🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Fonksiyonların Dönüşümleri Grafik Üzerinde Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Fonksiyonların Dönüşümleri Grafik Üzerinde Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiği veriliyor. Bu grafiği, y ekseni boyunca 3 birim yukarı öteleyerek elde edilen yeni fonksiyonun denklemini yazınız ve dönüşümü açıklayınız.
Çözüm:
- Orijinal Fonksiyonu Tanıyalım 💡: Başlangıçtaki fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 \) parabolüdür. Bu parabolün tepe noktası \( (0, 0) \) noktasıdır.
- Dikey Öteleme Kuralını Uygulayalım 📌: Bir fonksiyonu y ekseni boyunca \( c \) birim yukarı ötelemek için, fonksiyonun denklemini \( f(x) + c \) şeklinde yazarız.
- Dönüşümü Gerçekleştirelim ✅: Fonksiyonu 3 birim yukarı öteleyeceğimiz için, \( c = 3 \) olacaktır.
- Yeni fonksiyonun denklemi \( g(x) = f(x) + 3 \) olur.
- Yani, \( g(x) = x^2 + 3 \) olarak bulunur.
- Grafiksel Açıklama 👉: Orijinal \( y = x^2 \) parabolünün her noktası, y ekseni boyunca 3 birim yukarı kayar. Örneğin, tepe noktası \( (0, 0) \) iken, yeni parabolün tepe noktası \( (0, 3) \) olur.
Örnek 2:
\( f(x) = |x| \) mutlak değer fonksiyonunun grafiği veriliyor. Bu grafiği, y ekseni boyunca 2 birim aşağı öteleyerek elde edilen yeni fonksiyonun denklemini ve grafiğin nasıl değiştiğini açıklayınız.
Çözüm:
- Başlangıç Fonksiyonu 💡: Verilen fonksiyon \( f(x) = |x| \)'dir. Bu fonksiyonun köşe noktası \( (0, 0) \) noktasıdır.
- Aşağı Öteleme Kuralı 📌: Bir fonksiyonu y ekseni boyunca \( c \) birim aşağı ötelemek için, fonksiyonun denklemini \( f(x) - c \) şeklinde yazarız.
- Dönüşümü Uygulayalım ✅: Fonksiyonu 2 birim aşağı öteleyeceğimiz için, \( c = 2 \) olacaktır.
- Yeni fonksiyonun denklemi \( g(x) = f(x) - 2 \) olur.
- Yani, \( g(x) = |x| - 2 \) olarak bulunur.
- Grafiksel Yorum 👉: Orijinal \( y = |x| \) grafiğinin her noktası, y ekseni boyunca 2 birim aşağı kayar. Köşe noktası \( (0, 0) \) iken, yeni grafiğin köşe noktası \( (0, -2) \) olur.
Örnek 3:
\( f(x) = \sqrt{x} \) karekök fonksiyonunun grafiği veriliyor. Bu grafiği, x ekseni boyunca 4 birim sağa öteleyerek elde edilen yeni fonksiyonun denklemini ve başlangıç noktasının değişimini açıklayınız.
Çözüm:
- Orijinal Fonksiyon 💡: Verilen fonksiyon \( f(x) = \sqrt{x} \)'dir. Bu fonksiyon \( x \ge 0 \) için tanımlıdır ve başlangıç noktası \( (0, 0) \)'dır.
- Sağa Öteleme Kuralı 📌: Bir fonksiyonu x ekseni boyunca \( c \) birim sağa ötelemek için, fonksiyonun denklemini \( f(x - c) \) şeklinde yazarız. İçerideki eksi işareti, sağa kaymayı ifade eder.
- Dönüşümü Gerçekleştirelim ✅: Fonksiyonu 4 birim sağa öteleyeceğimiz için, \( c = 4 \) olacaktır.
- Yeni fonksiyonun denklemi \( g(x) = f(x - 4) \) olur.
- Yani, \( g(x) = \sqrt{x - 4} \) olarak bulunur.
- Grafiksel Açıklama 👉: Orijinal \( y = \sqrt{x} \) grafiğinin her noktası, x ekseni boyunca 4 birim sağa kayar. Başlangıç noktası \( (0, 0) \) iken, yeni grafiğin başlangıç noktası \( (4, 0) \) olur ve fonksiyon \( x \ge 4 \) için tanımlıdır.
Örnek 4:
\( f(x) = x^3 \) küp fonksiyonunun grafiği veriliyor. Bu grafiği, x ekseni boyunca 1 birim sola öteleyerek elde edilen yeni fonksiyonun denklemini yazınız ve grafiğin değişimini açıklayınız.
Çözüm:
- Başlangıç Fonksiyonu 💡: Verilen fonksiyon \( f(x) = x^3 \)'tür. Bu fonksiyon orijinden geçer.
- Sola Öteleme Kuralı 📌: Bir fonksiyonu x ekseni boyunca \( c \) birim sola ötelemek için, fonksiyonun denklemini \( f(x + c) \) şeklinde yazarız. İçerideki artı işareti, sola kaymayı ifade eder.
- Dönüşümü Uygulayalım ✅: Fonksiyonu 1 birim sola öteleyeceğimiz için, \( c = 1 \) olacaktır.
- Yeni fonksiyonun denklemi \( g(x) = f(x + 1) \) olur.
- Yani, \( g(x) = (x + 1)^3 \) olarak bulunur.
- Grafiksel Yorum 👉: Orijinal \( y = x^3 \) grafiğinin her noktası, x ekseni boyunca 1 birim sola kayar. Örneğin, \( (0, 0) \) noktasından geçen grafik, artık \( (-1, 0) \) noktasından geçer.
Örnek 5:
\( f(x) = x^2 - 4 \) parabolünün grafiği veriliyor. Bu grafiği, x eksenine göre yansıtarak elde edilen yeni fonksiyonun denklemini yazınız ve grafiğin nasıl değiştiğini açıklayınız.
Çözüm:
- Orijinal Fonksiyonu Tanıyalım 💡: Başlangıçtaki fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 - 4 \) parabolüdür. Bu parabol y eksenini \( (0, -4) \) noktasında, x eksenini ise \( (-2, 0) \) ve \( (2, 0) \) noktalarında keser.
- X Eksenine Yansıma Kuralı 📌: Bir fonksiyonun grafiğini x eksenine göre yansıtmak için, fonksiyonun denklemini \( -f(x) \) şeklinde yazarız. Bu, tüm y değerlerinin işaretini değiştirir.
- Dönüşümü Gerçekleştirelim ✅:
- Yeni fonksiyonun denklemi \( g(x) = -f(x) \) olur.
- Yani, \( g(x) = -(x^2 - 4) = -x^2 + 4 \) olarak bulunur.
- Grafiksel Açıklama 👉: Orijinal parabolün kolları yukarı doğruyken, yansıyan parabolün kolları aşağı doğru olur. Örneğin, orijinal parabolün tepe noktası \( (0, -4) \) iken, yeni parabolün tepe noktası \( (0, 4) \) olur. X eksenini kestiği noktalar ise değişmez: \( (-2, 0) \) ve \( (2, 0) \).
Örnek 6:
\( f(x) = 2^x \) üstel fonksiyonunun grafiği veriliyor. Bu grafiği, y eksenine göre yansıtarak elde edilen yeni fonksiyonun denklemini yazınız ve grafiğin değişimini açıklayınız.
Çözüm:
- Başlangıç Fonksiyonu 💡: Verilen fonksiyon \( f(x) = 2^x \)'tir. Bu fonksiyon y eksenini \( (0, 1) \) noktasında keser ve x değerleri arttıkça artar.
- Y Eksenine Yansıma Kuralı 📌: Bir fonksiyonun grafiğini y eksenine göre yansıtmak için, fonksiyonun denklemini \( f(-x) \) şeklinde yazarız. Bu, tüm x değerlerinin işaretini değiştirir.
- Dönüşümü Uygulayalım ✅:
- Yeni fonksiyonun denklemi \( g(x) = f(-x) \) olur.
- Yani, \( g(x) = 2^{-x} \) olarak bulunur. Bu aynı zamanda \( g(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x \) şeklinde de yazılabilir.
- Grafiksel Yorum 👉: Orijinal \( y = 2^x \) grafiği sağa doğru artarken, yansıyan \( y = 2^{-x} \) grafiği sola doğru artar (yani sağa doğru azalır). Y eksenini kestiği nokta olan \( (0, 1) \) ise değişmez.
Örnek 7:
\( f(x) = \sin(x) \) trigonometrik fonksiyonunun grafiği veriliyor. Bu grafiği, y ekseni doğrultusunda 2 kat genişleterek elde edilen yeni fonksiyonun denklemini yazınız ve grafiğin değişimini açıklayınız.
Çözüm:
- Orijinal Fonksiyonu Tanıyalım 💡: Başlangıçtaki fonksiyonumuz \( f(x) = \sin(x) \)'tir. Bu fonksiyonun maksimum değeri 1, minimum değeri -1'dir.
- Dikey Genişletme Kuralı 📌: Bir fonksiyonun grafiğini y ekseni doğrultusunda \( c \) kat genişletmek için, fonksiyonun denklemini \( c \cdot f(x) \) şeklinde yazarız. Eğer \( c > 1 \) ise genişletme, \( 0 < c < 1 \) ise daraltma olur.
- Dönüşümü Gerçekleştirelim ✅: Fonksiyonu 2 kat genişleteceğimiz için, \( c = 2 \) olacaktır.
- Yeni fonksiyonun denklemi \( g(x) = 2 \cdot f(x) \) olur.
- Yani, \( g(x) = 2 \sin(x) \) olarak bulunur.
- Grafiksel Açıklama 👉: Orijinal \( y = \sin(x) \) grafiğinin y değerleri 2 ile çarpıldığı için, grafiğin genliği artar. Maksimum değer 1'den 2'ye, minimum değer -1'den -2'ye çıkar. X eksenini kestiği noktalar ise değişmez.
Örnek 8:
Bir şirketin aylık karını gösteren fonksiyon \( K(t) = -t^2 + 10t + 20 \) olarak belirlenmiştir (t: ay sayısı, K(t): bin TL cinsinden kar). Şirket, yeni bir pazarlama stratejisi uygulayarak her ay karını 5 bin TL artırmayı ve ayrıca bu stratejinin etkisinin 2 ay sonra başlamasını hedeflemektedir. Bu yeni duruma göre kar fonksiyonu \( K_{yeni}(t) \) nasıl ifade edilir? Açıklayınız.
Çözüm:
- Orijinal Kar Fonksiyonu 💡: Şirketin mevcut kar fonksiyonu \( K(t) = -t^2 + 10t + 20 \)'dir.
- Kar Artışı (Dikey Öteleme) 📌: Şirket her ay karını 5 bin TL artırmayı hedeflediği için, bu durum fonksiyonun y ekseni boyunca 5 birim yukarı ötelenmesi anlamına gelir.
- Bu durumda fonksiyon \( K(t) + 5 \) şeklini alır. Yani \( -t^2 + 10t + 20 + 5 = -t^2 + 10t + 25 \).
- Strateji Etkisinin Gecikmesi (Yatay Öteleme) 📌: Pazarlama stratejisinin etkisinin 2 ay sonra başlaması, yani kar artışının 2 ay gecikmeli olması, fonksiyonun x ekseni boyunca sağa ötelenmesi anlamına gelir. Zaman ekseninde 2 birim sağa öteleme, \( t \) yerine \( (t - 2) \) yazmayı gerektirir.
- Birleşik Dönüşümü Uygulayalım ✅: Önce kar artışını (dikey öteleme) uygulayalım, sonra gecikmeyi (yatay öteleme) hesaba katalım.
- Dikey öteleme sonrası fonksiyon: \( K_{dikey}(t) = -t^2 + 10t + 25 \).
- Şimdi bu fonksiyonda \( t \) yerine \( (t - 2) \) yazarak yatay ötelemeyi uygulayalım: \[ K_{yeni}(t) = -(t - 2)^2 + 10(t - 2) + 25 \]
- Denklemi açalım: \[ K_{yeni}(t) = -(t^2 - 4t + 4) + 10t - 20 + 25 \] \[ K_{yeni}(t) = -t^2 + 4t - 4 + 10t - 20 + 25 \] \[ K_{yeni}(t) = -t^2 + 14t + 1 \]
- Sonuç ve Açıklama 👉: Yeni kar fonksiyonu \( K_{yeni}(t) = -t^2 + 14t + 1 \) olarak ifade edilir. Bu, şirketin karının her ay 5 bin TL artırılması ve bu artışın 2 ay gecikmeli olarak başlaması durumunu yansıtır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-fonksiyonlarin-donusumleri-grafik-uzerinde/sorular