💡 11. Sınıf Matematik: Eşitsizlik sistemleri Çözümlü Örnekler

Bu tür eşitsizlik sistemlerinin çözümünü bulmak için her bir eşitsizliği ayrı ayrı ele alırız ve ardından kesişimlerini alırız.

• 1. Eşitsizlik: \( x + y \le 5 \)
• Bu eşitsizliğin sınır doğrusu \( x + y = 5 \) doğrusudur. Bu doğruyu çizelim.
• Doğrunun hangi tarafını tarayacağımızı bulmak için orijin noktasını (0,0) deneyelim: \( 0 + 0 \le 5 \), bu \( 0 \le 5 \) olur ki doğrudur. Bu nedenle, doğrunun orijini içeren tarafı taranır.
• Eşitsizlikte eşitlik (\(\le\)) olduğu için sınır doğrusu da çözüm kümesine dahildir (dolu çizgi ile gösterilir).
• 2. Eşitsizlik: \( x - y > 1 \)
• Bu eşitsizliğin sınır doğrusu \( x - y = 1 \) doğrusudur. Bu doğruyu çizelim.
• Doğrunun hangi tarafını tarayacağımızı bulmak için orijin noktasını (0,0) deneyelim: \( 0 - 0 > 1 \), bu \( 0 > 1 \) olur ki yanlıştır. Bu nedenle, doğrunun orijini içermeyen tarafı taranır.
• Eşitsizlikte eşitlik olmadığı (\(>\)) için sınır doğrusu çözüm kümesine dahil değildir (kesikli çizgi ile gösterilir).
• Çözüm Kümesi: Her iki eşitsizliği de sağlayan noktalar, iki taralı bölgenin kesişim noktalarıdır. Bu bölge, \( x + y = 5 \) doğrusunun altında ve \( x - y = 1 \) doğrusunun üstünde kalan alandır.

👉 Sonuç olarak, eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, bu iki doğrunun belirttiği bölgelerin kesişimidir.

Soruda verilen bilgileri matematiksel ifadelere dönüştürelim:

• "Bir fincan çayın fiyatı en az 10 TL'dir." ifadesi, çayın fiyatının 10 TL'ye eşit veya 10 TL'den fazla olduğunu belirtir. Bunu eşitsizlik olarak şöyle yazarız: \( c \ge 10 \).
• "Bir fincan kahvenin fiyatı en fazla 20 TL'dir." ifadesi, kahvenin fiyatının 20 TL'ye eşit veya 20 TL'den az olduğunu belirtir. Bunu eşitsizlik olarak şöyle yazarız: \( k \le 20 \).
• "Bir fincan çay ile bir fincan kahvenin toplam fiyatı 25 TL'den azdır." ifadesi, \( c + k < 25 \) şeklinde yazılır.

📌 Bu üç eşitsizliği bir araya getirdiğimizde, eşitsizlik sistemini elde ederiz: \[ \begin{cases} c \ge 10 \\ k \le 20 \\ c + k < 25 \end{cases} \] ✅ Bu sistem, çay ve kahve fiyatlarının alabileceği değerleri tanımlar.

Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulmak için her bir eşitsizliğin sınır doğrularını çizer ve ilgili bölgeleri tararız.

• 1. Eşitsizlik: \( 2x + y < 6 \)
• Sınır doğrusu: \( 2x + y = 6 \).
• x=0 için y=6, y=0 için x=3. Noktalar (0,6) ve (3,0).
• Orijin (0,0) için: \( 2(0) + 0 < 6 \implies 0 < 6 \) (Doğru). Bu nedenle doğrunun orijini içeren tarafı taranır.
• Eşitsizlikte eşitlik olmadığı için sınır doğrusu kesikli çizilecektir.
• 2. Eşitsizlik: \( x - y \ge -3 \)
• Sınır doğrusu: \( x - y = -3 \).
• x=0 için y=3, y=0 için x=-3. Noktalar (0,3) ve (-3,0).
• Orijin (0,0) için: \( 0 - 0 \ge -3 \implies 0 \ge -3 \) (Doğru). Bu nedenle doğrunun orijini içeren tarafı taranır.
• Eşitsizlikte eşitlik olduğu için sınır doğrusu dolu çizilecektir.
• Çözüm Kümesi: Her iki eşitsizliği de sağlayan noktalar, taralı bölgelerin kesişimidir. Bu bölge, \( 2x + y = 6 \) doğrusunun altında (kesikli çizgi) ve \( x - y = -3 \) doğrusunun üstünde (dolu çizgi) kalan alandır.

👉 Grafikte, \( 2x + y = 6 \) doğrusunun altında kalan ve \( x - y = -3 \) doğrusunun üstünde kalan bölge, sistemin çözüm kümesini oluşturur.

Öncelikle verilen bilgileri kullanarak eşitsizlik sistemini oluşturalım:

• Üretim Süresi Kısıtlaması: A ürününün \(x\) adet üretimi \(2x\) saat, B ürününün \(y\) adet üretimi \(3y\) saat sürer. Toplam üretim süresi en fazla 18 saat olmalıdır.
• \( 2x + 3y \le 18 \)
• Maliyet Kısıtlaması: A ürününün \(x\) adet maliyeti \(5x\) TL, B ürününün \(y\) adet maliyeti \(4y\) TL'dir. Toplam maliyet en fazla 28 TL olmalıdır.
• \( 5x + 4y \le 28 \)
• Üretim Miktarı Kısıtlamaları: Üretilen ürün miktarları negatif olamaz.
• \( x \ge 0 \)
• \( y \ge 0 \)

📌 Bu bilgilerle eşitsizlik sistemi şöyledir: \[ \begin{cases} 2x + 3y \le 18 \\ 5x + 4y \le 28 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases} \] Grafiksel Çözüm:

• Her bir eşitsizliğin sınır doğrularını çizelim:
• \( 2x + 3y = 18 \): (0,6) ve (9,0) noktalarından geçer. \( x \ge 0, y \ge 0 \) bölgesinde bu doğrunun altı taranır.
• \( 5x + 4y = 28 \): (0,7) ve (5.6,0) noktalarından geçer. \( x \ge 0, y \ge 0 \) bölgesinde bu doğrunun altı taranır.
• \( x = 0 \) (y ekseni) ve \( y = 0 \) (x ekseni) sınırları, çözüm kümesini birinci bölgede sınırlar.
• Çözüm kümesi, bu doğruların belirlediği ve birinci bölgede kalan kapalı bölgedir. Bu bölgenin köşeleri, sistemin olası maksimum veya minimum değerlerini bulmak için önemlidir.

✅ Bu sistemin çözüm kümesi, ilk dört eşitsizliği aynı anda sağlayan \( (x,y) \) noktalarının oluşturduğu kapalı bölgedir.

Öğrencinin hafta sonu planını matematiksel olarak ifade edelim:

• Çalışma Süresi: En az 3 saat olmalı.
• \( ç \ge 3 \)
• Dinlenme Süresi: En fazla 5 saat olmalı.
• \( d \le 5 \)
• Toplam Süre: 8 saati geçmemeli.
• \( ç + d \le 8 \)

📌 Bu üç koşulu birleştirdiğimizde, öğrencinin hafta sonu planını gösteren eşitsizlik sistemi şu şekildedir: \[ \begin{cases} ç \ge 3 \\ d \le 5 \\ ç + d \le 8 \end{cases} \] 💡 Bu sistem, öğrencinin çalışma ve dinlenme saatlerinin hangi aralıklarda olması gerektiğini belirler. Örneğin, 4 saat çalışırsa (ç=4), dinlenme süresi \(d \le 5\) ve \(4+d \le 8 \implies d \le 4\) olmalıdır. Yani 4 saat çalışırsa en fazla 4 saat dinlenebilir.

Öncelikle eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini grafik üzerinde gösterelim:

• 1. Eşitsizlik: \( x + 2y > 4 \)
• Sınır doğrusu: \( x + 2y = 4 \).
• Noktalar: (0,2) ve (4,0).
• Orijin (0,0) için: \( 0 + 2(0) > 4 \implies 0 > 4 \) (Yanlış). Bu nedenle doğrunun orijini içermeyen tarafı taranır.
• Eşitsizlikte eşitlik olmadığı için sınır doğrusu kesikli çizilecektir.
• 2. Eşitsizlik: \( 3x - y \le 6 \)
• Sınır doğrusu: \( 3x - y = 6 \).
• Noktalar: (0,-6) ve (2,0).
• Orijin (0,0) için: \( 3(0) - 0 \le 6 \implies 0 \le 6 \) (Doğru). Bu nedenle doğrunun orijini içeren tarafı taranır.
• Eşitsizlikte eşitlik olduğu için sınır doğrusu dolu çizilecektir.
• Çözüm Kümesi Grafiği: Bu iki doğrunun belirttiği ve kesiştiği bölge, sistemin çözüm kümesidir.

Tam Sayı Koordinatlı Noktaların Bulunması:

• Grafiği çizdikten sonra, her iki eşitsizliği de sağlayan tam sayı koordinatlı noktaları belirlememiz gerekir. Bu noktalar, taralı bölgenin içinde veya dolu çizgi üzerindedir (kesikli çizgi üzerindekiler hariç).
• Örnek olarak, bazı noktaları deneyelim:
• (2,1): \( 2 + 2(1) = 4 \ngtr 4 \) (1. eşitsizliği sağlamaz).
• (3,1): \( 3 + 2(1) = 5 > 4 \) (Doğru). \( 3(3) - 1 = 9 - 1 = 8 \not\le 6 \) (2. eşitsizliği sağlamaz).
• (2,2): \( 2 + 2(2) = 6 > 4 \) (Doğru). \( 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4 \le 6 \) (Doğru). Nokta (2,2) çözüm kümesindedir.
• (3,2): \( 3 + 2(2) = 7 > 4 \) (Doğru). \( 3(3) - 2 = 9 - 2 = 7 \not\le 6 \) (2. eşitsizliği sağlamaz).
• (2,3): \( 2 + 2(3) = 8 > 4 \) (Doğru). \( 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3 \le 6 \) (Doğru). Nokta (2,3) çözüm kümesindedir.

👉 Bu şekilde, taralı bölge içinde kalan tüm tam sayı koordinatlı noktalar tek tek kontrol edilerek bulunabilir.

Bu eşitsizlik sistemi, \(x\) ve \(y\) değişkenleri için ayrı ayrı koşullar belirtmektedir.

• 1. Eşitsizlik: \( x \ge 2 \)
• Bu eşitsizlik, \(x\) değerinin 2'ye eşit veya 2'den büyük olması gerektiğini söyler.
• Yani, \(x\) için olası değerler \( \{2, 3, 4, 5, ...\} \) gibi sayılardır.
• 2. Eşitsizlik: \( y < 3 \)
• Bu eşitsizlik, \(y\) değerinin 3'ten küçük olması gerektiğini söyler.
• Yani, \(y\) için olası değerler \( \{..., 0, 1, 2\} \) gibi sayılardır.
• Çözüm Kümesi: Bu sistemin çözüm kümesi, \(x \ge 2\) koşulunu ve \(y < 3\) koşulunu aynı anda sağlayan tüm \( (x,y) \) sıralı ikilileridir.

💡 Örneğin, \( (3, 1) \) sıralı ikilisi bu sistemi sağlar çünkü \( 3 \ge 2 \) ve \( 1 < 3 \) doğrudur. Ancak \( (1, 2) \) sağlamaz çünkü \( 1 \ge 2 \) yanlıştır.

Bahçeye dikilecek çiçeklerle ilgili kısıtlamaları matematiksel ifadelere dökelim:

• Gül Sayısı: En az 5 adet.
• \( g \ge 5 \)
• Lale Sayısı: En fazla 7 adet.
• \( l \le 7 \)
• Toplam Çiçek Sayısı: 10 adeti geçmemeli.
• \( g + l \le 10 \)

📌 Bu üç eşitsizliği bir araya getirdiğimizde, çiçek dikimi için geçerli olan eşitsizlik sistemi şu şekilde olur: \[ \begin{cases} g \ge 5 \\ l \le 7 \\ g + l \le 10 \end{cases} \] ✅ Bu sistem, bahçeye dikilebilecek gül ve lale sayılarının hangi koşulları sağlaması gerektiğini belirtir.

Öğrencinin sınav notları ile ilgili koşulları matematiksel olarak ifade edelim:

• Ortalama Notu: En az 70 olmalı.
• \( \frac{m+f}{2} \ge 70 \)
• Bu eşitsizliği düzenlersek: \( m + f \ge 140 \)
• Matematik Notu: En fazla 90 olabilir.
• \( m \le 90 \)
• Fizik Notu: En az 60 olmalı.
• \( f \ge 60 \)

📌 Bu üç eşitsizliği bir araya getirdiğimizde, eşitsizlik sistemi şu şekilde olur: \[ \begin{cases} m + f \ge 140 \\ m \le 90 \\ f \ge 60 \end{cases} \] Matematik Notu 80 Olduğunda Fizik Notunun Değerler Aralığı:

• Eğer \( m = 80 \) ise, eşitsizlik sistemindeki koşulları bu değere göre güncelleyelim:
• \( 80 + f \ge 140 \implies f \ge 140 - 80 \implies f \ge 60 \)
• \( 80 \le 90 \) (Bu koşul zaten sağlanıyor)
• \( f \ge 60 \) (Bu koşul da zaten sağlanıyor)

💡 Bu durumda, matematik notu 80 iken fizik notu için tek bir kısıtlama kalır: \( f \ge 60 \). Ancak, ortalama notunun en az 70 olması için \( f \ge 60 \) olmalıdır. Ayrıca, toplam notun 140 olması için \( 80 + f \ge 140 \implies f \ge 60 \) olmalıdır. Fizik notunun en az 60 olması gerektiği bilgisi de zaten verilmiş. Bu durumda, matematik notu 80 iken fizik notunun alabileceği değerler aralığı \( [60, \infty) \) gibi görünse de, gerçekçi sınav notları (genellikle 100 üzerinden) dikkate alındığında, fizik notu en fazla 100 olabilir. Dolayısıyla, bu özel durumda fizik notu \( [60, 100] \) aralığında olabilir.