💡 11. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarin Tersi Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir \(f\) fonksiyonu \(f(x) = 2x + 3\) olarak tanımlanmıştır. Bu fonksiyonun tersi olan \(f^{-1}(x)\) fonksiyonunu bulunuz. 💡
Çözüm ve Açıklama
Fonksiyonun tersini bulmak için şu adımları izleyebiliriz:
Adım 1: Fonksiyonda \(f(x)\) yerine \(y\) yazın.
\(y = 2x + 3\)
Adım 2: Eşitlikte \(x\)'i yalnız bırakın.
\(y - 3 = 2x\)
\(x = \frac{y - 3}{2}\)
Adım 3: \(x\) yerine \(f^{-1}(y)\) ve \(y\) yerine \(x\) yazın.
\(f^{-1}(y) = \frac{y - 3}{2}\)
\(f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}\)
Sonuç olarak, \(f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}\) bulunur. ✅
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
\(g(x) = \frac{x+1}{x-2}\) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz. Bu fonksiyonun tanım ve değer kümelerini de belirtiniz. 🤔
Çözüm ve Açıklama
Ters fonksiyonu bulma adımları:
Adım 1: \(g(x)\) yerine \(y\) yazın.
\(y = \frac{x+1}{x-2}\)
Adım 2: \(x\)'i yalnız bırakın.
\(y(x-2) = x+1\)
\(xy - 2y = x+1\)
\(xy - x = 2y + 1\)
\(x(y-1) = 2y + 1\)
\(x = \frac{2y+1}{y-1}\)
Adım 3: \(x\) yerine \(g^{-1}(y)\) ve \(y\) yerine \(x\) yazın.
\(g^{-1}(y) = \frac{2y+1}{y-1}\)
\(g^{-1}(x) = \frac{2x+1}{x-1}\)
Tanım ve Değer Kümeleri:
Orijinal fonksiyon \(g(x)\)'in tanım kümesi \(x \neq 2\)'dir. Değer kümesi ise \(y \neq 1\)'dir (çünkü \(y = \frac{x+1}{x-2}\) ifadesinde payda sıfır olamaz ve \(y\) hiçbir zaman 1 olamaz).
Ters fonksiyon \(g^{-1}(x)\)'in tanım kümesi, orijinal fonksiyonun değer kümesidir: \(x \neq 1\).
Ters fonksiyon \(g^{-1}(x)\)'in değer kümesi, orijinal fonksiyonun tanım kümesidir: \(y \neq 2\).
Sonuç olarak, \(g^{-1}(x) = \frac{2x+1}{x-1}\) ve tanım kümesi \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\), değer kümesi \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\)'dir. ✨
3
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
\(h(x) = \sqrt{x-5}\) fonksiyonunun tersini bulunuz. Bu fonksiyonun tanım ve değer kümelerini göz önünde bulundurarak çözüm yapınız. 🧐
Çözüm ve Açıklama
Ters fonksiyonu bulma süreci:
Adım 1: \(h(x)\) yerine \(y\) yazın.
\(y = \sqrt{x-5}\)
Adım 2: Orijinal fonksiyonun tanım ve değer kümesini belirleyin.
Tanım kümesi için \(x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5\)'tir. Yani, \(T_h = [5, \infty)\).
Değer kümesi için \(\sqrt{x-5} \ge 0\)'dır. Yani, \(D_h = [0, \infty)\).
Adım 3: Eşitlikte \(x\)'i yalnız bırakın.
Her iki tarafın karesini alın: \(y^2 = x-5\)
\(x = y^2 + 5\)
Adım 4: \(x\) yerine \(h^{-1}(y)\) ve \(y\) yerine \(x\) yazın.
\(h^{-1}(y) = y^2 + 5\)
\(h^{-1}(x) = x^2 + 5\)
Adım 5: Ters fonksiyonun tanım ve değer kümesini ayarlayın.
Ters fonksiyonun tanım kümesi, orijinal fonksiyonun değer kümesidir: \(T_{h^{-1}} = [0, \infty)\).
Ters fonksiyonun değer kümesi, orijinal fonksiyonun tanım kümesidir: \(D_{h^{-1}} = [5, \infty)\).
Bu nedenle, \(h^{-1}(x) = x^2 + 5\) olup, tanım kümesi \([0, \infty)\) ve değer kümesi \([5, \infty)\)'dir. 🚀
4
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Ayşe, bir ürünün fiyatını önce %20 artırıp sonra %20 indirim uygulayan bir kampanya tasarlıyor. Eğer ürünün başlangıç fiyatı \(x\) TL ise, son fiyatını veren fonksiyonu \(f(x)\) olarak tanımlayalım. Bu fonksiyonun tersini \(f^{-1}(x)\) bularak, Ayşe'nin uyguladığı işlemin tersini hangi fiyat üzerinden yapması gerektiğini hesaplayınız. 📈
Çözüm ve Açıklama
Ayşe'nin uyguladığı işlemin tersini bulalım:
Adım 1: Fiyatı %20 artırma fonksiyonunu yazın.
Artış sonrası fiyat: \(x + 0.20x = 1.20x\)
Adım 2: Artış sonrası fiyatı %20 indirme fonksiyonunu yazın.
Bu durumda, fiyatı veren fonksiyon \(f(x) = 0.96x\)'dir.
Adım 3: Fonksiyonun tersini bulun.
\(y = 0.96x\)
\(x = \frac{y}{0.96}\)
\(f^{-1}(x) = \frac{x}{0.96}\)
\(f^{-1}(x) = \frac{100x}{96} = \frac{25x}{24}\)
Adım 4: Ters işlemi yorumlayın.
Ayşe'nin uyguladığı işlemin tersini yapmak için, son fiyata \(\frac{25}{24}\) ile çarpmak gerekir. Bu da yaklaşık olarak %4.17'lik bir artışa denk gelir. Yani, eğer son fiyat \(y\) ise, başlangıç fiyatını bulmak için \(y \times \frac{25}{24}\) işlemini yapmalıdır.
Sonuç olarak, \(f^{-1}(x) = \frac{25x}{24}\)'tür. Bu, son fiyatı başlangıç fiyatına döndürmek için \(\frac{25}{24}\) ile çarpılması gerektiğini gösterir. 🔄
5
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir kargo şirketi, gönderilecek paketin hacmine göre bir ücretlendirme yapıyor. Ücretlendirme fonksiyonu \(U(h) = 5h + 10\) TL olarak belirlenmiş, burada \(h\) paketin hacmini (desimetreküp cinsinden) temsil ediyor. Eğer bir müşteri 40 TL ödediyse, bu paketin hacmi kaç desimetreküp idi? 📦
Fonksiyonun tersini bulmak için adımları takip edelim:
Adım 1: \(f(x)\) yerine \(y\) yazın.
\(y = 3x - 7\)
Adım 2: \(x\)'i yalnız bırakın.
\(y + 7 = 3x\)
\(x = \frac{y + 7}{3}\)
Adım 3: Değişkenleri değiştirin.
\(f^{-1}(x) = \frac{x + 7}{3}\)
Ters fonksiyon \(f^{-1}(x) = \frac{x + 7}{3}\)'tür. 👍
7
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir teknoloji mağazası, bir ürünün fiyatını önce 100 TL artırıp sonra bu yeni fiyat üzerinden %10 indirim yapıyor. Bu işlemi temsil eden fonksiyon \(f(x)\) olsun, burada \(x\) ürünün başlangıç fiyatıdır. Bu fonksiyonun tersini \(f^{-1}(x)\) bularak, mağazanın uyguladığı işlemin tam tersini hangi işlemle yapabileceğimizi gösteriniz. 💰
Çözüm ve Açıklama
Mağazanın uyguladığı işlemin tersini bulalım:
Adım 1: Fiyatı 100 TL artırma işlemini yazın.
Artış sonrası fiyat: \(x + 100\)
Adım 2: Artış sonrası fiyat üzerinden %10 indirim işlemini yazın.
İndirim sonrası fiyat: \((x + 100) - 0.10(x + 100)\)
\(= (x + 100)(1 - 0.10)\)
\(= 0.90(x + 100)\)
\(= 0.90x + 90\)
Bu durumda, fonksiyon \(f(x) = 0.90x + 90\)'dır.
Adım 3: Fonksiyonun tersini bulun.
\(y = 0.90x + 90\)
\(y - 90 = 0.90x\)
\(x = \frac{y - 90}{0.90}\)
\(x = \frac{10(y - 90)}{9}\)
\(x = \frac{10y - 900}{9}\)
\(f^{-1}(x) = \frac{10x - 900}{9}\)
Adım 4: Ters işlemi yorumlayın.
Mağazanın uyguladığı işlemin tersini yapmak için, son fiyattan 900 çıkarıp sonucu 9'a bölmek gerekir. Bu, önce %10 indirimi geri almak (yani \( \times \frac{10}{9} \) ile çarpmak) ve ardından 100 TL'yi geri eklemek anlamına gelir.
Sonuç olarak, \(f^{-1}(x) = \frac{10x - 900}{9}\)'dur. Bu, son fiyattan 900 çıkarıp 9'a bölerek başlangıç fiyatını bulacağımızı gösterir. 💡
8
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
\(k(x) = \frac{2x+1}{x-3}\) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz. Bu fonksiyonun tanım ve değer kümelerini de belirtiniz. 🧮
Çözüm ve Açıklama
Ters fonksiyonu bulma adımları:
Adım 1: \(k(x)\) yerine \(y\) yazın.
\(y = \frac{2x+1}{x-3}\)
Adım 2: \(x\)'i yalnız bırakın.
\(y(x-3) = 2x+1\)
\(xy - 3y = 2x+1\)
\(xy - 2x = 3y + 1\)
\(x(y-2) = 3y + 1\)
\(x = \frac{3y+1}{y-2}\)
Adım 3: \(x\) yerine \(k^{-1}(y)\) ve \(y\) yerine \(x\) yazın.
\(k^{-1}(y) = \frac{3y+1}{y-2}\)
\(k^{-1}(x) = \frac{3x+1}{x-2}\)
Tanım ve Değer Kümeleri:
Orijinal fonksiyon \(k(x)\)'in tanım kümesi \(x \neq 3\)'tür.
Orijinal fonksiyonun değer kümesi, \(y = \frac{2x+1}{x-3}\) ifadesinde \(y\)nin alabileceği değerlerdir. Bu fonksiyonun yatay asimptotu \(y = \frac{2}{1} = 2\)'dir. Dolayısıyla değer kümesi \(y \neq 2\)'dir.
Ters fonksiyon \(k^{-1}(x)\)'in tanım kümesi, orijinal fonksiyonun değer kümesidir: \(x \neq 2\).
Ters fonksiyon \(k^{-1}(x)\)'in değer kümesi, orijinal fonksiyonun tanım kümesidir: \(y \neq 3\).
Sonuç olarak, \(k^{-1}(x) = \frac{3x+1}{x-2}\) bulunur. Tanım kümesi \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) ve değer kümesi \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\)'tür. 🎯
9
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir taksi şoförü, taksimetresini açılış ücreti olan 5 TL'ye ek olarak kilometre başına 3 TL olarak ayarlamıştır. Bir yolculuğun toplam ücretini veren fonksiyon \(F(k) = 3k + 5\) TL'dir, burada \(k\) gidilen mesafeyi kilometre cinsinden temsil eder. Eğer bir yolcu 29 TL ödediyse, kaç kilometre yol gitmiştir? 🚕
Çözüm ve Açıklama
Yolculuğun mesafesini hesaplayalım:
Adım 1: Verilen ücretlendirme fonksiyonunu yazın.
\(F(k) = 3k + 5\)
Adım 2: Yolcunun ödediği toplam ücreti fonksiyona eşitleyin.
\(29 = 3k + 5\)
Adım 3: \(k\)'yi yalnız bırakarak gidilen mesafeyi hesaplayın.
\(29 - 5 = 3k\)
\(24 = 3k\)
\(k = \frac{24}{3}\)
\(k = 8\)
Sonuç olarak, 29 TL ödeyen yolcu 8 kilometre yol gitmiştir. 🛣️
10
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir yazılım şirketi, bir uygulamanın geliştirme maliyetini hesaplamak için bir formül kullanıyor. Maliyet \(M(s) = 4s + 1000\) TL'dir, burada \(s\) geliştirme sürecinde harcanan saat sayısını temsil eder. Şirket, bu geliştirme için 5000 TL harcadığını hesaplıyor. Bu maliyetin kaç saatlik bir geliştirme sürecine karşılık geldiğini bulunuz. 💻
Çözüm ve Açıklama
Harcanan geliştirme saatini hesaplayalım:
Adım 1: Verilen maliyet fonksiyonunu yazın.
\(M(s) = 4s + 1000\)
Adım 2: Şirketin harcadığı toplam maliyeti fonksiyona eşitleyin.
\(5000 = 4s + 1000\)
Adım 3: \(s\)'yi yalnız bırakarak geliştirme saatini hesaplayın.
\(5000 - 1000 = 4s\)
\(4000 = 4s\)
\(s = \frac{4000}{4}\)
\(s = 1000\)
Sonuç olarak, 5000 TL'lik maliyet 1000 saatlik bir geliştirme sürecine karşılık gelmektedir. ⏳
11. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarin Tersi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir \(f\) fonksiyonu \(f(x) = 2x + 3\) olarak tanımlanmıştır. Bu fonksiyonun tersi olan \(f^{-1}(x)\) fonksiyonunu bulunuz. 💡
Çözüm:
Fonksiyonun tersini bulmak için şu adımları izleyebiliriz:
Adım 1: Fonksiyonda \(f(x)\) yerine \(y\) yazın.
\(y = 2x + 3\)
Adım 2: Eşitlikte \(x\)'i yalnız bırakın.
\(y - 3 = 2x\)
\(x = \frac{y - 3}{2}\)
Adım 3: \(x\) yerine \(f^{-1}(y)\) ve \(y\) yerine \(x\) yazın.
\(f^{-1}(y) = \frac{y - 3}{2}\)
\(f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}\)
Sonuç olarak, \(f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}\) bulunur. ✅
Örnek 2:
\(g(x) = \frac{x+1}{x-2}\) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz. Bu fonksiyonun tanım ve değer kümelerini de belirtiniz. 🤔
Çözüm:
Ters fonksiyonu bulma adımları:
Adım 1: \(g(x)\) yerine \(y\) yazın.
\(y = \frac{x+1}{x-2}\)
Adım 2: \(x\)'i yalnız bırakın.
\(y(x-2) = x+1\)
\(xy - 2y = x+1\)
\(xy - x = 2y + 1\)
\(x(y-1) = 2y + 1\)
\(x = \frac{2y+1}{y-1}\)
Adım 3: \(x\) yerine \(g^{-1}(y)\) ve \(y\) yerine \(x\) yazın.
\(g^{-1}(y) = \frac{2y+1}{y-1}\)
\(g^{-1}(x) = \frac{2x+1}{x-1}\)
Tanım ve Değer Kümeleri:
Orijinal fonksiyon \(g(x)\)'in tanım kümesi \(x \neq 2\)'dir. Değer kümesi ise \(y \neq 1\)'dir (çünkü \(y = \frac{x+1}{x-2}\) ifadesinde payda sıfır olamaz ve \(y\) hiçbir zaman 1 olamaz).
Ters fonksiyon \(g^{-1}(x)\)'in tanım kümesi, orijinal fonksiyonun değer kümesidir: \(x \neq 1\).
Ters fonksiyon \(g^{-1}(x)\)'in değer kümesi, orijinal fonksiyonun tanım kümesidir: \(y \neq 2\).
Sonuç olarak, \(g^{-1}(x) = \frac{2x+1}{x-1}\) ve tanım kümesi \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\), değer kümesi \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\)'dir. ✨
Örnek 3:
\(h(x) = \sqrt{x-5}\) fonksiyonunun tersini bulunuz. Bu fonksiyonun tanım ve değer kümelerini göz önünde bulundurarak çözüm yapınız. 🧐
Çözüm:
Ters fonksiyonu bulma süreci:
Adım 1: \(h(x)\) yerine \(y\) yazın.
\(y = \sqrt{x-5}\)
Adım 2: Orijinal fonksiyonun tanım ve değer kümesini belirleyin.
Tanım kümesi için \(x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5\)'tir. Yani, \(T_h = [5, \infty)\).
Değer kümesi için \(\sqrt{x-5} \ge 0\)'dır. Yani, \(D_h = [0, \infty)\).
Adım 3: Eşitlikte \(x\)'i yalnız bırakın.
Her iki tarafın karesini alın: \(y^2 = x-5\)
\(x = y^2 + 5\)
Adım 4: \(x\) yerine \(h^{-1}(y)\) ve \(y\) yerine \(x\) yazın.
\(h^{-1}(y) = y^2 + 5\)
\(h^{-1}(x) = x^2 + 5\)
Adım 5: Ters fonksiyonun tanım ve değer kümesini ayarlayın.
Ters fonksiyonun tanım kümesi, orijinal fonksiyonun değer kümesidir: \(T_{h^{-1}} = [0, \infty)\).
Ters fonksiyonun değer kümesi, orijinal fonksiyonun tanım kümesidir: \(D_{h^{-1}} = [5, \infty)\).
Bu nedenle, \(h^{-1}(x) = x^2 + 5\) olup, tanım kümesi \([0, \infty)\) ve değer kümesi \([5, \infty)\)'dir. 🚀
Örnek 4:
Ayşe, bir ürünün fiyatını önce %20 artırıp sonra %20 indirim uygulayan bir kampanya tasarlıyor. Eğer ürünün başlangıç fiyatı \(x\) TL ise, son fiyatını veren fonksiyonu \(f(x)\) olarak tanımlayalım. Bu fonksiyonun tersini \(f^{-1}(x)\) bularak, Ayşe'nin uyguladığı işlemin tersini hangi fiyat üzerinden yapması gerektiğini hesaplayınız. 📈
Çözüm:
Ayşe'nin uyguladığı işlemin tersini bulalım:
Adım 1: Fiyatı %20 artırma fonksiyonunu yazın.
Artış sonrası fiyat: \(x + 0.20x = 1.20x\)
Adım 2: Artış sonrası fiyatı %20 indirme fonksiyonunu yazın.
Bu durumda, fiyatı veren fonksiyon \(f(x) = 0.96x\)'dir.
Adım 3: Fonksiyonun tersini bulun.
\(y = 0.96x\)
\(x = \frac{y}{0.96}\)
\(f^{-1}(x) = \frac{x}{0.96}\)
\(f^{-1}(x) = \frac{100x}{96} = \frac{25x}{24}\)
Adım 4: Ters işlemi yorumlayın.
Ayşe'nin uyguladığı işlemin tersini yapmak için, son fiyata \(\frac{25}{24}\) ile çarpmak gerekir. Bu da yaklaşık olarak %4.17'lik bir artışa denk gelir. Yani, eğer son fiyat \(y\) ise, başlangıç fiyatını bulmak için \(y \times \frac{25}{24}\) işlemini yapmalıdır.
Sonuç olarak, \(f^{-1}(x) = \frac{25x}{24}\)'tür. Bu, son fiyatı başlangıç fiyatına döndürmek için \(\frac{25}{24}\) ile çarpılması gerektiğini gösterir. 🔄
Örnek 5:
Bir kargo şirketi, gönderilecek paketin hacmine göre bir ücretlendirme yapıyor. Ücretlendirme fonksiyonu \(U(h) = 5h + 10\) TL olarak belirlenmiş, burada \(h\) paketin hacmini (desimetreküp cinsinden) temsil ediyor. Eğer bir müşteri 40 TL ödediyse, bu paketin hacmi kaç desimetreküp idi? 📦
Fonksiyonun tersini bulmak için adımları takip edelim:
Adım 1: \(f(x)\) yerine \(y\) yazın.
\(y = 3x - 7\)
Adım 2: \(x\)'i yalnız bırakın.
\(y + 7 = 3x\)
\(x = \frac{y + 7}{3}\)
Adım 3: Değişkenleri değiştirin.
\(f^{-1}(x) = \frac{x + 7}{3}\)
Ters fonksiyon \(f^{-1}(x) = \frac{x + 7}{3}\)'tür. 👍
Örnek 7:
Bir teknoloji mağazası, bir ürünün fiyatını önce 100 TL artırıp sonra bu yeni fiyat üzerinden %10 indirim yapıyor. Bu işlemi temsil eden fonksiyon \(f(x)\) olsun, burada \(x\) ürünün başlangıç fiyatıdır. Bu fonksiyonun tersini \(f^{-1}(x)\) bularak, mağazanın uyguladığı işlemin tam tersini hangi işlemle yapabileceğimizi gösteriniz. 💰
Çözüm:
Mağazanın uyguladığı işlemin tersini bulalım:
Adım 1: Fiyatı 100 TL artırma işlemini yazın.
Artış sonrası fiyat: \(x + 100\)
Adım 2: Artış sonrası fiyat üzerinden %10 indirim işlemini yazın.
İndirim sonrası fiyat: \((x + 100) - 0.10(x + 100)\)
\(= (x + 100)(1 - 0.10)\)
\(= 0.90(x + 100)\)
\(= 0.90x + 90\)
Bu durumda, fonksiyon \(f(x) = 0.90x + 90\)'dır.
Adım 3: Fonksiyonun tersini bulun.
\(y = 0.90x + 90\)
\(y - 90 = 0.90x\)
\(x = \frac{y - 90}{0.90}\)
\(x = \frac{10(y - 90)}{9}\)
\(x = \frac{10y - 900}{9}\)
\(f^{-1}(x) = \frac{10x - 900}{9}\)
Adım 4: Ters işlemi yorumlayın.
Mağazanın uyguladığı işlemin tersini yapmak için, son fiyattan 900 çıkarıp sonucu 9'a bölmek gerekir. Bu, önce %10 indirimi geri almak (yani \( \times \frac{10}{9} \) ile çarpmak) ve ardından 100 TL'yi geri eklemek anlamına gelir.
Sonuç olarak, \(f^{-1}(x) = \frac{10x - 900}{9}\)'dur. Bu, son fiyattan 900 çıkarıp 9'a bölerek başlangıç fiyatını bulacağımızı gösterir. 💡
Örnek 8:
\(k(x) = \frac{2x+1}{x-3}\) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz. Bu fonksiyonun tanım ve değer kümelerini de belirtiniz. 🧮
Çözüm:
Ters fonksiyonu bulma adımları:
Adım 1: \(k(x)\) yerine \(y\) yazın.
\(y = \frac{2x+1}{x-3}\)
Adım 2: \(x\)'i yalnız bırakın.
\(y(x-3) = 2x+1\)
\(xy - 3y = 2x+1\)
\(xy - 2x = 3y + 1\)
\(x(y-2) = 3y + 1\)
\(x = \frac{3y+1}{y-2}\)
Adım 3: \(x\) yerine \(k^{-1}(y)\) ve \(y\) yerine \(x\) yazın.
\(k^{-1}(y) = \frac{3y+1}{y-2}\)
\(k^{-1}(x) = \frac{3x+1}{x-2}\)
Tanım ve Değer Kümeleri:
Orijinal fonksiyon \(k(x)\)'in tanım kümesi \(x \neq 3\)'tür.
Orijinal fonksiyonun değer kümesi, \(y = \frac{2x+1}{x-3}\) ifadesinde \(y\)nin alabileceği değerlerdir. Bu fonksiyonun yatay asimptotu \(y = \frac{2}{1} = 2\)'dir. Dolayısıyla değer kümesi \(y \neq 2\)'dir.
Ters fonksiyon \(k^{-1}(x)\)'in tanım kümesi, orijinal fonksiyonun değer kümesidir: \(x \neq 2\).
Ters fonksiyon \(k^{-1}(x)\)'in değer kümesi, orijinal fonksiyonun tanım kümesidir: \(y \neq 3\).
Sonuç olarak, \(k^{-1}(x) = \frac{3x+1}{x-2}\) bulunur. Tanım kümesi \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) ve değer kümesi \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\)'tür. 🎯
Örnek 9:
Bir taksi şoförü, taksimetresini açılış ücreti olan 5 TL'ye ek olarak kilometre başına 3 TL olarak ayarlamıştır. Bir yolculuğun toplam ücretini veren fonksiyon \(F(k) = 3k + 5\) TL'dir, burada \(k\) gidilen mesafeyi kilometre cinsinden temsil eder. Eğer bir yolcu 29 TL ödediyse, kaç kilometre yol gitmiştir? 🚕
Çözüm:
Yolculuğun mesafesini hesaplayalım:
Adım 1: Verilen ücretlendirme fonksiyonunu yazın.
\(F(k) = 3k + 5\)
Adım 2: Yolcunun ödediği toplam ücreti fonksiyona eşitleyin.
\(29 = 3k + 5\)
Adım 3: \(k\)'yi yalnız bırakarak gidilen mesafeyi hesaplayın.
\(29 - 5 = 3k\)
\(24 = 3k\)
\(k = \frac{24}{3}\)
\(k = 8\)
Sonuç olarak, 29 TL ödeyen yolcu 8 kilometre yol gitmiştir. 🛣️
Örnek 10:
Bir yazılım şirketi, bir uygulamanın geliştirme maliyetini hesaplamak için bir formül kullanıyor. Maliyet \(M(s) = 4s + 1000\) TL'dir, burada \(s\) geliştirme sürecinde harcanan saat sayısını temsil eder. Şirket, bu geliştirme için 5000 TL harcadığını hesaplıyor. Bu maliyetin kaç saatlik bir geliştirme sürecine karşılık geldiğini bulunuz. 💻
Çözüm:
Harcanan geliştirme saatini hesaplayalım:
Adım 1: Verilen maliyet fonksiyonunu yazın.
\(M(s) = 4s + 1000\)
Adım 2: Şirketin harcadığı toplam maliyeti fonksiyona eşitleyin.
\(5000 = 4s + 1000\)
Adım 3: \(s\)'yi yalnız bırakarak geliştirme saatini hesaplayın.
\(5000 - 1000 = 4s\)
\(4000 = 4s\)
\(s = \frac{4000}{4}\)
\(s = 1000\)
Sonuç olarak, 5000 TL'lik maliyet 1000 saatlik bir geliştirme sürecine karşılık gelmektedir. ⏳