🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarda Uygulamalar Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarda Uygulamalar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir f fonksiyonu \( f(x) = 3x - 5 \) olarak tanımlanıyor. Buna göre \( f(4) \) değerini bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu soruda, verilen fonksiyonun kuralını kullanarak istenen değer hesaplanacaktır.
- Fonksiyonun kuralı: \( f(x) = 3x - 5 \)
- Hesaplanması istenen değer: \( f(4) \)
- Fonksiyonda \( x \) gördüğümüz yere \( 4 \) yazılır.
- \( f(4) = 3 \times 4 - 5 \)
- \( f(4) = 12 - 5 \)
- \( f(4) = 7 \)
Örnek 2:
Bir g fonksiyonu \( g(x) = x^2 + 2x \) olarak veriliyor. \( g(a+1) \) ifadesinin \( a \) türünden eşitini bulunuz. 🤔
Çözüm:
Fonksiyonun kuralında \( x \) yerine \( a+1 \) ifadesi konularak \( g(a+1) \) hesaplanacaktır.
- Fonksiyonun kuralı: \( g(x) = x^2 + 2x \)
- Hesaplanması istenen ifade: \( g(a+1) \)
- Fonksiyonda \( x \) gördüğümüz yere \( a+1 \) yazılır: \( g(a+1) = (a+1)^2 + 2(a+1) \)
- İfade açılır: \( g(a+1) = (a^2 + 2a + 1) + (2a + 2) \)
- Benzer terimler birleştirilir: \( g(a+1) = a^2 + 4a + 3 \)
Örnek 3:
İki fonksiyon \( h(x) = 2x + 1 \) ve \( k(x) = x - 3 \) olarak tanımlanmıştır. \( (h+k)(2) \) değerini hesaplayınız. ➕
Çözüm:
İki fonksiyonun toplamı, ayrı ayrı fonksiyonların değerlerinin toplamına eşittir.
- Fonksiyonların kuralları: \( h(x) = 2x + 1 \) ve \( k(x) = x - 3 \)
- Hesaplanacak değer: \( (h+k)(2) \)
- Önce \( h(2) \) hesaplanır: \( h(2) = 2 \times 2 + 1 = 4 + 1 = 5 \)
- Sonra \( k(2) \) hesaplanır: \( k(2) = 2 - 3 = -1 \)
- İki değer toplanır: \( (h+k)(2) = h(2) + k(2) = 5 + (-1) = 4 \)
Örnek 4:
Bir otomobilin deposunda bulunan benzin miktarı, geçen zamana bağlı olarak doğrusal bir fonksiyonla ifade edilmektedir. Başlangıçta depoda 50 litre benzin varken, her saat 5 litre benzin tüketilmektedir. Depodaki benzin miktarını gösteren fonksiyonu bulunuz ve 3 saat sonra depoda kaç litre benzin kalacağını hesaplayınız. ⛽
Çözüm:
Bu bir doğrusal fonksiyon problemidir. Zaman \( t \) (saat) ve benzin miktarı \( B(t) \) (litre) olsun.
- Fonksiyon doğrusal olduğu için \( B(t) = mt + n \) şeklindedir.
- Başlangıçta ( \( t=0 \) iken) depoda 50 litre benzin var: \( B(0) = 50 \). Bu, \( n = 50 \) olduğunu gösterir.
- Her saat 5 litre benzin tüketiliyor, yani eğim (değişim oranı) \( m = -5 \) dir.
- Fonksiyonun kuralı: \( B(t) = -5t + 50 \)
- 3 saat sonra depoda kalan benzin miktarını bulmak için \( t=3 \) konulur: \( B(3) = -5 \times 3 + 50 \)
- \( B(3) = -15 + 50 \)
- \( B(3) = 35 \)
Örnek 5:
Bir yazılım firması, geliştirdiği bir uygulamanın kullanıcı sayısını modellemek için bir fonksiyon kullanmaktadır. Uygulamanın ilk ay sonunda \( 1000 \) kullanıcısı varken, her ay kullanıcı sayısı \( 200 \) kişi artmaktadır. \( n \). ay sonunda uygulamanın toplam kullanıcı sayısını veren fonksiyonu \( U(n) \) ile gösteriniz ve 5. ay sonunda kaç kullanıcısı olacağını hesaplayınız. 📈
Çözüm:
Bu durum, doğrusal bir artışı ifade eden bir fonksiyonla modellenebilir.
- \( n \). ay sonundaki kullanıcı sayısı \( U(n) \) olsun.
- Başlangıç (0. ay sonu) kullanıcı sayısı \( U(0) \) olarak düşünülebilir, ancak soruda ilk ay sonu verilmiş.
- İlk ay sonunda \( U(1) = 1000 \)
- Her ay \( 200 \) kişi artıyor, yani değişim oranı \( 200 \).
- Doğrusal fonksiyon \( U(n) = mn + c \) şeklinde olduğundan, \( m = 200 \).
- \( U(n) = 200n + c \)
- \( U(1) = 1000 \) bilgisini kullanarak \( c \) bulunur: \( 1000 = 200 \times 1 + c \implies 1000 = 200 + c \implies c = 800 \).
- Kullanıcı sayısı fonksiyonu: \( U(n) = 200n + 800 \)
- 5. ay sonundaki kullanıcı sayısı: \( U(5) = 200 \times 5 + 800 \)
- \( U(5) = 1000 + 800 \)
- \( U(5) = 1800 \)
Örnek 6:
Bir f fonksiyonu \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \) olarak verilmiştir. \( f(x+1) - f(x) \) farkını bulunuz. 🧮
Çözüm:
Bu soruda, fonksiyonun \( x+1 \) noktasındaki değeri hesaplanacak ve ardından \( x \) noktasındaki değerinden çıkarılacaktır.
- Verilen fonksiyon: \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)
- \( f(x+1) \) hesaplanır: \( f(x+1) = 2(x+1)^2 - 3(x+1) + 1 \)
- \( f(x+1) = 2(x^2 + 2x + 1) - 3x - 3 + 1 \)
- \( f(x+1) = 2x^2 + 4x + 2 - 3x - 3 + 1 \)
- \( f(x+1) = 2x^2 + x \)
- Şimdi fark hesaplanır: \( f(x+1) - f(x) = (2x^2 + x) - (2x^2 - 3x + 1) \)
- \( f(x+1) - f(x) = 2x^2 + x - 2x^2 + 3x - 1 \)
- Benzer terimler birleştirilir: \( f(x+1) - f(x) = 4x - 1 \)
Örnek 7:
Bir manav, elmalarını kilogramı 10 TL'den satmaktadır. Manavın bir gün içinde sattığı toplam elma miktarını \( x \) kg ile gösterirsek, elde ettiği toplam geliri gösteren fonksiyonu \( G(x) \) ile ifade ediniz. Eğer manav bir gün 25 kg elma satarsa, ne kadar gelir elde eder? 🍎
Çözüm:
Gelir, satılan ürün miktarı ile birim fiyatının çarpımına eşittir.
- Satılan elma miktarı: \( x \) kg
- Elmanın kilogram fiyatı: 10 TL
- Toplam gelir fonksiyonu: \( G(x) = \text{maliyet} \times \text{fiyat} \)
- \( G(x) = x \times 10 \)
- \( G(x) = 10x \)
- Eğer manav 25 kg elma satarsa, elde edeceği gelir: \( G(25) \)
- \( G(25) = 10 \times 25 \)
- \( G(25) = 250 \)
Örnek 8:
Bir f fonksiyonu \( f(x) = \frac{x+1}{x-1} \) olarak tanımlanmıştır. \( f(f(x)) \) bileşke fonksiyonunu bulunuz. 🔄
Çözüm:
Bileşke fonksiyon, bir fonksiyonun çıktısının diğer fonksiyonun girdisi olarak kullanılmasıdır.
- Verilen fonksiyon: \( f(x) = \frac{x+1}{x-1} \)
- Hesaplanacak ifade: \( f(f(x)) \)
- Bu, \( f \) fonksiyonunda \( x \) gördüğümüz yere \( f(x) \) ifadesini yazmak demektir.
- \( f(f(x)) = f\left(\frac{x+1}{x-1}\right) \)
- Fonksiyon kuralını uygularsak: \( f(f(x)) = \frac{\left(\frac{x+1}{x-1}\right) + 1}{\left(\frac{x+1}{x-1}\right) - 1} \)
- Pay ve paydadaki kesirleri toplama/çıkarma işlemi için ortak paydaya getirilir:
- Pay: \( \frac{x+1}{x-1} + 1 = \frac{x+1 + (x-1)}{x-1} = \frac{2x}{x-1} \)
- Payda: \( \frac{x+1}{x-1} - 1 = \frac{x+1 - (x-1)}{x-1} = \frac{x+1 - x + 1}{x-1} = \frac{2}{x-1} \)
- Şimdi bu iki ifadeyi oranlayalım: \( f(f(x)) = \frac{\frac{2x}{x-1}}{\frac{2}{x-1}} \)
- Kesirler bölünürken ikinci kesrin tersi ile çarpılır: \( f(f(x)) = \frac{2x}{x-1} \times \frac{x-1}{2} \)
- Sadeleştirme yapılır: \( f(f(x)) = x \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-fonksiyonlarda-uygulamalar/sorular