Aşağıda verilen ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz:
\[ x^2 - 7x + 10 < 0 \]
Çözüm ve Açıklama
Eşitsizliği çözmek için şu adımları takip edelim: 💡
- 1. Adım: İfadeyi çarpanlarına ayırarak kökleri bulalım.
- \( x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5) = 0 \)
- Buradan kökler \( x = 2 \) ve \( x = 5 \) olarak bulunur.
- 2. Adım: İşaret tablosunu inceleyelim.
- En yüksek dereceli terimin (\( x^2 \)) katsayısı pozitif (+) olduğu için tablonun en sağından (+) ile başlanır.
- \( (2, 5) \) aralığında ifadenin işareti negatif (-) olur.
- 3. Adım: Bizden ifadenin 0'dan küçük (\( < 0 \)) olduğu yerler istendiği için negatif aralığı seçeriz.
✅ Çözüm Kümesi: \( (2, 5) \)
Aşağıdaki eşitsizliğin gerçek sayılardaki çözüm kümesini bulunuz:
\[ \frac{x - 3}{x + 4} \ge 0 \]
Çözüm ve Açıklama
Rasyonel eşitsizliklerde pay ve paydanın kökleri ayrı ayrı bulunur: 📌
- Payın kökü: \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
- Paydanın kökü: \( x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \) (Payda asla 0 olamaz!)
- İşaret Analizi: Payın katsayısı (+), paydanın katsayısı (+) olduğu için sonuç (+) ile başlar.
- Tablo sıralaması: \( -\infty \) ile -4 arası (+), -4 ile 3 arası (-), 3 ile \( +\infty \) arası (+).
- Eşitsizlik \( \ge 0 \) dediği için pozitif bölgeleri ve payın kökünü dahil ederiz.
👉 Dikkat: \( x = -4 \) değeri paydayı tanımsız yaptığı için çözüm kümesine dahil edilmez.
✅ Çözüm Kümesi: \( (-\infty, -4) \cup [3, \infty) \)
Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\[ x^2 - 9 \le 0 \]
\[ x - 1 > 0 \]
Çözüm ve Açıklama
Sistemdeki her iki eşitsizliği de ayrı ayrı çözelim: 🔍
- 1. Eşitsizlik: \( x^2 - 9 \le 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) \le 0 \)
- Kökler: -3 ve 3. İşaret tablosuna göre çözüm aralığı: \( [-3, 3] \)
- 2. Eşitsizlik: \( x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \)
- Çözüm aralığı: \( (1, \infty) \)
- Ortak Çözüm: Her iki aralığın kesişimini almalıyız.
- \( [-3, 3] \cap (1, \infty) = (1, 3] \)
✅ Çözüm Kümesi: \( (1, 3] \)
Aşağıda verilen eşitsizliği sağlayan \( x \) tam sayılarının toplamını bulunuz:
\[ (x - 4)^2 \cdot (x + 2) \cdot (5 - x) \ge 0 \]
Çözüm ve Açıklama
Kökleri ve katlılık durumlarını belirleyelim: ⚠️
- \( (x - 4)^2 = 0 \Rightarrow x = 4 \) (Çift katlı kök)
- \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \) (Tek katlı kök)
- \( 5 - x = 0 \Rightarrow x = 5 \) (Tek katlı kök)
- İşaret Belirleme: \( (+)^2 \cdot (+) \cdot (-) = (-) \). Tabloya en sağdan (-) ile başlanır.
- 5'ten büyük değerler için: (-)
- 4 ile 5 arası: (+)
- -2 ile 4 arası: (+) (Çift katlı kökte işaret değişmez!)
- -2'den küçük değerler için: (-)
- Eşitsizlik \( \ge 0 \) olduğu için pozitif bölgeler ve kökler alınır: \( [-2, 5] \)
- Bu aralıktaki tam sayılar: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
✅ Toplam: \( -2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 12 \)
Bir kenar uzunluğu \( x - 2 \) birim, diğer kenar uzunluğu \( x + 3 \) birim olan bir dikdörtgenin alanı 14 birimkareden küçüktür.
Buna göre, \( x \)'in alabileceği en geniş değer aralığını bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda hem alan formülünü hem de uzunluk kavramını kullanmalıyız: 📐
- 1. Şart (Geometrik): Kenar uzunlukları daima pozitif olmalıdır.
- \( x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \)
- \( x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3 \)
- Bu iki şarttan \( x > 2 \) sonucuna ulaşırız.
- 2. Şart (Alan): Alan \( < 14 \) olmalıdır.
- \( (x - 2)(x + 3) < 14 \)
- \( x^2 + x - 6 < 14 \Rightarrow x^2 + x - 20 < 0 \)
- Çarpanlara ayırırsak: \( (x + 5)(x - 4) < 0 \)
- Kökler: -5 ve 4. Tabloya göre çözüm: \( (-5, 4) \)
- Sonuç: İki şartı birleştirirsek: \( x > 2 \) ve \( -5 < x < 4 \)
✅ Çözüm Aralığı: \( (2, 4) \)
Bir teknoloji mağazasında bir kulaklığın alış fiyatı \( x \) TL, satış fiyatı ise \( x^2 - 9x + 41 \) TL'dir.
Mağazanın bu satıştan kar edebilmesi için \( x \) alış fiyatının hangi aralıkta olması gerekir? (\( x > 0 \))
Çözüm ve Açıklama
Kar elde etmek için satış fiyatının alış fiyatından büyük olması gerekir: 💰
- Denklem: Satış Fiyatı \( > \) Alış Fiyatı
- \( x^2 - 9x + 41 > x \)
- \( x^2 - 10x + 41 > 0 \)
- Bu ifadenin köklerini bulmak için diskriminantına (\( \Delta \)) bakalım:
- \( \Delta = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 41 = 100 - 164 = -64 \)
- \( \Delta < 0 \) olduğu için ifadenin reel kökü yoktur.
- İfadenin baş katsayısı (+) olduğu için, bu ifade tüm \( x \) değerleri için daima pozitiftir.
- Ancak soruda \( x > 0 \) şartı verilmiştir.
✅ Sonuç: Alış fiyatı pozitif olan tüm değerler için mağaza kar eder. \( (0, \infty) \)
Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz:
\[ \frac{-2}{x^2 - 16} > 0 \]
Çözüm ve Açıklama
Rasyonel bir ifadenin işaretini belirleyelim: 🧪
- Pay kısmındaki sayı -2'dir ve daima negatiftir (-).
- Sonucun 0'dan büyük (+) çıkması için paydanın da negatif (-) olması gerekir.
- Yani: \( x^2 - 16 < 0 \) olmalıdır.
- \( (x - 4)(x + 4) < 0 \)
- Kökler: -4 ve 4.
- İşaret tablosuna göre \( x^2 - 16 \) ifadesi \( (-4, 4) \) aralığında negatiftir.
✅ Çözüm Kümesi: \( (-4, 4) \)
Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan en küçük pozitif tam sayı ile en büyük negatif tam sayının toplamı kaçtır?
\[ \frac{x^2 - x - 6}{x} \le 0 \]
Çözüm ve Açıklama
Kökleri bulup tabloyu oluşturalım: 🧮
- Payın kökleri: \( x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 3, x = -2 \)
- Paydanın kökü: \( x = 0 \)
- Kökleri küçükten büyüğe sıralayalım: -2, 0, 3.
- İşaret: Payın katsayısı (+), paydanın katsayısı (+) olduğu için (+) ile başlanır.
- 3'ten büyük: (+)
- 0 ile 3 arası: (-)
- -2 ile 0 arası: (+)
- -2'den küçük: (-)
- Eşitsizlik \( \le 0 \) dediği için negatif bölgeleri alırız: \( (-\infty, -2] \cup (0, 3] \)
- En küçük pozitif tam sayı: 1
- En büyük negatif tam sayı: -2
✅ Toplam: \( 1 + (-2) = -1 \)
11. Sınıf Matematik: Eşitsizlikler çözümlü sorular Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz:
\[ x^2 - 7x + 10 < 0 \]
Çözüm:
Eşitsizliği çözmek için şu adımları takip edelim: 💡
- 1. Adım: İfadeyi çarpanlarına ayırarak kökleri bulalım.
- \( x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5) = 0 \)
- Buradan kökler \( x = 2 \) ve \( x = 5 \) olarak bulunur.
- 2. Adım: İşaret tablosunu inceleyelim.
- En yüksek dereceli terimin (\( x^2 \)) katsayısı pozitif (+) olduğu için tablonun en sağından (+) ile başlanır.
- \( (2, 5) \) aralığında ifadenin işareti negatif (-) olur.
- 3. Adım: Bizden ifadenin 0'dan küçük (\( < 0 \)) olduğu yerler istendiği için negatif aralığı seçeriz.
✅ Çözüm Kümesi: \( (2, 5) \)
Örnek 2:
Aşağıdaki eşitsizliğin gerçek sayılardaki çözüm kümesini bulunuz:
\[ \frac{x - 3}{x + 4} \ge 0 \]
Çözüm:
Rasyonel eşitsizliklerde pay ve paydanın kökleri ayrı ayrı bulunur: 📌
- Payın kökü: \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
- Paydanın kökü: \( x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \) (Payda asla 0 olamaz!)
- İşaret Analizi: Payın katsayısı (+), paydanın katsayısı (+) olduğu için sonuç (+) ile başlar.
- Tablo sıralaması: \( -\infty \) ile -4 arası (+), -4 ile 3 arası (-), 3 ile \( +\infty \) arası (+).
- Eşitsizlik \( \ge 0 \) dediği için pozitif bölgeleri ve payın kökünü dahil ederiz.
👉 Dikkat: \( x = -4 \) değeri paydayı tanımsız yaptığı için çözüm kümesine dahil edilmez.
✅ Çözüm Kümesi: \( (-\infty, -4) \cup [3, \infty) \)
Örnek 3:
Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\[ x^2 - 9 \le 0 \]
\[ x - 1 > 0 \]
Çözüm:
Sistemdeki her iki eşitsizliği de ayrı ayrı çözelim: 🔍
- 1. Eşitsizlik: \( x^2 - 9 \le 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) \le 0 \)
- Kökler: -3 ve 3. İşaret tablosuna göre çözüm aralığı: \( [-3, 3] \)
- 2. Eşitsizlik: \( x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \)
- Çözüm aralığı: \( (1, \infty) \)
- Ortak Çözüm: Her iki aralığın kesişimini almalıyız.
- \( [-3, 3] \cap (1, \infty) = (1, 3] \)
✅ Çözüm Kümesi: \( (1, 3] \)
Örnek 4:
Aşağıda verilen eşitsizliği sağlayan \( x \) tam sayılarının toplamını bulunuz:
\[ (x - 4)^2 \cdot (x + 2) \cdot (5 - x) \ge 0 \]
Çözüm:
Kökleri ve katlılık durumlarını belirleyelim: ⚠️
- \( (x - 4)^2 = 0 \Rightarrow x = 4 \) (Çift katlı kök)
- \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \) (Tek katlı kök)
- \( 5 - x = 0 \Rightarrow x = 5 \) (Tek katlı kök)
- İşaret Belirleme: \( (+)^2 \cdot (+) \cdot (-) = (-) \). Tabloya en sağdan (-) ile başlanır.
- 5'ten büyük değerler için: (-)
- 4 ile 5 arası: (+)
- -2 ile 4 arası: (+) (Çift katlı kökte işaret değişmez!)
- -2'den küçük değerler için: (-)
- Eşitsizlik \( \ge 0 \) olduğu için pozitif bölgeler ve kökler alınır: \( [-2, 5] \)
- Bu aralıktaki tam sayılar: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
✅ Toplam: \( -2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 12 \)
Örnek 5:
Bir kenar uzunluğu \( x - 2 \) birim, diğer kenar uzunluğu \( x + 3 \) birim olan bir dikdörtgenin alanı 14 birimkareden küçüktür.
Buna göre, \( x \)'in alabileceği en geniş değer aralığını bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda hem alan formülünü hem de uzunluk kavramını kullanmalıyız: 📐
- 1. Şart (Geometrik): Kenar uzunlukları daima pozitif olmalıdır.
- \( x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \)
- \( x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3 \)
- Bu iki şarttan \( x > 2 \) sonucuna ulaşırız.
- 2. Şart (Alan): Alan \( < 14 \) olmalıdır.
- \( (x - 2)(x + 3) < 14 \)
- \( x^2 + x - 6 < 14 \Rightarrow x^2 + x - 20 < 0 \)
- Çarpanlara ayırırsak: \( (x + 5)(x - 4) < 0 \)
- Kökler: -5 ve 4. Tabloya göre çözüm: \( (-5, 4) \)
- Sonuç: İki şartı birleştirirsek: \( x > 2 \) ve \( -5 < x < 4 \)
✅ Çözüm Aralığı: \( (2, 4) \)
Örnek 6:
Bir teknoloji mağazasında bir kulaklığın alış fiyatı \( x \) TL, satış fiyatı ise \( x^2 - 9x + 41 \) TL'dir.
Mağazanın bu satıştan kar edebilmesi için \( x \) alış fiyatının hangi aralıkta olması gerekir? (\( x > 0 \))
Çözüm:
Kar elde etmek için satış fiyatının alış fiyatından büyük olması gerekir: 💰
- Denklem: Satış Fiyatı \( > \) Alış Fiyatı
- \( x^2 - 9x + 41 > x \)
- \( x^2 - 10x + 41 > 0 \)
- Bu ifadenin köklerini bulmak için diskriminantına (\( \Delta \)) bakalım:
- \( \Delta = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 41 = 100 - 164 = -64 \)
- \( \Delta < 0 \) olduğu için ifadenin reel kökü yoktur.
- İfadenin baş katsayısı (+) olduğu için, bu ifade tüm \( x \) değerleri için daima pozitiftir.
- Ancak soruda \( x > 0 \) şartı verilmiştir.
✅ Sonuç: Alış fiyatı pozitif olan tüm değerler için mağaza kar eder. \( (0, \infty) \)
Örnek 7:
Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz:
\[ \frac{-2}{x^2 - 16} > 0 \]
Çözüm:
Rasyonel bir ifadenin işaretini belirleyelim: 🧪
- Pay kısmındaki sayı -2'dir ve daima negatiftir (-).
- Sonucun 0'dan büyük (+) çıkması için paydanın da negatif (-) olması gerekir.
- Yani: \( x^2 - 16 < 0 \) olmalıdır.
- \( (x - 4)(x + 4) < 0 \)
- Kökler: -4 ve 4.
- İşaret tablosuna göre \( x^2 - 16 \) ifadesi \( (-4, 4) \) aralığında negatiftir.
✅ Çözüm Kümesi: \( (-4, 4) \)
Örnek 8:
Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan en küçük pozitif tam sayı ile en büyük negatif tam sayının toplamı kaçtır?
\[ \frac{x^2 - x - 6}{x} \le 0 \]
Çözüm:
Kökleri bulup tabloyu oluşturalım: 🧮
- Payın kökleri: \( x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 3, x = -2 \)
- Paydanın kökü: \( x = 0 \)
- Kökleri küçükten büyüğe sıralayalım: -2, 0, 3.
- İşaret: Payın katsayısı (+), paydanın katsayısı (+) olduğu için (+) ile başlanır.
- 3'ten büyük: (+)
- 0 ile 3 arası: (-)
- -2 ile 0 arası: (+)
- -2'den küçük: (-)
- Eşitsizlik \( \le 0 \) dediği için negatif bölgeleri alırız: \( (-\infty, -2] \cup (0, 3] \)
- En küçük pozitif tam sayı: 1
- En büyük negatif tam sayı: -2
✅ Toplam: \( 1 + (-2) = -1 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-esitsizlikler-cozumlu-sorular/sorular
İçerik Hazırlanıyor...
Lütfen sayfayı kapatmayın, bu işlem 30-40 saniye sürebilir.