Fonksiyonların Dönüşümleri Grafik Üzerinde Ders Notu

Fonksiyonların grafikleri üzerinde yapılan dönüşümler, bir temel fonksiyonun grafiğinden yola çıkarak farklı fonksiyonların grafiklerini elde etmemizi sağlar. Bu dönüşümler öteleme, yansıma, germe ve sıkıştırma olarak dört ana başlıkta incelenebilir.

1. Öteleme (Kaydırma) Dönüşümleri ↔️↕️

Bir fonksiyonun grafiğini koordinat düzleminde sağa, sola, yukarı veya aşağı kaydırma işlemidir.

a. Dikey Öteleme (Yukarı-Aşağı Kaydırma)

• Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği k birim yukarı ötelenirse, yeni fonksiyon \( g(x) = f(x) + k \) olur. Burada \( k > 0 \) olmalıdır.
• Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği k birim aşağı ötelenirse, yeni fonksiyon \( g(x) = f(x) - k \) olur. Burada \( k > 0 \) olmalıdır.

Örnek: \( y = x^2 \) parabolünün grafiği 3 birim yukarı ötelenirse \( y = x^2 + 3 \), 2 birim aşağı ötelenirse \( y = x^2 - 2 \) fonksiyonunun grafiği elde edilir.

b. Yatay Öteleme (Sağa-Sola Kaydırma)

• Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği a birim sağa ötelenirse, yeni fonksiyon \( g(x) = f(x - a) \) olur. Burada \( a > 0 \) olmalıdır.
• Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği a birim sola ötelenirse, yeni fonksiyon \( g(x) = f(x + a) \) olur. Burada \( a > 0 \) olmalıdır.

Örnek: \( y = x^2 \) parabolünün grafiği 4 birim sağa ötelenirse \( y = (x - 4)^2 \), 1 birim sola ötelenirse \( y = (x + 1)^2 \) fonksiyonunun grafiği elde edilir.

2. Yansıma (Simetri) Dönüşümleri 🔄

Bir fonksiyonun grafiğinin belirli bir eksene veya noktaya göre simetriğini alma işlemidir.

a. x-eksenine Göre Yansıma

• Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği x-eksenine göre yansıtılırsa, elde edilen yeni fonksiyon \( g(x) = -f(x) \) olur.
• Bu durumda, grafiğin üzerindeki her \((x, y)\) noktası \((x, -y)\) noktasına dönüşür.

b. y-eksenine Göre Yansıma

• Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği y-eksenine göre yansıtılırsa, elde edilen yeni fonksiyon \( g(x) = f(-x) \) olur.
• Bu durumda, grafiğin üzerindeki her \((x, y)\) noktası \((-x, y)\) noktasına dönüşür.

c. Orijine Göre Yansıma

• Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği orijine göre yansıtılırsa, elde edilen yeni fonksiyon \( g(x) = -f(-x) \) olur.
• Bu durumda, grafiğin üzerindeki her \((x, y)\) noktası \((-x, -y)\) noktasına dönüşür.

3. Germe ve Sıkıştırma (Ölçekleme) Dönüşümleri 📏

Bir fonksiyonun grafiğini dikey veya yatay olarak genişletme (germe) veya daraltma (sıkıştırma) işlemidir.

a. Dikey Germe ve Sıkıştırma

• Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği dikey olarak c kat gerilirse, yeni fonksiyon \( g(x) = c \cdot f(x) \) olur. Burada \( c > 1 \) olmalıdır.
• Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği dikey olarak c kat sıkıştırılırsa, yeni fonksiyon \( g(x) = c \cdot f(x) \) olur. Burada \( 0 < c < 1 \) olmalıdır.
• Grafiğin üzerindeki her \((x, y)\) noktası \((x, c \cdot y)\) noktasına dönüşür.

Örnek: \( y = x^2 \) grafiği dikey olarak 2 kat gerilirse \( y = 2x^2 \), dikey olarak \( \frac{1}{2} \) kat sıkıştırılırsa \( y = \frac{1}{2}x^2 \) olur.

b. Yatay Germe ve Sıkıştırma

• Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği yatay olarak c kat sıkıştırılırsa, yeni fonksiyon \( g(x) = f(c \cdot x) \) olur. Burada \( c > 1 \) olmalıdır.
• Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği yatay olarak c kat gerilirse, yeni fonksiyon \( g(x) = f(c \cdot x) \) olur. Burada \( 0 < c < 1 \) olmalıdır.
• Grafiğin üzerindeki her \((x, y)\) noktası \( (\frac{x}{c}, y) \) noktasına dönüşür.

Örnek: \( y = x^2 \) grafiği yatay olarak 2 kat sıkıştırılırsa \( y = (2x)^2 \), yatay olarak \( \frac{1}{2} \) kat gerilirse \( y = (\frac{1}{2}x)^2 \) olur.

Dönüşümlerin Sırası 💡

Birden fazla dönüşümün uygulandığı durumlarda genellikle aşağıdaki sıra takip edilir:

1. Yatay öteleme
2. Yatay germe/sıkıştırma
3. Yansımalar (x-ekseni veya y-ekseni)
4. Dikey germe/sıkıştırma
5. Dikey öteleme

Ancak bu sıra, uygulanan dönüşümün türüne ve fonksiyonun yazılış biçimine göre değişebilir. Örneğin, \( y = a \cdot f(b(x - h)) + k \) biçimindeki bir fonksiyonda, dönüşümler genellikle içeriden dışarıya doğru uygulanır.