💡 11. Sınıf Matematik: Diziler Çözümlü Örnekler

• Öncelikle, bize verilen genel terim \( a_n = n^2 - 2n + 5 \) ifadesini not alalım.
• Bizden 5. terim istendiği için, \( n \) yerine 5 yazmalıyız.
• \( a_5 = (5)^2 - 2(5) + 5 \)
• \( a_5 = 25 - 10 + 5 \)
• \( a_5 = 15 + 5 \)
• \( a_5 = 20 \)

✅ Yani, dizinin 5. terimi 20'dir.

• Öncelikle \( a_n = 4n - 3 \) genel terimini biliyoruz.
• Şimdi \( a_{n+1} \) terimini bulalım: \( a_{n+1} = 4(n+1) - 3 = 4n + 4 - 3 = 4n + 1 \).
• Ardından \( a_{n+1} - a_n \) farkını hesaplayalım:
• \( a_{n+1} - a_n = (4n + 1) - (4n - 3) \)
• \( a_{n+1} - a_n = 4n + 1 - 4n + 3 \)
• \( a_{n+1} - a_n = 4 \)

✅ Fark sabit bir sayı (4) olduğu için, bu dizi bir aritmetik dizidir ve ortak farkı \( d = 4 \)'tür.

• Aritmetik dizinin genel terim formülü \( a_n = a_k + (n-k)d \) şeklindedir.
• Bize \( a_4 = 15 \) ve \( a_8 = 31 \) verilmiş. Bu bilgileri kullanarak ortak fark \( d \)'yi bulalım:
• \( a_8 = a_4 + (8-4)d \)
• \( 31 = 15 + 4d \)
• \( 31 - 15 = 4d \)
• \( 16 = 4d \)
• \( d = 4 \)
  Ortak farkı bulduk. Şimdi 10. terimi bulabiliriz.
• 10. terimi bulmak için \( a_8 \) terimini ve ortak farkı kullanabiliriz:
• \( a_{10} = a_8 + (10-8)d \)
• \( a_{10} = 31 + 2(4) \)
• \( a_{10} = 31 + 8 \)
• \( a_{10} = 39 \)

✅ Dizinin 10. terimi 39'dur.

• Öncelikle bize verilenleri yazalım: \( a_1 = 5 \), \( d = 3 \), \( n = 12 \).
• Toplam formülünü kullanabilmek için önce \( a_{12} \) terimini bulmamız gerekiyor.
• Aritmetik dizinin genel terim formülü: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
• \( a_{12} = a_1 + (12-1)d \)
• \( a_{12} = 5 + (11) \cdot 3 \)
• \( a_{12} = 5 + 33 \)
• \( a_{12} = 38 \)
  Şimdi ilk 12 terimin toplamını bulabiliriz.
• \( S_{12} = \frac{12}{2}(a_1 + a_{12}) \)
• \( S_{12} = 6(5 + 38) \)
• \( S_{12} = 6(43) \)
• \( S_{12} = 258 \)

✅ Dizinin ilk 12 teriminin toplamı 258'dir.

• Öncelikle \( a_n = 5 \cdot 2^{n-1} \) genel terimini biliyoruz.
• Şimdi \( a_{n+1} \) terimini bulalım: \( a_{n+1} = 5 \cdot 2^{((n+1)-1)} = 5 \cdot 2^n \).
• Ardından \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \) oranını hesaplayalım:
• \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5 \cdot 2^n}{5 \cdot 2^{n-1}} \]
• \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^n}{2^{n-1}} \]
• Üslü sayılar özelliğinden \( \frac{2^n}{2^{n-1}} = 2^{n - (n-1)} = 2^{n - n + 1} = 2^1 = 2 \).
• Yani, \( \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 \).

✅ Oran sabit bir sayı (2) olduğu için, bu dizi bir geometrik dizidir ve ortak çarpanı \( r = 2 \)'dir.

• Geometrik dizinin genel terim formülü \( a_n = a_k \cdot r^{n-k} \) şeklindedir.
• Bize \( a_3 = 10 \) ve \( a_5 = 40 \) verilmiş. Bu bilgileri kullanarak ortak çarpan \( r \)'yi bulalım:
• \( a_5 = a_3 \cdot r^{(5-3)} \)
• \( 40 = 10 \cdot r^2 \)
• \( \frac{40}{10} = r^2 \)
• \( 4 = r^2 \)
• Buradan \( r = 2 \) veya \( r = -2 \) olabilir. Genellikle dizilerde pozitif çarpan kabul edilir, ancak soruda belirtilmediği için her iki durumu da düşünebiliriz. Eğer terimler pozitifse, \( r \) de pozitif olmalıdır. (11. sınıf müfredatında genellikle pozitif terimli diziler ele alınır.)
• \( r = 2 \) kabul edelim.
  Şimdi 6. terimi bulabiliriz.
• 6. terimi bulmak için \( a_5 \) terimini ve ortak çarpanı kullanabiliriz:
• \( a_6 = a_5 \cdot r \)
• \( a_6 = 40 \cdot 2 \)
• \( a_6 = 80 \)

✅ Dizinin 6. terimi 80'dir.

• 1. Adım: Verilenleri belirleyelim.
  • İlk gün bağışlanan kitap sayısı (ilk terim): \( a_1 = 20 \)
  • Her gün artan kitap sayısı (ortak fark): \( d = 5 \)
  • Kampanya süresi (terim sayısı): \( n = 15 \)
• 2. Adım: 15. gün bağışlanan kitap sayısını (\( a_{15} \)) bulalım.
  • Aritmetik dizinin genel terim formülü: \( a_n = a_1 + (n-1)d \)
  • \( a_{15} = 20 + (15-1) \cdot 5 \)
  • \( a_{15} = 20 + 14 \cdot 5 \)
  • \( a_{15} = 20 + 70 \)
  • \( a_{15} = 90 \)
    Yani, 15. gün 90 kitap bağışlanmıştır.
• 3. Adım: İlk 15 günün toplam bağış miktarını (\( S_{15} \)) bulalım.
  • Aritmetik dizinin ilk \( n \) teriminin toplamı formülü: \( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \)
  • \( S_{15} = \frac{15}{2}(a_1 + a_{15}) \)
  • \( S_{15} = \frac{15}{2}(20 + 90) \)
  • \( S_{15} = \frac{15}{2}(110) \)
  • \( S_{15} = 15 \cdot 55 \)
  • \( S_{15} = 825 \)

✅ Kampanyanın 15. gününün sonunda toplam 825 kitap bağışlanmış olur.

• 1. Adım: Verilenleri belirleyelim.
  • Fidanın başlangıçtaki boyu (ilk terim, \( a_0 \)): \( 40 \) cm. (Dikkat: 1. yıl sonundaki boy \( a_1 \) olacaktır.)
  • Her yılki artış oranı (ortak çarpan): \( r = 1,2 \) (çünkü 1,2 katı kadar uzuyor).
  • İstenen yıl sayısı: \( 3 \) yıl sonraki boy.
• 2. Adım: Fidanın boyunun yıllara göre değişimini inceleyelim.
  • Başlangıçta (0. yıl): \( 40 \) cm
  • 1. yıl sonunda: \( 40 \cdot 1,2 = 48 \) cm (\( a_1 \))
  • 2. yıl sonunda: \( 48 \cdot 1,2 = 57,6 \) cm (\( a_2 \))
  • 3. yıl sonunda: \( 57,6 \cdot 1,2 = 69,12 \) cm (\( a_3 \))
• 3. Adım: Geometrik dizi formülüyle hesaplayalım.
  • Başlangıç boyunu \( a_0 \) olarak alırsak, \( n \) yıl sonraki boy \( a_n = a_0 \cdot r^n \) formülü ile bulunur.
  • \( a_3 = 40 \cdot (1,2)^3 \)
  • \( a_3 = 40 \cdot (1,2 \cdot 1,2 \cdot 1,2) \)
  • \( a_3 = 40 \cdot (1,44 \cdot 1,2) \)
  • \( a_3 = 40 \cdot 1,728 \)
  • \( a_3 = 69,12 \)

✅ Fidanın 3 yıl sonraki boyu 69,12 cm olacaktır.