🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Dik koni Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Dik koni Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Yarıçapı 5 cm ve yüksekliği 12 cm olan bir dik koninin ana doğrusunu bulunuz.
Çözüm:
Dik koninin ana doğrusu \(l\), yarıçapı \(r\) ve yüksekliği \(h\) arasındaki ilişki Pisagor teoremi ile bulunur: \(l^2 = r^2 + h^2\).
- Verilenler: \(r = 5\) cm, \(h = 12\) cm.
- Pisagor teoremini uygulayalım: \(l^2 = 5^2 + 12^2\).
- Hesaplama: \(l^2 = 25 + 144\).
- Sonuç: \(l^2 = 169\), bu nedenle \(l = \sqrt{169} = 13\) cm.
Örnek 2:
Taban yarıçapı 3 birim ve yüksekliği 4 birim olan bir dik koninin hacmini hesaplayınız.
Çözüm:
Dik koninin hacmi \(V\) formülü şöyledir: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\).
- Verilenler: \(r = 3\) birim, \(h = 4\) birim.
- Formülde yerine koyalım: \(V = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (4)\).
- Hesaplama: \(V = \frac{1}{3} \pi (9)(4)\).
- Sadeleştirme: \(V = \pi (3)(4)\).
- Sonuç: \(V = 12\pi\) birim küp.
Örnek 3:
Taban yarıçapı 6 cm ve ana doğrusu 10 cm olan bir dik koninin yanal yüzey alanını hesaplayınız.
Çözüm:
Dik koninin yanal yüzey alanı \(A_{yanal}\) formülü şöyledir: \(A_{yanal} = \pi r l\).
- Verilenler: \(r = 6\) cm, \(l = 10\) cm.
- Formülde yerine koyalım: \(A_{yanal} = \pi (6)(10)\).
- Hesaplama: \(A_{yanal} = 60\pi\) cm².
Örnek 4:
Yüksekliği 8 cm ve ana doğrusu 17 cm olan bir dik koninin taban alanını bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle taban yarıçapını \(r\) bulmalıyız. Ana doğru \(l\), yükseklik \(h\) ve yarıçap \(r\) arasındaki ilişki: \(l^2 = r^2 + h^2\).
- Verilenler: \(h = 8\) cm, \(l = 17\) cm.
- Pisagor teoremini uygulayalım: \(17^2 = r^2 + 8^2\).
- Hesaplama: \(289 = r^2 + 64\).
- Yarıçapı bulalım: \(r^2 = 289 - 64 = 225\).
- Bu nedenle \(r = \sqrt{225} = 15\) cm.
- Taban alanı \(A_{taban} = \pi r^2\) formülü ile bulunur.
- \(A_{taban} = \pi (15)^2 = 225\pi\) cm².
Örnek 5:
Taban alanı \(36\pi\) cm² olan bir dik koninin hacmi \(96\pi\) cm³ ise, bu koninin ana doğrusunu bulunuz.
Çözüm:
İlk olarak taban yarıçapını ve yüksekliğini bulmalıyız.
- Taban alanı \(A_{taban} = \pi r^2 = 36\pi\) cm².
- Buradan \(r^2 = 36\) ve \(r = 6\) cm bulunur.
- Hacim \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = 96\pi\) cm³.
- \( \frac{1}{3} \pi (6)^2 h = 96\pi \).
- \( \frac{1}{3} \pi (36) h = 96\pi \).
- \( 12\pi h = 96\pi \).
- \( h = \frac{96\pi}{12\pi} = 8 \) cm.
- Şimdi ana doğrusunu \(l\) bulmak için Pisagor teoremini kullanalım: \(l^2 = r^2 + h^2\).
- \(l^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\).
- \(l = \sqrt{100} = 10\) cm.
Örnek 6:
Bir dondurma külahı, dik koni şeklinde tasarlanmıştır. Külahın taban yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 15 cm'dir. Bu külahın tamamını dolduracak şekilde kaç cm³ dondurma alabileceğini hesaplayınız. (Pi sayısını 3 alınız.)
Çözüm:
Bu soruda dik koninin hacmini hesaplamamız gerekiyor.
- Verilenler: \(r = 4\) cm, \(h = 15\) cm, \(\pi = 3\).
- Dik koninin hacim formülü: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\).
- Değerleri formülde yerine koyalım: \(V = \frac{1}{3} \times 3 \times (4)^2 \times 15\).
- Hesaplama: \(V = 1 \times 16 \times 15\).
- Sonuç: \(V = 240\) cm³.
Örnek 7:
Bir inşaat mühendisi, bir depolama silosunun üst kısmını dik koni şeklinde tasarlamıştır. Silo tabanının yarıçapı 5 metre ve koninin yüksekliği 12 metredir. Bu koni şeklindeki kısmın hacmini hesaplayarak, depolanabilecek malzeme miktarını tahmin ediniz.
Çözüm:
Bu problemde dik koninin hacmini hesaplamamız isteniyor.
- Verilenler: Taban yarıçapı \(r = 5\) m, yükseklik \(h = 12\) m.
- Dik koninin hacim formülü: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\).
- Formülde değerleri yerine koyalım: \(V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12)\).
- Hesaplama: \(V = \frac{1}{3} \pi (25)(12)\).
- Sadeleştirme: \(V = \pi (25)(4)\).
- Sonuç: \(V = 100\pi\) m³.
Örnek 8:
Taban çevresi \(12\pi\) cm olan bir dik koninin yanal yüzey alanı \(30\pi\) cm²'dir. Bu koninin toplam yüzey alanını bulunuz.
Çözüm:
Toplam yüzey alanı, taban alanının yanal yüzey alanına eklenmesiyle bulunur: \(A_{toplam} = A_{taban} + A_{yanal}\).
- Öncelikle taban yarıçapını bulalım. Taban çevresi \(Ç = 2\pi r = 12\pi\) cm.
- Buradan \(2r = 12\) ve \(r = 6\) cm bulunur.
- Taban alanı \(A_{taban} = \pi r^2 = \pi (6)^2 = 36\pi\) cm².
- Yanal yüzey alanı \(A_{yanal} = 30\pi\) cm² olarak verilmiş.
- Toplam yüzey alanı: \(A_{toplam} = 36\pi + 30\pi\).
- Sonuç: \(A_{toplam} = 66\pi\) cm².
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-dik-koni/sorular