Eşitsizlikler çözümlü sorular Ders Notu

📉 İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

11. Sınıf matematik müfredatının temel taşlarından biri olan eşitsizlikler, bir değişkenin alabileceği değer aralıklarını belirlememize yarayan matematiksel ifadelerdir. İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler genel olarak \( ax^2 + bx + c < 0 \), \( ax^2 + bx + c \leq 0 \), \( ax^2 + bx + c > 0 \) veya \( ax^2 + bx + c \geq 0 \) biçiminde gösterilir.

🔍 Çözüm Yöntemi ve İşaret Tablosu

Eşitsizlikleri çözmek için izlenmesi gereken sistematik adımlar şunlardır:

• Kökleri Bulma: İfadeyi sıfıra eşitleyerek denklemin köklerini bulun.
• Tablo Oluşturma: Kökleri küçükten büyüğe doğru bir sayı doğrusu tablosuna yerleştirin.
• İşaret Belirleme: En sağdaki aralıktan başlayarak, \( x^2 \) teriminin katsayısının işaretine göre artı veya eksi işaretini yerleştirin. Her kökte işaret değiştirin (çift katlı kök hariç).
• Çözüm Kümesi: Eşitsizliğin yönüne göre uygun bölgeleri tarayın.

Önemli Not: Eğer ifade içerisinde çift katlı kök varsa (örneğin \( (x-2)^2 = 0 \)), o kökte işaret değişmez.

📝 Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Temel Eşitsizlik Çözümü

İfadesi \( x^2 - 5x + 6 < 0 \) olan eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

Öncelikle ifadeyi çarpanlarına ayıralım: \( (x - 2) \times (x - 3) = 0 \). Buradan kökler \( x_1 = 2 \) ve \( x_2 = 3 \) olarak bulunur.

Tabloyu incelediğimizde:

• \( (-\infty, 2) \) aralığında ifade pozitiftir.
• \( (2, 3) \) aralığında ifade negatiftir.
• \( (3, \infty) \) aralığında ifade pozitiftir.

Eşitsizlik \( < 0 \) olduğu için çözüm kümesi \( (2, 3) \) aralığıdır.

Örnek 2: Paydalı Eşitsizlikler

İfadesi \( \frac{x + 4}{x - 1} \leq 0 \) olan eşitsizliği inceleyiniz.

Çözüm:

Payı sıfır yapan kök: \( x = -4 \). Paydayı sıfır yapan kök: \( x = 1 \).

Tabloda \( x = 1 \) değeri paydayı tanımsız yaptığı için çözüm kümesine dahil edilmez (açık aralık), ancak \( x = -4 \) değeri ifadeyi sıfır yaptığı için dahil edilir (kapalı aralık).

İşaret analizi yapıldığında çözüm kümesi \( [-4, 1) \) olarak bulunur.

📊 Günlük Yaşamdan Bir Kesit

Bir üreticinin günlük kârı \( P(x) = -x^2 + 10x - 16 \) fonksiyonu ile modellenmiştir. Üreticinin kâr elde edebilmesi için \( P(x) > 0 \) olması gerekir.

Durum	Sonuç
\( x < 2 \)	Zarar
\( 2 < x < 8 \)	Kâr
\( x > 8 \)	Zarar

Bu tabloya göre üretici, günlük üretim miktarını 2 ile 8 birim arasında tutarsa kâr elde edecektir.

💡 Kritik İpuçları

• Paydayı sıfır yapan değerleri çözüm kümesine asla dahil etmeyin.
• Eşitsizlikte \( \leq \) veya \( \geq \) sembolleri varsa kökleri kapalı aralık olarak, \( < \) veya \( > \) varsa açık aralık olarak belirtin.
• Eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayı ile çarparsanız eşitsizlik yön değiştirir.