🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Fonksiyonların Dönüşümleri Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Fonksiyonların Dönüşümleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Verilen bir \( f(x) = x^2 \) parabolünün grafiğini, y ekseni doğrultusunda 3 birim yukarı öteleyerek elde edilen yeni fonksiyonun denklemini yazınız ve bu dönüşümün grafiğe etkisini açıklayınız. 🚀
Çözüm:
Bu dönüşüm, fonksiyonun her bir y değerine sabit bir sayı eklenmesiyle gerçekleşir.
- 👉 Bir fonksiyonun grafiği y ekseni doğrultusunda yukarı ötelenirse, fonksiyona sabit bir sayı eklenir.
- 📌 Eğer k birim yukarı öteleniyorsa, yeni fonksiyon \( g(x) = f(x) + k \) şeklinde olur.
- Bu durumda, \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunu 3 birim yukarı ötelediğimizde, yeni fonksiyonun denklemi:
\[ g(x) = f(x) + 3 = x^2 + 3 \] olur. - ✅ Grafiksel Etki: Orijinal parabolün (tepe noktası (0,0)), tepe noktası (0,3) olacak şekilde y ekseni üzerinde yukarı kaydığını görürüz. Fonksiyonun tüm noktalarının y koordinatları 3 artar.
Örnek 2:
\( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiğini, x ekseni doğrultusunda 2 birim sola öteleyerek elde edilen yeni fonksiyonun denklemini bulunuz. 👈
Çözüm:
x ekseni doğrultusundaki öteleme, fonksiyonun içindeki x değişkenini etkiler.
- 👉 Bir fonksiyonun grafiği x ekseni doğrultusunda ötelenirse, x yerine \( (x-k) \) veya \( (x+k) \) yazılır.
- 📌 Eğer k birim sola öteleniyorsa, yeni fonksiyon \( g(x) = f(x+k) \) şeklinde olur.
- Bu durumda, \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunu 2 birim sola ötelediğimizde, yeni fonksiyonun denklemi:
\[ g(x) = f(x+2) = \sqrt{x+2} \] olur. - ✅ İpucu: Sola öteleme için \( x+k \), sağa öteleme için \( x-k \) kullanılır. Bu, sezgilere ters gelebilir ama unutmayın, fonksiyonu sıfırlayan değerin değişmesi gerekir!
Örnek 3:
\( f(x) = x^3 - 2x \) fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre yansıması ile elde edilen fonksiyonun denklemini ve grafiğe etkisini açıklayınız. ↔️
Çözüm:
Bir fonksiyonun grafiğinin x eksenine göre yansıması, fonksiyonun y değerlerinin işaret değiştirmesi anlamına gelir.
- 👉 x eksenine göre yansımada, fonksiyonun her bir y değeri \( -y \) olur. Bu da \( f(x) \) yerine \( -f(x) \) yazmak demektir.
- 📌 Yani, yeni fonksiyon \( g(x) = -f(x) \) şeklinde tanımlanır.
- \( f(x) = x^3 - 2x \) fonksiyonunun x eksenine göre yansıması:
\[ g(x) = -(x^3 - 2x) = -x^3 + 2x \] olur. - ✅ Grafiksel Etki: Grafiğin x ekseninin altındaki kısımları yukarı, üstündeki kısımları ise aşağı döner. Tüm noktaların y koordinatları zıt işaretli hale gelir.
Örnek 4:
\( f(x) = x^2 - 4x + 1 \) fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre yansıması ile elde edilen fonksiyonun denklemini yazınız. ↔️
Çözüm:
Bir fonksiyonun grafiğinin y eksenine göre yansıması, fonksiyonun x değişkeninin işaret değiştirmesi anlamına gelir.
- 👉 y eksenine göre yansımada, fonksiyonun her bir x değeri \( -x \) olur. Bu da \( f(x) \) yerine \( f(-x) \) yazmak demektir.
- 📌 Yani, yeni fonksiyon \( g(x) = f(-x) \) şeklinde tanımlanır.
- \( f(x) = x^2 - 4x + 1 \) fonksiyonunun y eksenine göre yansıması için x yerine \( -x \) yazmalıyız:
\[ g(x) = (-x)^2 - 4(-x) + 1 \]
\[ g(x) = x^2 + 4x + 1 \] olur. - ✅ Grafiksel Etki: Grafiğin y ekseninin sağındaki kısımları sola, solundaki kısımları ise sağa döner. Tüm noktaların x koordinatları zıt işaretli hale gelir.
Örnek 5:
\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiği, y ekseni doğrultusunda 2 kat gerilerek elde edilen fonksiyonun denklemini bulunuz. 📈
Çözüm:
Bir fonksiyonun y ekseni doğrultusunda gerilmesi veya sıkıştırılması, fonksiyonun y değerlerinin bir sabitle çarpılmasıyla gerçekleşir.
- 👉 y ekseni doğrultusunda c kat gerilme (genişleme) için \( g(x) = c \cdot f(x) \) formülü kullanılır.
- 📌 Eğer \( c > 1 \) ise gerilme, \( 0 < c < 1 \) ise sıkıştırma (daralma) söz konusudur.
- \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun y ekseni doğrultusunda 2 kat gerilmesiyle elde edilen fonksiyon:
\[ g(x) = 2 \cdot f(x) = 2x^2 \] olur. - ✅ Grafiksel Etki: Parabolün kolları y eksenine daha yakın hale gelir, yani daha "dar" görünür. Her bir noktanın y koordinatı 2 ile çarpılır.
Örnek 6:
\( f(x) = \sin(x) \) fonksiyonunun grafiği, x ekseni doğrultusunda \(\frac{1}{2}\) kat sıkıştırılarak elde edilen fonksiyonun denklemini yazınız. 📉
Çözüm:
Bir fonksiyonun x ekseni doğrultusunda gerilmesi veya sıkıştırılması, fonksiyonun içindeki x değişkeninin bir sabitle çarpılmasıyla gerçekleşir.
- 👉 x ekseni doğrultusunda k kat sıkıştırma (daralma) için \( g(x) = f(kx) \) formülü kullanılır.
- 📌 Eğer \( k > 1 \) ise sıkıştırma, \( 0 < k < 1 \) ise gerilme (genişleme) söz konusudur. Burada \(\frac{1}{2}\) kat sıkıştırma denildiğinde, sıkıştırma çarpanı \( k = 2 \) olur. Yani \( x \) yerine \( 2x \) yazılır.
- \( f(x) = \sin(x) \) fonksiyonunun x ekseni doğrultusunda \(\frac{1}{2}\) kat sıkıştırılmasıyla elde edilen fonksiyon:
\[ g(x) = f(2x) = \sin(2x) \] olur. - ✅ Grafiksel Etki: Sinüs dalgasının periyodu yarıya iner, yani dalga x ekseni üzerinde daha "sık" görünür. Her bir noktanın x koordinatı \(\frac{1}{2}\) ile çarpılır.
Örnek 7:
Aşağıda verilen \( y = f(x) \) fonksiyonunun grafiği, sırasıyla aşağıdaki dönüşümlerden geçirilerek yeni bir \( y = g(x) \) fonksiyonu elde ediliyor:
- 1. Adım: Grafiği x eksenine göre yansıtılır.
- 2. Adım: Elde edilen grafik x ekseni doğrultusunda 3 birim sağa ötelenir.
- 3. Adım: Elde edilen grafik y ekseni doğrultusunda 2 birim aşağı ötelenir.
Çözüm:
Adım adım dönüşümleri uygulayalım:
- 1️⃣ 1. Adım: x eksenine göre yansıtma.
Bir fonksiyonun x eksenine göre yansıması, \( y = -f(x) \) şeklinde ifade edilir.
Bu adımdan sonra elde ettiğimiz fonksiyonu \( h_1(x) \) diyelim: \( h_1(x) = -f(x) \). - 2️⃣ 2. Adım: x ekseni doğrultusunda 3 birim sağa öteleme.
Sağa öteleme için \( x \) yerine \( (x-k) \) yazılır. Burada \( k=3 \).
\( h_1(x) \) fonksiyonunu 3 birim sağa ötelediğimizde \( h_1(x-3) \) elde ederiz.
Yani, \( h_2(x) = -f(x-3) \). - 3️⃣ 3. Adım: y ekseni doğrultusunda 2 birim aşağı öteleme.
Aşağı öteleme için fonksiyondan sabit bir sayı çıkarılır. Burada 2 birim aşağı öteleniyor.
\( h_2(x) \) fonksiyonunu 2 birim aşağı ötelediğimizde \( h_2(x) - 2 \) elde ederiz.
Yani, \( g(x) = -f(x-3) - 2 \).
Örnek 8:
Bir müzik grubunun sahne performansında, ses mühendisi gitarın sesini daha yüksek ve yankılı hale getirmek istiyor. Bu durumu fonksiyonların dönüşümleriyle nasıl açıklayabiliriz? 🎸🔊
Çözüm:
Müzik ve ses sinyalleri, aslında matematiksel fonksiyonlarla modellenebilir. Bir ses dalgasının genliği, sesin yüksekliğini (şiddetini) belirlerken, dalga formu sesin tınısını (rengini) belirler.
- Sesin Yüksekliğini Artırmak (Genlik Değişimi):
👉 Ses mühendisi gitarın sesini daha yüksek hale getirmek istediğinde, bu aslında ses dalgasının genliğini artırmak anlamına gelir.
Eğer orijinal gitar sesi fonksiyonunu \( f(t) \) (t zamanı temsil eder) olarak düşünürsek, sesin yüksekliğini artırmak için fonksiyonu bir \( c \) sabitiyle çarparız. Yeni fonksiyon \( g(t) = c \cdot f(t) \) olur.
📌 Burada \( c > 1 \) olması, sesin genliğini ve dolayısıyla yüksekliğini artırır. Bu, fonksiyonun y ekseni doğrultusunda gerilmesi dönüşümüne bir örnektir. - Yankı (Gecikme ve Tekrar):
👉 Yankı efekti, orijinal sesin bir miktar gecikmeli ve genellikle daha düşük genlikli kopyalarının orijinal sese eklenmesiyle oluşur.
Orijinal ses \( f(t) \) ise, bir yankı efekti oluşturmak için \( f(t-T) \) gibi gecikmeli bir versiyonunu kullanırız. Burada \( T \) gecikme süresidir. Bu, fonksiyonun x ekseni doğrultusunda ötelenmesi dönüşümüdür.
Ayrıca, yankının şiddeti genellikle orijinal sesten daha az olduğu için, bu gecikmeli kopyayı \( a \cdot f(t-T) \) şeklinde bir \( a \) sabitiyle çarparız (burada \( 0 < a < 1 \)). Bu da y ekseni doğrultusunda sıkıştırma dönüşümüdür.
✅ Dolayısıyla, yankılı bir ses, \( g(t) = f(t) + a_1 f(t-T_1) + a_2 f(t-T_2) + \dots \) gibi birden fazla öteleme ve gerilme/sıkıştırma dönüşümünün birleşiminden oluşur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-fonksiyonlarin-donusumleri/sorular