Fonksiyonlarda Uygulamalar Ders Notu

Fonksiyonlarda Uygulamalar

Fonksiyonlar, matematiksel ilişkileri modellemek için güçlü araçlardır. 11. sınıf müfredatında fonksiyonların günlük yaşamdaki ve çeşitli bilimsel alanlardaki uygulamaları incelenir. Bu uygulamalar, fonksiyonların sadece soyut kavramlar olmadığını, aynı zamanda gerçek dünyadaki problemleri çözmek için nasıl kullanılabileceğini gösterir.

Doğrusal Fonksiyon Uygulamaları

Doğrusal fonksiyonlar, sabit bir değişim oranına sahip durumları temsil eder. En yaygın örneklerden biri, bir aracın belirli bir hızla katettiği mesafedir. Eğer bir araç sabit bir hızla hareket ediyorsa, aldığı yol zamanla doğrusal olarak artar.

Örnek 1: Bir taksinin açılış ücreti 10 TL'dir ve kilometre başına 5 TL ek ücret alınmaktadır. Buna göre, 8 km yol giden bir yolcunun ödeyeceği toplam ücreti veren fonksiyonu bulunuz ve 15 km yol gittiğinde ne kadar ödeyeceğini hesaplayınız.

Çözüm:

Gidilen mesafeyi \( x \) (km) ve ödenecek toplam ücreti \( F(x) \) (TL) ile gösterelim.

Açılış ücreti sabit bir değerdir ve kilometre başına alınan ücret ise doğrusal bir artış sağlar.

Fonksiyonumuz şu şekilde ifade edilebilir:

\[ F(x) = 5x + 10 \]

Şimdi 15 km yol gittiğinde ödenecek ücreti hesaplayalım:

\[ F(15) = 5 \times 15 + 10 \] \[ F(15) = 75 + 10 \] \[ F(15) = 85 \]

Yani, 15 km yol giden bir yolcu 85 TL ödeyecektir.

Karesel Fonksiyon Uygulamaları

Karesel fonksiyonlar (ikinci dereceden fonksiyonlar), parabolik bir eğri çizen durumlarda karşımıza çıkar. Örneğin, bir nesnenin havaya atıldığında izlediği yol veya bir parabol antenin şekli karesel fonksiyonlarla modellenebilir.

Örnek 2: Bir futbolcu, topu yerden \( 20 \) metre yükseklikten \( 30 \) m/s hızla havaya dik olarak vuruyor. Topun yerden yüksekliğini \( t \) saniye sonra \( h(t) \) metre cinsinden veren fonksiyon \( h(t) = -5t^2 + 30t + 20 \) olarak veriliyor. Topun maksimum yüksekliğe ulaştığı anı ve bu andaki yüksekliğini bulunuz.

Çözüm:

Karesel fonksiyonun tepe noktası, maksimum veya minimum değeri verir. Bu fonksiyonun tepe noktasının \( t \) koordinatı, maksimum yüksekliğe ulaşılan anı verir.

Bir \( ax^2 + bx + c \) şeklindeki karesel fonksiyonun tepe noktasının \( x \) koordinatı \( -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur.

Bizim fonksiyonumuzda \( a = -5 \), \( b = 30 \) ve \( c = 20 \)'dir.

Maksimum yüksekliğe ulaşılan \( t \) anı:

\[ t_{tepe} = -\frac{30}{2 \times (-5)} \] \[ t_{tepe} = -\frac{30}{-10} \] \[ t_{tepe} = 3 \]

Yani top, 3 saniye sonra maksimum yüksekliğe ulaşacaktır.

Bu andaki yüksekliği bulmak için \( t=3 \) değerini fonksiyonda yerine koyalım:

\[ h(3) = -5(3)^2 + 30(3) + 20 \] \[ h(3) = -5(9) + 90 + 20 \] \[ h(3) = -45 + 90 + 20 \] \[ h(3) = 45 + 20 \] \[ h(3) = 65 \]

Topun maksimum yüksekliği 65 metredir.

Üstel Fonksiyon Uygulamaları

Üstel fonksiyonlar, büyüme veya azalma oranının orantılı olduğu durumları modeller. Nüfus artışı, faiz hesaplamaları, radyoaktif bozunma gibi olaylar üstel fonksiyonlarla ifade edilebilir.

Örnek 3: Bir bakterinin başlangıçta \( 100 \) adet olduğu ve her saat \( 2 \) katına çıktığı biliniyor. \( t \) saat sonraki bakteri sayısını veren fonksiyonu yazınız ve 4 saat sonra kaç bakteri olacağını hesaplayınız.

Çözüm:

Başlangıç sayısı \( N_0 = 100 \) ve büyüme oranı \( r = 2 \) (her saat 2 katına çıkıyor) olsun.

Üstel büyüme fonksiyonu genel olarak \( N(t) = N_0 \times r^t \) şeklindedir.

Bu duruma göre fonksiyonumuz:

\[ N(t) = 100 \times 2^t \]

4 saat sonraki bakteri sayısı:

\[ N(4) = 100 \times 2^4 \] \[ N(4) = 100 \times 16 \] \[ N(4) = 1600 \]

4 saat sonra 1600 bakteri olacaktır.

Logaritmik Fonksiyon Uygulamaları

Logaritmik fonksiyonlar, üstel fonksiyonların tersi olarak düşünülebilir ve genellikle büyük ölçekli verileri daha yönetilebilir hale getirmek için kullanılır. Örneğin, deprem büyüklüğünün ölçüldüğü Richter ölçeği veya ses şiddetinin ölçüldüğü desibel ölçeği logaritmik prensiplere dayanır.

Örnek 4: Bir kimyasal reaksiyonda, \( t \) dakika sonra ortamdaki \( A \) maddesinin miktarı \( A(t) = A_0 \times e^{-kt} \) şeklinde azalmaktadır. Başlangıçta \( A_0 = 50 \) gram olan madde, 10 dakika sonra \( 25 \) grama düşüyor. \( k \) değerini bulunuz.

Çözüm:

Verilenler:

• \( A_0 = 50 \) gram
• \( t = 10 \) dakika iken \( A(10) = 25 \) gram

Fonksiyon:

\[ A(t) = A_0 \times e^{-kt} \]

Verilen değerleri yerine koyalım:

\[ 25 = 50 \times e^{-k \times 10} \]

Her iki tarafı 50'ye bölelim:

\[ \frac{25}{50} = e^{-10k} \] \[ 0.5 = e^{-10k} \]

Her iki tarafın doğal logaritmasını alalım:

\[ \ln(0.5) = \ln(e^{-10k}) \] \[ \ln(0.5) = -10k \]

Şimdi \( k \) değerini bulalım:

\[ k = \frac{\ln(0.5)}{-10} \]

Bildiğimiz gibi \( \ln(0.5) = \ln(\frac{1}{2}) = -\ln(2) \).

\[ k = \frac{-\ln(2)}{-10} \] \[ k = \frac{\ln(2)}{10} \]

Yaklaşık olarak \( \ln(2) \approx 0.693 \) olduğundan,

\[ k \approx \frac{0.693}{10} \approx 0.0693 \]

Bu, maddenin azalma hızını ifade eden bir sabittir.