📄 11. Sınıf Matematik: Dik koni Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle ana doğru \(l\) uzunluğunu bulalım. Dik konide yükseklik \(h\), taban yarıçapı \(r\) ve ana doğru \(l\) arasında \(l^2 = r^2 + h^2\) bağıntısı vardır.

Verilenler: \(r = 6\) cm, \(h = 8\) cm.

\(l^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)

\(l = \sqrt{100} = 10\) cm.



a) Hacim (\(V\)):

Dik koninin hacim formülü \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\) şeklindedir.

\(V = \frac{1}{3} \times 3 \times 6^2 \times 8\)

\(V = 1 \times 36 \times 8\)

\(V = 288\) \(\text{cm}^3\).



b) Yanal Alan (\(A_y\)):

Dik koninin yanal alan formülü \(A_y = \pi r l\) şeklindedir.

\(A_y = 3 \times 6 \times 10\)

\(A_y = 180\) \(\text{cm}^2\).



c) Tüm Alan (\(A_{tüm}\)):

Dik koninin tüm alanı, taban alanı (\(A_t\)) ile yanal alanının (\(A_y\)) toplamıdır.

Taban alanı \(A_t = \pi r^2\) formülü ile bulunur.

\(A_t = 3 \times 6^2 = 3 \times 36 = 108\) \(\text{cm}^2\).

\(A_{tüm} = A_t + A_y = 108 + 180 = 288\) \(\text{cm}^2\).

💡 Çözüm Adımları:

Dik koninin yanal yüzeyi açıldığında oluşan daire diliminin yarıçapı, koninin ana doğrusu \(l\) uzunluğuna eşittir. Bu daire diliminin yay uzunluğu ise koninin taban çevresine eşittir.

Taban çevresi \(C_{taban} = 2 \pi r\) formülü ile bulunur.

Verilen \(r = 4\) cm olduğundan, \(C_{taban} = 2 \pi (4) = 8 \pi\) cm.



Daire diliminin yay uzunluğu \(L = 2 \pi l \frac{\alpha}{360^\circ}\) formülü ile bulunur, burada \(l\) daire diliminin yarıçapı (yani koninin ana doğrusu) ve \(\alpha\) merkez açıdır.

Verilen \(\alpha = 120^\circ\).

Bu iki uzunluk birbirine eşit olacağından:

\(8 \pi = 2 \pi l \frac{120}{360}\)

\(8 \pi = 2 \pi l \frac{1}{3}\)

Her iki tarafı \(2 \pi\) ile bölelim:

\(4 = l \frac{1}{3}\)

\(l = 4 \times 3\)

\(l = 12\) cm.

Koninin ana doğrusunun uzunluğu 12 cm'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilenler: \(h = 12\) cm, \(V = 108 \pi\) \(\text{cm}^3\).



Öncelikle taban yarıçapı \(r\)'yi bulalım. Dik koninin hacim formülü \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\) şeklindedir.

\(108 \pi = \frac{1}{3} \pi r^2 (12)\)

\(108 \pi = 4 \pi r^2\)

Her iki tarafı \(4 \pi\) ile bölelim:

\(\frac{108 \pi}{4 \pi} = r^2\)

\(27 = r^2\)

\(r = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) cm.



Şimdi tüm alanı bulmak için ana doğru \(l\)'yi bulmalıyız. \(l^2 = r^2 + h^2\) bağıntısını kullanalım.

\(l^2 = (3\sqrt{3})^2 + 12^2\)

\(l^2 = (9 \times 3) + 144\)

\(l^2 = 27 + 144\)

\(l^2 = 171\)

\(l = \sqrt{171} = \sqrt{9 \times 19} = 3\sqrt{19}\) cm.



Taban alanı (\(A_t\)):

\(A_t = \pi r^2 = \pi (3\sqrt{3})^2 = \pi (27) = 27 \pi\) \(\text{cm}^2\).



Yanal alan (\(A_y\)):

\(A_y = \pi r l = \pi (3\sqrt{3}) (3\sqrt{19}) = 9\sqrt{57} \pi\) \(\text{cm}^2\).



Tüm alan (\(A_{tüm}\)):

\(A_{tüm} = A_t + A_y = 27 \pi + 9\sqrt{57} \pi = \pi (27 + 9\sqrt{57})\) \(\text{cm}^2\).