Fonksiyonların Dönüşümleri Ders Notu

Fonksiyonların dönüşümleri, bir fonksiyonun grafiğini temel bir fonksiyonun grafiğinden belirli kurallar uygulayarak elde etme işlemidir. Bu dönüşümler, fonksiyonun grafiğinin konumunu, yönünü veya şeklini değiştirebilir. Temel dönüşümler öteleme, yansıma ve gerilme/sıkıştırmadır.

1. Öteleme (Kaydırma) Dönüşümleri 📏

Öteleme dönüşümleri, bir fonksiyonun grafiğini koordinat düzleminde yatay veya dikey olarak kaydırma işlemidir.

a. Dikey Öteleme

• Bir \(f(x)\) fonksiyonunun grafiği, c bir pozitif gerçek sayı olmak üzere:
  • \(y = f(x) + c\) ise, grafiği y ekseni boyunca c birim yukarı ötelenir.
  • \(y = f(x) - c\) ise, grafiği y ekseni boyunca c birim aşağı ötelenir.

Örnek: \(f(x) = x^2\) fonksiyonunun grafiği için:

• \(g(x) = x^2 + 3\) fonksiyonunun grafiği, \(f(x)\) grafiğinin 3 birim yukarı ötelenmiş halidir.
• \(h(x) = x^2 - 2\) fonksiyonunun grafiği, \(f(x)\) grafiğinin 2 birim aşağı ötelenmiş halidir.

b. Yatay Öteleme

• Bir \(f(x)\) fonksiyonunun grafiği, c bir pozitif gerçek sayı olmak üzere:
  • \(y = f(x - c)\) ise, grafiği x ekseni boyunca c birim sağa ötelenir.
  • \(y = f(x + c)\) ise, grafiği x ekseni boyunca c birim sola ötelenir.

Örnek: \(f(x) = x^2\) fonksiyonunun grafiği için:

• \(g(x) = (x - 3)^2\) fonksiyonunun grafiği, \(f(x)\) grafiğinin 3 birim sağa ötelenmiş halidir.
• \(h(x) = (x + 2)^2\) fonksiyonunun grafiği, \(f(x)\) grafiğinin 2 birim sola ötelenmiş halidir.

2. Yansıma (Simetri) Dönüşümleri 🔄

Yansıma dönüşümleri, bir fonksiyonun grafiğinin koordinat eksenlerine göre simetriğini alma işlemidir.

a. x Ekseni Boyunca Yansıma

• \(y = -f(x)\) fonksiyonunun grafiği, \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre simetriğidir. Fonksiyonun tüm y değerleri işaret değiştirir.

Örnek: \(f(x) = x^2\) fonksiyonunun grafiği için \(g(x) = -x^2\) fonksiyonunun grafiği, \(f(x)\) grafiğinin x eksenine göre yansımış halidir.

b. y Ekseni Boyunca Yansıma

• \(y = f(-x)\) fonksiyonunun grafiği, \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre simetriğidir. Fonksiyonun x değerleri işaret değiştirir.

Örnek: \(f(x) = x + 2\) fonksiyonunun grafiği için \(g(x) = -x + 2\) veya \(f(-x) = (-x) + 2\) fonksiyonunun grafiği, \(f(x)\) grafiğinin y eksenine göre yansımış halidir.

3. Gerilme ve Sıkıştırma Dönüşümleri ↔️↕️

Gerilme ve sıkıştırma dönüşümleri, bir fonksiyonun grafiğinin şeklini y ekseni veya x ekseni boyunca orantılı olarak değiştirme işlemidir.

a. Dikey Gerilme veya Sıkıştırma

• Bir \(f(x)\) fonksiyonunun grafiği, c bir pozitif gerçek sayı olmak üzere:
  • \(y = c \cdot f(x)\) ve \(c > 1\) ise, grafiği y ekseni boyunca c kat gerilir.
  • \(y = c \cdot f(x)\) ve \(0 < c < 1\) ise, grafiği y ekseni boyunca c kat sıkışır.

Örnek: \(f(x) = x^2\) fonksiyonunun grafiği için:

• \(g(x) = 2x^2\) fonksiyonunun grafiği, \(f(x)\) grafiğinin y ekseni boyunca 2 kat gerilmiş halidir.
• \(h(x) = \frac{1}{2}x^2\) fonksiyonunun grafiği, \(f(x)\) grafiğinin y ekseni boyunca 2 kat sıkışmış halidir.

b. Yatay Gerilme veya Sıkıştırma

• Bir \(f(x)\) fonksiyonunun grafiği, c bir pozitif gerçek sayı olmak üzere:
  • \(y = f(c \cdot x)\) ve \(c > 1\) ise, grafiği x ekseni boyunca c kat sıkışır (x değerleri c'ye bölünür).
  • \(y = f(c \cdot x)\) ve \(0 < c < 1\) ise, grafiği x ekseni boyunca c kat gerilir (x değerleri c'ye bölünür).

Örnek: \(f(x) = x^2\) fonksiyonunun grafiği için:

• \(g(x) = (2x)^2\) fonksiyonunun grafiği, \(f(x)\) grafiğinin x ekseni boyunca 2 kat sıkışmış halidir.
• \(h(x) = (\frac{1}{2}x)^2\) fonksiyonunun grafiği, \(f(x)\) grafiğinin x ekseni boyunca 2 kat gerilmiş halidir.

4. Mutlak Değer Fonksiyonlarının Grafikleri |x|

Mutlak değer fonksiyonları, fonksiyon grafiklerinde özel dönüşümlere yol açar.

a. \(y = |f(x)|\) Fonksiyonunun Grafiği

• Bu fonksiyonun grafiğini elde etmek için \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğinin x ekseninin altında kalan kısımları, x eksenine göre yansıtılarak yukarı katlanır. X ekseninin üstünde kalan kısımlar ise aynı kalır.

Örnek: \(f(x) = x - 2\) fonksiyonunun grafiği için \(g(x) = |x - 2|\) fonksiyonunun grafiği, \(f(x)\)'in x ekseni altındaki kısmının yukarı yansıtılmasıyla oluşur.

b. \(y = f(|x|)\) Fonksiyonunun Grafiği

• Bu fonksiyonun grafiğini elde etmek için \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğinin y ekseninin sağında kalan kısmı (yani \(x \ge 0\) olan kısım) korunur.
• Y ekseninin solunda kalan kısım (\(x < 0\)) ise atılır ve sağda kalan kısmın y eksenine göre simetriği alınarak sol tarafa çizilir. Böylece grafik y eksenine göre simetrik olur.

Örnek: \(f(x) = x + 2\) fonksiyonunun grafiği için \(g(x) = |x| + 2\) veya \(f(|x|)\) fonksiyonunun grafiği, \(f(x)\)'in y ekseninin sağındaki kısmının y eksenine göre simetriğinin alınmasıyla oluşur.