 3\)'tür.

Orijinal fonksiyonun değer kümesi, \(y = \frac{2x+1}{x-3}\) ifadesinde \(y\)nin alabileceği değerlerdir. Bu fonksiyonun yatay asimptotu \(y = \frac{2}{1} = 2\)'dir. Dolayısıyla değer kümesi \(y \neq 2\)'dir.

Ters fonksiyon \(k^{-1}(x)\)'in tanım kümesi, orijinal fonksiyonun değer kümesidir: \(x \neq 2\).

Ters fonksiyon \(k^{-1}(x)\)'in değer kümesi, orijinal fonksiyonun tanım kümesidir: \(y \neq 3\).

Sonuç olarak, \(k^{-1}(x) = \frac{3x+1}{x-2}\) bulunur. Tanım kümesi \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) ve değer kümesi \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\)'tür. 🎯

Örnek 9:

Çözüm:

Yolculuğun mesafesini hesaplayalım:

Adım 1: Verilen ücretlendirme fonksiyonunu yazın.

\(F(k) = 3k + 5\)

Adım 2: Yolcunun ödediği toplam ücreti fonksiyona eşitleyin.

\(29 = 3k + 5\)

Adım 3: \(k\)'yi yalnız bırakarak gidilen mesafeyi hesaplayın.

\(29 - 5 = 3k\)

\(24 = 3k\)

\(k = \frac{24}{3}\)

\(k = 8\)

Sonuç olarak, 29 TL ödeyen yolcu 8 kilometre yol gitmiştir. 🛣️

Örnek 10:

Çözüm:

Harcanan geliştirme saatini hesaplayalım:

Adım 1: Verilen maliyet fonksiyonunu yazın.

\(M(s) = 4s + 1000\)

Adım 2: Şirketin harcadığı toplam maliyeti fonksiyona eşitleyin.

\(5000 = 4s + 1000\)

Adım 3: \(s\)'yi yalnız bırakarak geliştirme saatini hesaplayın.

\(5000 - 1000 = 4s\)

\(4000 = 4s\)

\(s = \frac{4000}{4}\)

\(s = 1000\)

Sonuç olarak, 5000 TL'lik maliyet 1000 saatlik bir geliştirme sürecine karşılık gelmektedir. ⏳

Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun

https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-fonksiyonlarin-tersi/sorular

💡 11. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarin Tersi Çözümlü Örnekler

11. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarin Tersi Çözümlü Örnekler

İçerik Hazırlanıyor

İşlem Başarısız Oldu

Başarıyla Tamamlandı!