📝 11. Sınıf Matematik: Eşitsizlik sistemleri Ders Notu
11. Sınıf Matematik: Eşitsizlik Sistemleri
Bu bölümde, birden fazla eşitsizliğin aynı anda sağlandığı durumları inceleyeceğiz. Eşitsizlik sistemleri, matematikte ve günlük yaşamda birçok problemde karşımıza çıkar. Örneğin, bir ürünün fiyat aralığını belirlerken veya bir hareketin belirli sınırlar içinde olup olmadığını kontrol ederken eşitsizlik sistemlerini kullanırız.
Eşitsizlik Sistemi Nedir?
İki veya daha fazla eşitsizliğin bir arada incelenmesiyle oluşan sisteme eşitsizlik sistemi denir. Bu sistemdeki tüm eşitsizlikleri aynı anda sağlayan gerçek sayılar kümesi, sistemin çözüm kümesini oluşturur.
Lineer Eşitsizlik Sistemlerinin Çözümü
Lineer eşitsizlik sistemlerinin çözümünde temel amaç, her bir eşitsizliğin çözüm kümesini ayrı ayrı bulmak ve ardından bu kümelerin kesişimini almaktır.
Adımlar:
- Sistemdeki her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözün.
- Her bir eşitsizliğin çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterin.
- Tüm eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesiştiği aralığı bulun. Bu aralık, sistemin çözüm kümesidir.
Örnek 1:
Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\[ \begin{cases} 2x - 1 < 5 \\ x + 3 \ge 1 \end{cases} \]
Çözüm:
İlk eşitsizliği çözelim:
\( 2x - 1 < 5 \)
\( 2x < 6 \)
\( x < 3 \)
İkinci eşitsizliği çözelim:
\( x + 3 \ge 1 \)
\( x \ge 1 - 3 \)
\( x \ge -2 \)
Şimdi her iki eşitsizliği sağlayan x değerlerini bulmalıyız. Yani, \( x < 3 \) ve \( x \ge -2 \) olmalıdır. Bu iki koşulu sağlayan x değerleri, -2'den büyük veya eşit ve 3'ten küçük olan sayılardır.
Sayı doğrusunda gösterirsek:
- \( x < 3 \): 3'ün solundaki tüm sayılar (3 dahil değil).
- \( x \ge -2 \): -2'nin sağındaki tüm sayılar (-2 dahil).
Bu iki kümenin kesişimi \( [-2, 3) \) aralığıdır.
Çözüm Kümesi: \( [-2, 3) \)
Örnek 2:
Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\[ \begin{cases} 3x + 2 > 8 \\ x - 5 \le 2 \end{cases} \]
Çözüm:
İlk eşitsizlik:
\( 3x + 2 > 8 \)
\( 3x > 6 \)
\( x > 2 \)
İkinci eşitsizlik:
\( x - 5 \le 2 \)
\( x \le 7 \)
Her iki eşitsizliği sağlayan x değerleri, 2'den büyük ve 7'den küçük veya eşit olan sayılardır.
Sayı doğrusunda gösterirsek:
- \( x > 2 \): 2'nin sağındaki tüm sayılar (2 dahil değil).
- \( x \le 7 \): 7'nin solundaki tüm sayılar (7 dahil).
Bu iki kümenin kesişimi \( (2, 7] \) aralığıdır.
Çözüm Kümesi: \( (2, 7] \)
İkinci Dereceden Eşitsizlik Sistemleri
İkinci dereceden eşitsizlik sistemlerinde, her bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesi ayrı ayrı bulunur ve kesişimleri alınır. İkinci dereceden eşitsizliklerin çözümünde genellikle tablo yöntemi veya parabol grafiğinden yararlanılır.
Örnek 3:
Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\[ \begin{cases} x^2 - 4 \le 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \]
Çözüm:
İlk eşitsizlik: \( x^2 - 4 \le 0 \)
Kökler: \( x^2 = 4 \Rightarrow x = -2 \) ve \( x = 2 \). Parabol kolları yukarı doğru olduğundan, \( x^2 - 4 \le 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi \( [-2, 2] \) aralığıdır.
İkinci eşitsizlik: \( x - 1 > 0 \)
Kök: \( x = 1 \). \( x - 1 > 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi \( (1, \infty) \) aralığıdır.
Şimdi bu iki çözüm kümesinin kesişimini bulmalıyız:
\( [-2, 2] \cap (1, \infty) \)
Bu kesişim \( (1, 2] \) aralığıdır.
Çözüm Kümesi: \( (1, 2] \)