Diziler Ders Notu

Diziler, matematiksel bir kurala göre sıralanmış sayı listeleridir. Genel olarak, tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi (\(\mathbb{Z}^+\)) olan ve değer kümesi reel sayılar kümesi (\(\mathbb{R}\)) olan her fonksiyona dizi denir. Bir \(f\) fonksiyonu bir dizi ise, \(f(n)\) yerine \(a_n\) yazılır ve dizinin \(n\). terimi olarak adlandırılır.

Bir dizinin terimleri genellikle \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots\) şeklinde gösterilir. Burada \(a_1\) dizinin birinci terimi, \(a_2\) ikinci terimi ve \(a_n\) de dizinin genel terimidir.

Dizilerde tanım kümesi daima pozitif tam sayılardır. Yani \(n\) yerine sadece 1, 2, 3, ... gibi değerler yazılabilir. Bu nedenle bir dizinin \(a_{1.5}\) veya \(a_0\) gibi bir terimi olamaz.

Dizi Çeşitleri

1. Genel Terimi Verilen Diziler

Bir dizinin genel terimi \(a_n\) ile verildiğinde, \(n\) yerine istenilen pozitif tam sayı yazılarak dizinin herhangi bir terimi bulunabilir.

• Örnek: Genel terimi \(a_n = 2n + 1\) olan dizinin ilk üç terimini bulalım.
  • \(n=1\) için \(a_1 = 2(1) + 1 = 3\)
  • \(n=2\) için \(a_2 = 2(2) + 1 = 5\)
  • \(n=3\) için \(a_3 = 2(3) + 1 = 7\)
• Örnek: Genel terimi \(a_n = \frac{n^2 - 1}{n+2}\) olan dizinin \(a_3\) terimini bulunuz.
  • \(n=3\) için \(a_3 = \frac{3^2 - 1}{3+2} = \frac{9 - 1}{5} = \frac{8}{5}\)

2. Sonlu Diziler

Tanım kümesi \(\{1, 2, 3, \dots, k\}\) gibi sonlu bir küme olan dizilere sonlu dizi denir. \(k\) bu dizinin terim sayısını gösterir.

• Örnek: \(a_n = n^2\) dizisinin ilk 5 teriminden oluşan sonlu dizi \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\) dir.

3. Sabit Diziler

Tüm terimleri birbirine eşit olan dizilere sabit dizi denir. Yani, her \(n \in \mathbb{Z}^+\) için \(a_n = c\) (sabit bir reel sayı) ise, bu dizi sabit dizidir.

• Örnek: Genel terimi \(a_n = 5\) olan dizi bir sabit dizidir. \(a_1=5, a_2=5, \dots\)
• Örnek: Genel terimi \(a_n = \frac{3n+6}{n+2}\) olan dizinin sabit dizi olup olmadığını inceleyelim.
  • \(a_n = \frac{3(n+2)}{n+2} = 3\). Bu dizi bir sabit dizidir.

4. İndirgemeli Diziler (Özyinelemeli Diziler)

Bir terimi kendinden önceki bir veya birden fazla terim cinsinden tanımlanan dizilere indirgemeli dizi denir. Bu dizilerde ilk terim veya ilk terimler genellikle verilir.

• Örnek: \(a_1 = 2\) ve \(a_n = a_{n-1} + 3\) indirgeme bağıntısıyla verilen dizinin ilk üç terimini bulalım.
  • \(a_1 = 2\) (verilmiş)
  • \(a_2 = a_1 + 3 = 2 + 3 = 5\)
  • \(a_3 = a_2 + 3 = 5 + 3 = 8\)

Aritmetik Diziler ➕

Ardışık iki terimi arasındaki farkı sabit olan dizilere aritmetik dizi denir. Bu sabit farka ortak fark adı verilir ve genellikle \(d\) ile gösterilir.

Yani, her \(n \in \mathbb{Z}^+\) için \(a_{n+1} - a_n = d\) dir.

Aritmetik Dizinin Genel Terimi

İlk terimi \(a_1\) ve ortak farkı \(d\) olan bir aritmetik dizinin genel terimi aşağıdaki formülle bulunur:

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

Ayrıca, bir aritmetik dizinin herhangi bir \(k\). terimi biliniyorsa, \(n\). terimi şu şekilde de yazılabilir:

\[ a_n = a_k + (n-k)d \]

Aritmetik Dizinin Özellikleri

1. Bir aritmetik dizide, herhangi bir terim kendisinden eşit uzaklıktaki terimlerin aritmetik ortalamasıdır. Yani, \(k > 1\) için: \[ a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2} \] Daha genel olarak, \(p < k < r\) ve \(k-p = r-k\) olmak üzere: \[ a_k = \frac{a_p + a_r}{2} \]
2. Bir aritmetik dizide, baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin toplamı birbirine eşittir. Yani, \(p+q = r+s\) ise: \[ a_p + a_q = a_r + a_s \] Özellikle, \(a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = \dots\)

Aritmetik Dizinin İlk \(n\) Teriminin Toplamı

Bir aritmetik dizinin ilk \(n\) teriminin toplamı \(S_n\) ile gösterilir ve aşağıdaki formüllerle hesaplanır:

\[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]

veya \(a_n\) yerine \(a_1 + (n-1)d\) yazılırsa:

\[ S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \]

Geometrik Diziler ✖️

Ardışık iki teriminin oranı sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Bu sabit orana ortak çarpan adı verilir ve genellikle \(r\) ile gösterilir.

Yani, her \(n \in \mathbb{Z}^+\) için \(a_n \neq 0\) olmak üzere \(\frac{a_{n+1}}{a_n} = r\) dir.

Geometrik Dizinin Genel Terimi

İlk terimi \(a_1\) ve ortak çarpanı \(r\) olan bir geometrik dizinin genel terimi aşağıdaki formülle bulunur:

\[ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \]

Ayrıca, bir geometrik dizinin herhangi bir \(k\). terimi biliniyorsa, \(n\). terimi şu şekilde de yazılabilir:

\[ a_n = a_k \cdot r^{n-k} \]

Geometrik Dizinin Özellikleri

1. Bir geometrik dizide, herhangi bir terimin karesi kendisinden eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımına eşittir. Yani, \(k > 1\) için: \[ a_k^2 = a_{k-1} \cdot a_{k+1} \] Daha genel olarak, \(p < k < r\) ve \(k-p = r-k\) olmak üzere: \[ a_k^2 = a_p \cdot a_r \]
2. Bir geometrik dizide, baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin çarpımı birbirine eşittir. Yani, \(p+q = r+s\) ise: \[ a_p \cdot a_q = a_r \cdot a_s \] Özellikle, \(a_1 \cdot a_n = a_2 \cdot a_{n-1} = \dots\)

Geometrik Dizinin İlk \(n\) Teriminin Toplamı

Bir geometrik dizinin ilk \(n\) teriminin toplamı \(S_n\) ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

• Eğer \(r = 1\) ise: \[ S_n = n \cdot a_1 \]
• Eğer \(r \neq 1\) ise: \[ S_n = a_1 \frac{1-r^n}{1-r} \] veya \[ S_n = a_1 \frac{r^n-1}{r-1} \]

Aritmetik ve Geometrik Dizilerin Karşılaştırılması 📊

İki dizi türünün temel farklarını bir tablo ile özetleyelim:

Özellik	Aritmetik Dizi	Geometrik Dizi
Tanım	Ardışık terim farkı sabit	Ardışık terim oranı sabit
Sabit Değer	Ortak fark (\(d\))	Ortak çarpan (\(r\))
Genel Terim	\(a_n = a_1 + (n-1)d\)	\(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\)
Orta Terim Özelliği	\(a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}\)	\(a_k^2 = a_{k-1} \cdot a_{k+1}\)
İlk \(n\) Terim Toplamı	\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)	\(S_n = a_1 \frac{1-r^n}{1-r}\) (\(r \neq 1\))